2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.(2020江蘇邢江中學(xué)期中)若向量a=(4,2,-4),b=(2,1,-1),則2a-3b=()

A.(6,3,-7)B.(-2,-1,-1)

C.(2,1,-5)D.(14,7,-11)

2.(2021山東師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知a=(l,2,2),b=(-2,1,1),則向量b在a

上的投影向量為()

244B244

------

999999

211

---

333D.

3.(2022安徽無為華星學(xué)校月考)已知｛a,b,c｝是空間向量的一組基，｛a,b+c,b-c｝

是空間向量的另一組基,若向量P在基｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為⑵3,-1),則向量P

在基｛a,b+c,b-c｝下的坐標(biāo)是()

A.(2,-1,-2)B.(2,-1,2)

C.(2,1,-2)D.(2,1,2)

4.已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7),則AABC的

重心坐標(biāo)為()

A.(6g,3)B.(4《,2)

C?(叫9g,l)

5.(2021遼寧盤錦第二高級(jí)中學(xué)階段性考試)若a=(2,3,-

1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),則a-(b+c)的值為

6.(2022安徽亳州二中月考)若a=(l,1,0),b=(-l,0,2),則與a+b同方向的單位

向量是.

題組二空間向量平行與垂直

7.(2022安徽蕪湖一中月考)已知a=(入+1,0,2入)，b=(6,2uT,2),若a〃b,則

入和u的值分別為()

A.-,-B.5,2

52

c.--,-D.-5,-2

52'

8.(2021福建泉州期中)已知a=(l,5,-2),b=(m,2,m+1),若a±b,則m的值為

()

A.-6B.-8

C.6D.8

9.已知向量m=(l,1,0),n=(T,0,2),且km+n與2m-n互相平行,則實(shí)數(shù)k的值是

()

A.--B.-C.-D.-2

555

10.(2020陜西商丹高新學(xué)校期末)已知空間向量a=(入，1,-映，b=(入，1,1),則

“人=1”是“a_Lb”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

11.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦?=(1,2,3),而=(2,1,2),而=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP

上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)9?麗取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()

A?&浦B.(|,|5)

C.D.

\333/\3337

12.(2021山東新高考測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考)已知a=(x,T,3),b=(l,2,-

D,C=(1,O,l),c〃(2a+b).

⑴求實(shí)數(shù)x的值；

⑵若(a-b)_L(入a+b),求實(shí)數(shù)X的值.

題組三空間向量的長(zhǎng)度和夾角

13.(2021山東師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a與

b的夾角的余弦值為6-則實(shí)數(shù)x的值為()

A.-3B.11C.3D.-3或11

14.(2021北京第四十三中學(xué)期中)已知向量a=(-l,2,1),b=(3,x,y),且a〃b,那

么［b|=()

A.3V6B.6C.9D.18

15.已知向量a=(l,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=V14,若(a+b)-c=7,則a與c的夾

角為()

A.30°B.60C.120°D.150°

16.(2020北京十二中期中)已知點(diǎn)A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).

⑴若D為線段BC的中點(diǎn),求線段AD的長(zhǎng)；

(2)若而=(2,a,1),且荏-AD=1,求a的值,并求此時(shí)向量荏與南夾角的余弦值.

17.(2020山西太原第五中學(xué)月考)如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線

為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段DC上.

(1)當(dāng)PB=2AP,且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M時(shí)，求|PM|;

⑵當(dāng)點(diǎn)P是面對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí),探究|PQ|的最小

值.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C因?yàn)閍=(4,2「4),b=(2,LT),

所以2a-3b=2(4,2,-4)-3(2,1,-1)=⑵1,-5),故選C.

,

2.B,.a=(l,2)2),b=(-2)1,1),Aa?b=lX(-2)+2X1+2X1=2,

向量a方向上的單位向量e=-^-=Q,f

\a\\333/

..?向量b在a上的投影向量為胃白儡齊,G，|,|)=(|,第).故選B.

3.D因?yàn)橄蛄縋在基｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(2,3,-1),所以P=2a+3b-c.

設(shè)向量P在基｛a,b+c,b-c｝下的坐標(biāo)是(x,y,z),則P=xa+y(b+c)+z(b-

c)=xa+(y+z)b+(y-z)c,

x=2,(x=2,

所以,y+z=3,解得｛y—1,所以向量p在基｛a,b+c,b-c｝卜的坐標(biāo)是(2,1,2).故

(y-z=T，(Z=2.

選D.

4.B設(shè)aABC的重心G的坐標(biāo)為(x,y,z),0為坐標(biāo)原點(diǎn),BC的中點(diǎn)為D,則

信加痔函+|而罰+洛怎+福赤+式麗-在瓜

OA)=1(OA+OB+OC),即(x,y,z)=|[(2,3,1)+(4,1,-2)+(6,3,7)]=(4,1,2).

5.答案5

解析因?yàn)閎=(2,0,3),c=(0,2,2),

所以b+c=(2,2,5),

又因?yàn)閍=(2,3,-1),

所以a?(b+c)=2X2+3X2+(-1)X5=5.

6.答案(0,9,學(xué))

解析,.,a+b=(0,1,2),|a+b|=y,.,.與a+b同方向的單位向量是(0,京島，即

(嗟，甯

7.A因?yàn)閍〃b，所以b=ma(m￡R),

(6=m(A+1),(m=『

BP2/i-l=Tnx0,解得1'=『故選A.

2=mx2A,=工，

8.D因?yàn)閍_Lb,所以a?b=0,

因?yàn)閍=(l,5,-2),b=(m,2,m+1),

所以m+10-2(m+l)=0,解得m=8,

故選D.

9.D9向量m=(l,l,0),n=(-1,0,2),

km+n=(k-1,k,2),2m-n=(3,2,-2).

?.?km+n與2m-n互相平行，

解得k=-2,故選D.

32-Z

10.A當(dāng)入=1時(shí),a=(l,1,-2),b=(l,1,1),所以a?b=0,即a_Lb,故充分性成立;

當(dāng)a±b時(shí),a?b=0,即A2+l-2=0,解得入=±1,故必要性不成立.

所以“人=1”是“a_Lb”的充分不必要條件.故選A.

11.C設(shè)的=入而(入￡R),貝1」麗=函—麗=m一人OP=(1一入，2-入，3—2人)，

QB=OB-OQ=OB-入OP=(2-入，1-入，2-2人)，

所以訓(xùn)?麗=(1一入，2-入，3-2入)?(2-X,1-X,2-2X)=2(3X2-8X+5)=2^3

4\211

3)-3,

所以當(dāng)人胃時(shí),m?麗取得最小值,此時(shí)的W前=(*,*即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

13，3，3/,

12.解析⑴2a+b=2(x,-1,3)+(1,2,T)=(2x+1,0,5).

?.?c〃(2a+b),

/.設(shè)c=u(2a+b)(uWO),

.,.(1,0,1)=(u(2x+l),0,5u),

，匕(2：：1)=1,解得卜.

[5〃—1,1%=2,

???實(shí)數(shù)x的值為2.

(2)由⑴可知a=(2,-1,3),則a-b=(2,-1,3)-(1,2,-1)=(1,-3,4),

Xa+b=X(2,-1,3)+(1,2,-1)

=(2入+1,-入+2,3入-1).

(a-b)_L(入a+b),

.,.2X+1-3(-入+2)+4(3X-1)=0,

17

13.A根據(jù)題意得cos〈a,b〉**7H名":咚

\a\\b\VX2+164-25XV1+44-46

化簡(jiǎn)得各行=咚解得x=-3.

vx2+412

故選A.

14.A根據(jù)題意，設(shè)b=ka(k￡R),

即(3,x,y)=k(-l,2,1),

則有k=-3,則x=-6,y=-3,

則b=(3,—6,—3),

故Ib|=V9+36+9=3V6.

故選A.

15.C由題意可得|a|=VI4,且b=-2a,所以-a?c=7,

所以cos<a,c>_：；cq=］，

|a||c|142

因?yàn)?°W〈a,c>W180°,所以<a,c>=120°，故選C.

16.解析(1)由題意得,D(l,2,1),.?.而=(1,1,一1),|AD|=V1+1+1=V3,即

線段AD的長(zhǎng)為次.

(2)易矢口荏二(1,一2,1),.?.荏?前=2—2a+l=l,解得a=l,：.AD=(2,1,1).

cos<荏,而>=翌

\AB\\AD\V6xV66

即向量荏與而夾角的余弦值為;.

6

17.解析由題意知A(l,0,