旋轉體都可以看作是由連續曲線y

f(x)、直線x

a、a

b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體.

旋轉體的體積元素

考慮旋轉體內點x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,

用圓柱體的體積

[f(x)]2dx

作為切片體積的近似值,旋轉體的體積（繞x軸旋轉所得）

體積元素為

dV

[f(x)]2dx.

復習（旋轉體體積）：11.繞x

軸旋轉所得旋轉體體積公式復習（旋轉體體積公式）：2.繞y

軸旋轉所得旋轉體體積公式2

例把拋物線y2

4ax及直線x

x0(x0

0)所圍成的圖形繞x軸旋轉

計算所得旋轉體的體積

旋轉體的體積：

解：

所得旋轉體的體積為3

解

旋轉橢球體可以看作是由半個橢圓22xaaby-=及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體.

旋轉橢球體的體積為旋轉體的體積：

旋轉體(旋轉橢球體)的體積.

例

計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉而成的1+2222=byaxaaxxaab--=]31[3222p234abp=.4

例由y

x3

x

2

y

0所圍成的圖形

分別繞x軸及y軸旋轉

計算所得兩個旋轉體的體積

解：繞x軸旋轉所得旋轉體的體積為

繞y軸旋轉所得旋轉體的體積為

5例求圓繞y軸旋轉一周所成的旋轉體(環體)的體積。解將圓方程改寫為，環體是這兩個半圓在軸的區間上所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉所得體積之差，右半圓弧方程為，則環體體積為：左半圓弧方程為，于是得體積微元為：

6再將微元從到積分，就得到變力在整個區間上所做的功為：新課

（定積分的物理應用舉例）：在小區間上變力所作功的近似值，即功的微元：問題：如果物體在變力作用下沿軸由處移動到處，那么變力所作的功又該如何計算呢？一、功

1．變力沿直線段作功

7在小區間上，以“常代變”得功微元為：解

取電荷移動的射線方向為軸正向（如右圖），例1

在原點有一個帶電量為的點電荷，它所產生的電場對周圍電荷有作用力?，F有一單位正電荷從距原點處沿射線方向移至距點為的地方，求電場力所做的功。又如果把該單位電荷移至無窮遠處，電場力做了多少功？

若移至無窮遠處，則作功為：。于是電場力所做功為：82．抽水做功

例2

一個底半徑為4m，高為8m的倒立圓錐形容器，內裝6m深的水，現要把容器內的水全部抽完，試求需作功多少？

解我們設想水是一層一層被抽出來的，由于水位不斷下降，使得水層的提升高度連續增加，這是一個“變距離”做功問題，亦可用定積分來解決。選擇坐標系如右圖，于是直線方程為。在的變化區間內取微小區間，則抽出厚度為的一薄層水需用力的近似值為：則抽出厚度為的一薄層水所需做功的近似值（即功的微元）為：（其中，分別為水的密度和重力加速度）9問題：設有一薄板，垂直放在密度為的液體中，求液體對薄板一側的壓力。于是把容器內的水全部抽完所作功為二、液體對平面薄板的壓力

分析：由物理學知道，在液面下深度為處，由液體重量所產生的壓強為若有面積為的薄板水平放置在液深為處，這時薄板各處受力均勻，所受的壓力10例3一個橫放的半徑為的圓柱形油桶，里面盛有半桶油，計算桶的一個端面所受的壓力(設油密度為)。

解選取坐標系如右圖，此時圓的方程為。取為積分變量，在其變化區間內任取微小區間，該窄條上所受的壓力的近似值，即為壓力微元：

端面所受的壓力為：11練習1

設某水庫的閘門形狀為等腰梯形，它的兩條底邊各長為10m和6m，高為20m，較長的底邊與水面相齊，計算閘門的一側所受到的水壓力。練習2

有一彈簧，原長1m

，每壓縮1cm需用力5×9.8×10－3N,若自80cm壓縮至60cm，問外力作功多少？練習3

一容器裝滿水，容器形狀為拋物線與軸和