第3章

3.1空間向量及其運算3.1.1

空間向量及其線性運算1/271.了解空間向量概念，掌握空間向量幾何表示和字母表示.2.掌握空間向量線性運算及運算律，了解空間向量線性運算及其運算律幾何意義.學習目標2/27知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾欄目索引3/27知識梳理自主學習知識點一空間向量概念答案在空間中，我們把像位移、力、速度、加速度這么現有

又有_____量叫做空間向量，向量大小叫向量

或

.大小方向長度模4/27知識點二空間向量加減法(1)加減法定義空間中任意兩個向量都是共面，它們加、減法運算類似于平面向量加減法.(如圖)(2)運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).a＋ba－b答案5/27(1)定義實數λ與空間向量a乘積λa仍是一個向量，稱為向量數乘運算.當λ>0時，λa與a方向

；當λ<0時，λa與a方向

；當λ＝0時，λa＝0.λa長度是a長度|λ|倍.如圖所表示.答案知識點三空間向量數乘運算(2)運算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；結合律：λ(μa)＝(λμ)a.相同相反6/27答案知識點四共線向量定理(1)共線向量定義與平面向量一樣，假如表示空間向量有向線段所在

，則這些向量叫做

或平行向量，記作a∥b.(2)充要條件對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線充要條件是存在實數λ，使b＝λa.`直線相互平行或重合共線向量7/27思索(1)若表示兩個相等空間向量有向線段起點相同，則終點也相同.對嗎？答案

正確.起點相同，終點也相同兩個向量相等.(2)零向量沒有方向.對嗎？答案錯誤.不是沒有方向，而是方向任意.(3)空間兩個向量加減法與平面內兩向量加減法完全一致.對嗎？答案正確.返回答案8/27例1

判斷以下命題真假.(1)空間中任意兩個單位向量必相等；題型探究重點突破題型一空間向量概念解析答案解假命題.因為兩個單位向量，只有模相等，但方向不一定相同.(2)方向相反兩個向量是相反向量；解假命題.因為方向相反兩個向量模不一定相等.(3)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；解假命題.因為兩個向量模相等時，方向不一定相同或相反，也能夠是任意.9/27反思與感悟解析答案10/27空間向量概念與平面向量概念相類似，平面向量其它相關概念，如向量模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都能夠拓展為空間向量相關概念.反思與感悟11/27跟蹤訓練1

如圖所表示，以長方體ABCD－A1B1C1D1八個頂點兩點為始點和終點向量中，解析答案12/27題型二空間向量線性運算解析答案反思與感悟13/27反思與感悟答案①②14/27運使用方法則進行向量線性運算時要注意關鍵要素：(1)向量加法三角形法則：“首尾相接，指向終點”；(2)向量減法三角形法則：“起點重合，指向被減向量”；(3)平行四邊形法則：“起點重合”；(4)多邊形法則：“首尾相接，指向終點”.反思與感悟15/27解析答案16/27答案①②③④17/27題型三空間向量共線問題解析答案反思與感悟∴k＝－8.18/27靈活應用共線向量定理，正確列出百分比式.反思與感悟19/27＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，又∵B為兩向量公共點，∴A、B、D三點共線.返回解析答案20/27當堂檢測123451.兩個非零向量模相等是兩個向量相等_____________條件.必要不充分解析a＝b?|a|＝|b|；|a|＝|b|

a＝b.解析答案?21/2712345解析答案722/27123453.以下說法中正確是________.(填序號)①若|a|＝|b|，則a，b長度相等，方向相同或相反；②若向量a是向量b相反向量，則|a|＝|b|；③空間向量減法滿足結合律；解析答案解析若|a|＝|b|，則a，b長度相等，方向不確定，故①不正確；相反向量是指長度相同，方向相反向量，故②正確；空間向量減法不滿足結合律，故③不正確；②23/2712345解析答案24/2712345解析答案答案①25/27123455.以下命題中正確個數是________.①假如a，b是兩個單位向量，則|a|＝|b|；②兩個空間向量相等，則它們起點相同，終點也相同；③若a，b，c為任意向量，則(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；④空間任意兩個非零向量都能夠平移到同一個平面內.3解析答案解析由單位向量定義知|a|＝|b|＝1，故①正確；因相等向量不一定有相同起點和終點，所以②錯誤；由向量加法運算律知③正確；在空間確定一點后，可將兩向量起點移至該點，兩向量所在直線確定一個平面，這兩個非零向量就共同在這個平面內，故④正