第五章 均勻平面波在無界空間中的傳播幾個重要概念抱負媒質：導電率為零的媒質，也稱無耗媒質。平面波：波陣面為平面的電磁波。均勻平面波：等相面為平面，且在等相面上，電、磁場量的振幅、方向、相位處處相等的電磁波。一、亥姆霍茲方程的平面波解無源區 0,0 均勻、各向同性抱負媒質，2Ek2E02x2

2

2

k2E0z方向傳播的均勻平面波，E(z、E(z) x yHHxd2E

(z)、H

(z)y則 dz2

k2E 0xd2Eydz2

k2E 0yd2H dz2

k2H 0xd2H dz2

k2H 0y二階常微分方程，形式一樣，解也一樣。Ex

(z)AejkzA

ejkz——解的復數形式待定常數，由邊界條件確定12E(z,t)Re[(AejkzAejkz)ejt12x 1 2E 1m 1

)E2m

cos(tkz)2解的物理意義：1〕AejkzE

kz)1 1m 15.1.4可知，隨時間t+z+z平面波函數,同理,ejkz向-z2)平面波解的物理意義表示沿Z方向(+Z,-Z)傳播的均勻平面波的合成波.二、傳播特性以+z方向傳播的均勻平面波為例?x

E eej(kz)xm

E

cos(tkx)k xyz ke?k空間任意點矢徑 x y z z z

沿z方向傳播的平面波波的等相面是垂直于Z軸的平面且為常數。12ff21 2周期：T f 2kk為2距離內包含的波長數〔相位常數，波傳播單位距離的相位變化〕 f 波長：2 2 f k波矢量：

? kkk3、相位速度〔波速：波上任一固定點其相位為一恒定值，即tkzconst，v dz 1p dt k關于相速的說明：1〕相位速度僅與媒質特性有關；0 02〕真空中，v p0

3108(m/s)光速vrv r

1r4、場量、

的關系

EE

ejkrxm

jH(E e xm

jkr)yzetjB

?

jkE xmE

jkr y 同理可推得 說明：

k?? ?三者相互垂直，且滿足右手螺旋關系。 1? E、H、H kE 5〔波阻抗〕 (041004107110900

()結論：在自由空間中傳播的電磁波，電場幅度與磁場幅度之比為377。61w E2e 2 1 1 w H2 ( E)2

E21m 2 2 21 w we m抱負媒質中均勻平面波的電場能量等于磁場能量。電磁波的能量密度： wwe

w E2H2m? 1?電磁波的能流密度：

12?SEHEkE E k12 1 12

2?Sav

Re[EH*] E k2

erj復數形式jk0jk

E

E cos( t k 0

) 實數形式k

n

kkx kk

,

x

xy

yzzkrkx

xky

ykzz

ej(kx

xky

ykz

z)j0

沿任意方向傳播的電磁波E

Ecos[0

t(kx

xky

ykz

]傳輸特性總結：?三者相互垂直，且滿足右手螺旋關系；電場、磁場的振幅不隨傳播距離增加而轉變；電場、磁場同頻率，同相位；電磁波的相速與頻率無關；電場能量密度等于磁場能量密度。例5.1.1，5.1.4，5.1.3波的極化一、極化的定義波的極化：指空間某固定位置處電場矢量隨時間變化的特性。極化的描述：用電場強度矢量

終端端點在空間形成的軌跡表示。二、極化的分類直線極化：電場僅在一個方向振動，即電場強度矢量端點的軌跡是一條直線。圓極化：電場強度矢量端點的軌跡是一個圓。橢圓極化：電場強度矢量端點的軌跡是一個橢圓。留意：電磁波的極化方式由輻射源〔即天線〕的性質打算。三、極化的推斷兩個相互正交的線極化波疊加，可得到不同極化方式的合成波。由電磁波電場場量或磁場場量兩個正交重量間的幅度和相位關系，可以推斷波的極化方式。設均勻平面電磁波向+Z方向傳播，則一般狀況下其電場可以表示為?Ex xEy y式中，

E E cos(tkz)xx xmxE E cos( tkz )y ym y由于空間任意點處電場隨時間的變化規律一樣，應選取z0點作為分析點，即E E

x 合成波的電場xE E

cos( t )y場量表達式中，E xm

ym x y

的取值將打算波的極化方式。1、當 0 或 時，x yE2E2Ex2yE 2Exm2ymEEx x

E y y

cos(t)---振幅隨時間變化x軸的夾角為： Eymconst (

0)arctgE

arctgE x y xm Ex arctg ymconst (

)E x yxm結論：當 0 x y

時，電磁波為線極化波。2、當 y x

2

且 E E 時，xm ymE E

cos(t)xE E

cos(tx

) E2

sin(t)x合成電場的模及其X軸的夾角為：E2E2Ex2yE2xmE E constE ( )arctg y

x y x 2xEx tx

( )y x 2合成電場矢量終端形成軌跡為一圓，電場矢量與X軸夾角隨時間變化而轉變。當y x 2

且 E Exm

波傳播方向滿足左手螺旋關系——左旋圓極化波。當 y x

2

且 E Exm

時，電場矢量終端運動方向與電磁波傳播方向滿足右手螺旋關系——右旋圓極化波。說明：上述結論適用于沿+Z方向傳播的均勻平面波。3假設令 則x yE Ex

E Ey

cos(t)Eym

(costcossintsin)t,1(1(ExE)2xm y E E

cos

sinym xmE E E E( y

)2(

x)22 x

cossin2E Eym

E Exm ym成波為橢圓極化波。5.2.15.2.2書P203導電媒質中的均勻平面波一、導電媒質中的波動方程及其解1在均勻的導電媒質區域中，麥氏方程為方程可以改寫為

)j

c

1jc

)

引入 后，麥氏方程為cc c0 0推得導電媒質中的波動方程為： 2E2E0 2Ek2E0 c c 2H2c

H0 2Hk2H0ck22c

2jH復波數2比較損耗媒質與抱負媒質中的波動方程可知：方程形式完全一樣，差異僅在于 ，損耗媒質中波動方程對應于沿+Z軸方向傳播的均勻平面波為:22cEx

E xm c令j損耗媒質中波動方程的解可寫為 jzEE ex xm

j(j

)zx

E ezexm(z,t)?x3波的振幅和傳播因子

E xm傳播因子：ejz 為均勻平面波〔行波〕;振幅：Exmez 隨著波傳播〔z增加〕,振幅不斷減小;振幅因子和相位因子：：只影響波的振幅，故稱為振幅因子；：只影響波的相位，故稱為相位因子，其意義與k一樣，即為損耗媒質中的波數。由k 的表示，可得c22222[1( )21]2[12[1( )21]相位速度〔波速：v

1 c ；p k在損耗媒質中，v p

f與波的頻率有關。〔相速稱為色散波。結論：導電媒質〔損耗媒質〕中的電磁波為色散波。4、場量

的關系可以推知，在導電媒質中，場量

之間的關系與在抱負介質中場量間關系相同，即 c

為波傳播方向1c

?

為導電媒質本征阻抗C1〕?三者相互垂直，且滿足右手螺旋關系；2〕 cc

1 jejc( )12[1( )2]1/4c 1 2arctg。5weav平均磁場能量密度：

4

*]

E24

e2z1

E2 w Re[HH*]

e2z

e2z[1( )2]mav

4 42 4 xm c結論：導電媒質中均勻平面波的磁場能量大于電場能量。2c 1Re*]?E2me2c

cos電磁波的平均能流密度：S 2zav 2無界導電媒質中均勻平面電磁波的傳輸特性總結：均勻平面電磁波為橫電磁波TEM波，?三者滿足右手螺旋關系；電磁波的幅度隨傳播距離的增加而呈指數規律削減；電磁場不同相，電場相位超前于磁場相位；電磁波是色散波，波的相速與頻率有關；磁場能量大于電場能量。二、媒質導電性對場的影響1、趨膚效應與趨膚深度在良導體中，衰減因子

率較大時,往往很大,電磁波在此導電媒質中傳播很小的距離后,電磁場的振幅將衰減到很小.因此,電磁波只能存在于良導體表層四周,其在良導體內鼓勵的高頻電流也只存在于導體表層四周,這種現象稱為趨膚效應.趨膚深度〔穿透深度： 電磁波穿入良導體中，當波的幅度下降為外表處振幅的1/e時，波在良導體中傳播的距離。 表征良導體中趨膚效應的強弱。fe1/e1/f良導體中：11 2外表電阻：c

R jxfffR fs

厚度為的導體單位面積的電阻色散和相速一、相速表示波的恒定相位點推動的速度，即為白波傳播的速度。vp

〔k為波速〕損耗媒質：由于相位常數為與頻率有關的常數，相速也與頻率相關——即損耗媒質為色散媒質。的電磁波才能攜帶有用信息。群速：合成信號包絡傳播的速度，它代表信號能量的傳播速度——vg設兩個振幅均為A 角頻率分別為和的同向行波在空間中合成一m調制波，假設，由于頻率不同，則由

知兩行波波數不同，設分別為，1

，則行波表達式為EAE A

ej()tej(k)zej()tej(k)zm合成波為EEE1

Aej()tej(kk)zAej()tej(k)zm mAej(tk)[ej(tkz)ej(tkz)]m2Am

cos(tkz)ej(tkz) 實數形式合成波振幅，包絡為以頻率傳播的低頻行波。 行波因子