函數與三角—2023高考數學

（基礎知識+思想方法+出題背景+高考真題訓練）

o.基礎知識

三角函數化簡與求值

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin（。切）=；

cos（?：￡）=_________________________________________________

tan（gS）=________________________________________

（以土在，a,￡均不為欠冗+〃，.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=；

cos2o===

cos2a=,sin2a=

,,JI

tan24=(a,2。均不為上人+7,k￡Z).

3.輔助角公式：asinx+hcosx=,其中tan6=，

1.sinacos￡±cossin￡cosacos￡±sinasinB

lan。土tanB

1-Ltan。tanB

000o1+cos2ci1—cos2o

2.2sinacosacosa-sin-a2cosa—11—2sin~a----j-------------

2tanq

1—tan2a

3^ja1+b2sin(x+°)

三角函數的圖象

由y=sinx的圖象得到y=As%(cox+(p)的圖象主要有下列兩種方法:

y=s加x相位,變舉y=s譏(x+(p)周期變換K

-y--=--A―sm―(cox十(p)振-幅--變-換-|--y--=-s-s：~(7~3~X十37(^p)71

或

-y--=--s-山:—x|周-期--變-1-|-y-=-s加:--3-x|相去位小未變將換

--——；―,振幅變換------：-7--..

y=As〃?(3X十(p)---->*|y=s〃z(3x+(p)

說明：前一種方法第一步相位變換是向左(q?0)或向右(cpvO)平移個單位長度，后一

種方法第二步相位變換是向左3>0)或向右(q><0)平移個單位長度.

101國

11(0

三角函數的性質

正弦、余弦、正切函數的性質

解析式y=sinxy=cosxy=tanx

V???11Jmur|

上,XTM7?

圖象?TX/7XUZ7X?Z~X；..

4a.7g;x萍V

定義域RR

值域Ll，11LI，U

H

零點x=k^,kRZx=k穴+~2，kGZx=k^,kGZ

（■y+左冗，（）），kez

對稱中心(攵五,0),kez

解析式y=sinxy=cosxy=tanx

對稱軸x=k^+~,kGZx=kn,kQZ無

周期性7=2幾r=2兀

JIji一

XtMir*zt'_12k兀c，2k兀+c

增區I可L22J[2攵五一五，2攵n],kGZ

kGZ

~JI3冗-

減區間[2"+E，2"+力

[2kn,(22+1)叮],kRZ無

，kQZ

解三角形

1.正弦定理：===(R為三角形外接圓半徑).

變形：a=,b=,c=,sinA=,sinB=

，sinC=.

2.余弦定理：/=,b2=,c2=.

變形：cosA=,cos3=,cosC=?

3.三角形面積公式：S===.

L志磊27?2/?sinA2Rsin82RsinC會捻會

/+，一〃2層+/一/

2.Z?2+c2-2Z?ccosAc^+c1—laccosBc^+tr—labcosC-----------------

)+從一/

2ab

3.JabsinCyacsinB)besinA

(1)在△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA?tan8?tan

(2)在△ABC中，a=bcosC+ccosb=acosC+ccosA；c—bcosA+tzcosB.

(3)在△ABC中，A>Bja>bsinA>sinB"cosA<cosB.

2.思想方法

理解數學抽象，多得分

抽象方法包括：性質抽象、關系抽象、等置抽象、無限抽象，以及強抽象和弱

抽象。

數學考試中，涉及最多的是“關系抽象”、“強抽象和弱抽象”。

數學關系抽象是指根據認識目的，從研究對象中抽取或建構若干構成要素之間

的數量關系或空間位置關系，而舍棄其他無關特征或物理現實意義的抽象方法。

關系抽象在處理問題過程中是經常用到的，有時解題的關鍵就在于一個關系的

抽取或建構。如求值(2sin80°—sin20°)/cos20°,若僅從直觀上抽取80。=4*20。

這個倍數關系，問題將難以解決，而若從特殊角出發，建構8()。角與20。角的如下關

系：80。=60。+20。，問題便可迎刃而解。

弱抽象和強抽象也是數學中常用的抽象方法。

先來看下面兩組例子，一組是：

數一式.

正比例函數一一次函數一代數函數一＞函數.

全等三角形一相似三角形.

另一組是：

三角形一等腰三角形一等邊三角形.

四邊形一平行四邊形一矩形一正方形.

兩組例子給出的是兩種不同的抽象方式：弱抽象和強抽象。

強抽象，可以看成“從一般到特殊的過程”；強抽象，可以看成“從特殊到一般的

過程”。

譬如：試比較1001人2001與2001!的大小。這道題可以直接證明，但是通過考

慮它的一般情況來證明更為簡便。首先，通過觀察100?2001與2001!的結構和聯

系，可以發現，1001=(2001+1)/2,所以問題轉化為比較［(2001+1)/242001與2001!

的大小。將2001抽象成n,將其一般化,即比較［(n+l)/2Fn與n!的大小,聯想不等

式［(1+2+3+…+n)/nFn>n!以及l+2+3+..+n=n(n+l)/2,即得所需結果。

在解決問題中，觀察條件、結論的結構和聯系是非常重要的。

類似的，2022全國高考1卷第7題。

(2022全國高考1卷第7題)設。=0.1e°/*=Jc=—ln().9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<hD.a<c<b

分析：設〃=o.ie?！?力=JLL,c=—ln(l-0.1)

1-0.1

將0.1抽象成x,a-xex,b=—一■,c=-ln(l-x)

l-x

ln?=lnx+x,lnfe=lnx-ln(l-x)^Ulna-ln"=x+ln(l-x)；a-c=xex+ln(l-x)問題

迎刃而解。

理解邏輯推理，快得分

數學推理是學生學習數學、進行思考的基本能力。一般地，可從以下兩個方面

入手培養學生的數學推理能力。

明確“化歸也是推理”的思想

在數學問題中，給出的條件有時會在量、形關系上顯得較為雜亂，無從下手。

這時，需要根據待解問題的表現形式，對所給的量、形關系做和諧統一的化歸。即

化歸應朝著使待解問題在表現形式上趨于和諧，在量、形、關系方面趨于統一的方

向進行，使問題的條件與結論表現得更勻稱和恰當。

【例題】在AABC中，A=2C,求證：b/3<a—c<b/2.

分析條件是角的關系，結論是邊的關系，由統一性原則及正弦定理，將結論與

條件統一起來，轉化為sinB/3<sinA—sinC<sinB/2,進一步將角統一起來，由A

=2C,B=7t—(A+C)=兀一3C,結論進一步轉化為關于單變元C的不等式sin

3C/3<sin2C—sinC<sin3C/2,將之再簡單化為兩個更為具體的不等式，即sin3c/3

Vsin2C—sinC,且sin2C—sinC<sin3c/2.從而，問題就化歸為如下兩個表現形式

上較統一的問題：

(1)在△ABC中，A=2C,求證sin3C<3sin2C—3sinC.

(2)在△ABC中，A=2C,求證2sin2c—2sinC<sin3c.

對于問題(1),繼續將結論統一為關于同角C的同名三角函數的不等式：

sin3C<3sin2C一3sinC,

等價于3sinC—4(sinC)A3<6sinCcosC一3sinC

等價于一4(sinC)人2—6cosC+6<0

等價于2(cosC)A2—3cosC+l<0

等價于(2cosC—l)(cosC—1)<0

等價于2cosC一l>0

等價于cosC>l/2.

問題(1)隨之就化歸為：在AABC中，A=2C,求證cosC>l/2.這是一個很

簡單的問題.同樣可證問題(2).

分析上述解題過程，如何將元素統一，以及將條件與結論在表現形式上的統一

是問題解決的關鍵，化歸正是朝著這個方向進行的。

其實，回顧、反思中學數學學習，很多內容都是遵循統一性原則的：如不同底

的對數式運算常通過換底公式統一為同底數的對數來運算；多變元的問題通過消元

變為一個變元的問題；三角誘導公式的重要作用就是實現三角式的和諧統一，等等。

類似的，2022全國1卷第18題。

(2022?新高考I卷T18)記;ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

cosA_sin2B

1+sinAl+cos2B

(2)求之巨的最小值.

c

分析條件是角的關系，結論是邊的關系，由統一性原則及正弦定理，將結論與

條件統一起來，轉化為以葉普，進一步將角統一起來。由

cosAsin28sinB=-cosC--sinC--

1+sinA]+cos23化成c°s（A+B）=sinB,即:I2

,得

C=-+BA=--2B

2，即有2,進一步轉化為關于單變元B的代數式

cos-2'+「cos-8,從而，問題就化歸為如下表現形式上較統一的問題:

cos-B

【問題3】在AABC中，求一產的最小值.

對于問題3,繼續將其統一為關于同角B的同名三角函數式:

(2cos28-1)~+l-cos2B

cos2B

等價于“求2的最小值“

4cos2B+—；——5

cos2B

問題3隨之就化歸為：在AABC中，求2的最小值.這是一個很簡

4cos28+--——5

cos2B

單的問題.

3.出題背景

常見不等式1

【運用案例】

3111

（2022?全國甲（理）T12）已知。=—,b=cos-,c=4sin—，則（）

3244

A.c>b>aB.h>a>cC.a>b>cD.a>c>b

分析：因為￡=4tan」,因為當xe[（）,4],sinx<x<tanx,所以tan，>-,即：>1,所以

b4<1）44b

c>b?,

結合即可判斷：b>a

故,ob>a

雙曲函數與反雙曲函數

【運用案例】

(2022泰州高一期末)

【運用案例】

—+h

(2022無錫高一期末)已知函數/(x)=-----(a,beR).

2'+。

(1)若〃=-4,h=-8,解關于x的不等式/*)</；

(2)已知/(無)為定義在R上的奇函數.①當xe(-oo,0］時，求/(幻的值域：②若

f(nvc2)+/(1-/nr)>/(0)對任意xwR成立，求加的取值范圍.

(2021常州高一期末)已知函數f(x)=3*+3-￡,函數g(x)=/(2x)—時(x)+6.

(1)填空：函數/(x)的增區間為;

(2)若命題g(x)?O”為真命題，求實數〃?的取值范圍；

(3)是否存在實數加，使函數Mx)=log(“T)g(x)在1()，11上的最大值為()？如果存如果存在,

求出實數機所有的值.如果不存在，說明理由.

【考點】函數的單調性、存在性問題求參數的取值范圍、函數最值的綜合應用

【解析】

⑴/(X)的增區間為［0,+8).(寫開區間亦可)......................2分

(2)由題意g(x)=32jt+3-2x-m(3x+3T)+6=(3'+3-^-/n(3v+3-'j+4,

令1=3，+3722」3，.3-，=2,當且僅當x=0時取“=”，

產斗4

113XER,g(x)<0"為真命題可轉化為“于22,加之上聲”為真命題........4分

產+44I—4

因為上L=f+當且僅當f=2時取“=”，

所以=4,

V)min

所以加24...................6分

(3)由(1)可知，當xw［O,l］時，/=3'+3762,y,記次。=/一皿+4,

若函數Mx）=10g?_3）g（x）在［。，1］上的最大值為。，則

①當0＜機一3＜1即3＜加＜4時,曲）在2,y上的最小值為1,

因為疝）圖象的對稱軸/所以ML=*（2）=8-2加=1,

7

解得加=:€（3,4）,符合題意；.............8分

②當加—3〉1即機〉4時，疝）在2,y上的最大值為1,且疝）＞0恒成立，

因為的圖象是開口向上的拋物線，在2,y上的最大值只可能為。（2）或

7

若。（2）=1,貝ijm=萬＜4,不合題意；

什（10、,127,,.127「3W

右Q—=1,則nil---＞4,此L時D對稱軸1=-----€—，—j

A3J3（）60123」

由9（，）min==4一?<0不合題意.........................11分

7

綜上所述，只有加=一符合條件......................................12分

2

注：如果先考慮re2,—時，〃一加/+4〉0恒成立，由夕（2）＞0,可得加＜4,可以

3

避免討論，同樣得分.

04.高考真題訓練

一、單選題

1.（2022?全國甲（文）T5）將函數/（x）=sin（0x+5卜?！?）的圖像向左平移］個單位長度

后得到曲線C,若C關于y軸對稱，則0的最小值是（）

1111

-C

A.6-43-D.2-

/

.71

2（2022?全國甲（理）T11）設函數/（x）sin

Icox-\~—3在區間（0,兀）恰有三個極值點、兩個

零點，則①的取值范圍是（)

5135\91381319

A.B.C.D.

3'T3,~6~6,366

3.（2022?全國乙（文）T11）函數/（力=85%+（尤+1）5皿》+1在區間［0,2兀］的最小值、最

大值分別為（)

71713兀71兀兀C3兀兀c

A.-----B.—，一C.--,—F2D.----，—F2

22222222

4.（2022?新高考I卷T6）記函數/（X）=sinct)x-\"—+優/>0）的最小正周期為■若

4)

W2兀<T（%，且y=f（x）的圖象關于點（三,2）中心對稱，則/

3

35

A.1B.一C.D.3

22

5.(2022?北京卷T5)己知函數/(xXcosA-sin。

則（）

71n（7171\

A./(3在上單調遞減B.“X）在上單調遞增

~2~6

（JT7乃1

C./（X）在上單調遞減D.”x）在一,一上單調遞增

（412；

6.（2022?北京卷T10）在〈ABC中，AC=3,8C=4,NC=90°為，ABC所在平面內的

動點，且PC=1,則P4PB的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

7.（2022?浙江卷T6）為了得到函數y=2sin3x的圖象，只要把函數y=2sin（3x+W]圖象上

所有的點（）

TTTT

A.向左平移力個單位長度B.向右平移力個單位長度

C向左平移上71個單位長度D.向右平移27T個單位長度

1515

二、填空題

1.（2022?全國甲（文）T16）.己知,ABC中，點。在邊BC上，

AC

ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當工取得最小值時，BD=

AB

2.（2022?全國甲（理）T16）已知,.ABC中，點。在邊BC上，

AC

AADB=120°,AD=2,CD=2BD.當吐取得最小值時，BD=

AB--------

3.（2022?全國乙（理）T15）記函數/（x）=cos（（yx+e）（cy>0,0<e<7t）的最小正周期為T,

若/（T）=等，x=]為/（X）的零點，則。的最小值為.

（2022?新高考n卷T6）角。,僅滿足5皿（1+萬）+（：0$（1+萬）=2/1（：05|1+工N11月，則

4.

(

A.tan(a+夕)=1B.tan(a+〃)=-l

C.tan(a-尸)=1D.tan(a-/7)--1

5.（2022?新高考n卷T9）函數/（》）=5吊（2%+8）（0<9<兀）的圖象以［1-,0）中心對稱，則

(

A.y=/（X）在單調遞減

B.有2個極值點

C.直線》=一是一條對稱軸

6

D.直線y=—X是一條切線

（2022?北京卷T13）若函數/（x）=Asinx-J5cosx的一個零點為3,則人=；

6.

‘斗

f

7.（2022?浙江卷T11）我國南宋著名數學家秦九韶，發現『從三角形三邊求面積的公式，他把

這種方法稱為“三