第一章一元二次方程1.1一元二次方程目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業1.理解一元二次方程的概念.（重點）2.掌握一元二次方程的一般形式.（重點）3.能用一元二次方程模型解決現實生活中的問題（重點、難點）學習目標新課導入知識回顧判斷下列式子是否是一元一次方程：一元一次方程（1）只有一個未知數（2）未知數的指數是一次（3）方程的兩邊都是整式新課導入情境導入

在設計人體雕像時，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部(全身)的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2m，那么它的下部應設計為多高?解：如圖，雕像的上部高度AC與下部高度BC應有關系：AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.設雕像下部高xm，可得方程x2＝2(2－x).整理，得x2＋2x－4＝0.ACB新課導入x2＋2x－4＝0這個方程與我們學過的一元一次方程不同，其中未知數x的最高次數是2.

思考（1）如何解這類方程?（2）如何用這類方程解決一些實際問題?新課講解

知識點1一元二次方程的定義合作探究

問題一：如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形?新課講解

設切去的正方形的邊長是xcm，則盒底的長為(100－2x)cm，寬為(50－2x)cm.根據方盒的底面積為3600cm2，得(100－2x)(50－2x)＝3600.整理，得4x2－300x＋1400=0.化簡，得x2－75x＋350=0.解上面方程即可得出所切正方形的具體尺寸.xcm(100-2x)

cm(50-2x)

cm化簡后的方程中未知數的個數和最高次數各是多少？分析：新課講解

問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？全部比賽場數為4×7=28.設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他(x－1)個隊各賽一場，因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共

場.列方程.整理，得.

解上面方程即可得出參賽隊數.分析：（2）方程中只含有

未知數，未知數的最高次數是

．（1）這些方程的兩邊都是

．整式2觀察由上面的問題得到的方程有什么特點？新課講解討論

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．結論x2?x=56x2?75x+350=0x2+2x?4=0一個新課講解例

1

下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有

個.

1①含有兩個未知數.②不是整式方程.④未知數的最高次數不是2.⑤整理后未知數的最高次數不是2.③符合一元二次方程的“三要素”.分析：×√×××典例分析新課講解練一練如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是關于x一元二次方程，那么m的值為(

)A．±3

B．3C．－3

D．以上都不對下列關于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝0DC12新課講解

知識點2一元二次方程的一般形式為什么要限制a≠0，

b，c可以為0嗎？

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0)這種形式叫做一元二次方程的一般形式.新課講解ax2

+bx+c=0(a≠

0)二次項系數一次項系數二次項一次項常數項指出方程各項的系數時要帶上前面的符號喲.

二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項：新課講解例

2

將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項．典例分析解：去括號，得3x2－3x＝5x＋10.移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.所以二次項系數為3，一次項系數為－8，常數項為－10.新課講解知識點3一元二次方程模型解決現實生活中的問題問題1：如圖，矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是19m，花圃的面積是24m2.問：矩形花圃的寬與面積之間有何關系？你用什么樣的數學式子來描述它們之間的關系？設花圃的寬是xm，則花圃的長是（19－2x）m，可得：x(19－2x)＝24．新課講解問題2：某校圖書館的藏書在兩年內從5萬冊增加到9.8萬冊．問：圖書館藏書年平均增長的百分率與藏書量之間有何關系？你用什么樣的數學式子來描述它們之間的關系？設圖書館的藏書平均每年增長的百分率是x，圖書館的藏書一年后為5（1＋x）萬冊，兩年后為［5（1＋x）］（1＋x）萬冊，可得：5（1＋x）2

＝9.8．新課講解問題3：如圖，長5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離比梯子的頂端與地面的距離多1m．設梯子的底端與墻的距離是xm，怎樣用方程來描述其中的數量關系？xm5

m(x－1)m

x

2＋（x

－1）2

＝25．課堂小結一元二次方程只含有一個未知數未知數的最高次數是2是整式方程ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式一元二次方程模型解決現實生活中的問題二次項系數一次項系數常數項1.一元二次方程3x2=5x的二次項系數和一次項系數分別

是（

）

A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，0C當堂小練2.下列哪些數是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：－4，3.當堂小練3.根據下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.有一根1m長的鐵絲，怎樣用它圍一個面積為0.06m2的平

方的長方形?解：設長方形的長為xm，則寬為(0.5-x)m.

根據題意，得x(0.5-x)=0.06.

整理，得50x2-25x+3=0.D拓展與延伸1.若a+b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c必有一解為

.

2.若a-b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c必有一解為

.

3.若4a+2b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c必有一解為

.

1-12謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。1.2一元二次方程的解法課時1 直接開平方法第一章一元二次方程目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.（難點）2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.（重點）學習目標若方程(a＋2)-(a－2)x＋1＝0是關于x的一元二次方程，則a的值為()A．±2B．2C．－2D．以上都不對新課導入知識回顧【解析】：由已知條件得a2－2＝2且a＋2≠0，解得a＝2.注意不要漏掉二次項系數不為0這個條件．B新課導入情境導入

一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎?新課導入情境導入解：設其中一個盒子的棱長為xdm，則這個盒子的表面積為6x2dm2，根據一桶油漆可刷的面積，列出方程

10×6x2=1500；

①整理，得

x2=25；根據平方根的意義，得x=±5

；即

x1=5，

x2=－5可以驗證，5和－5是方程①的兩個根，因為棱長不能是負值，所以盒子的棱長為5dm.新課導入思考形如x2=

p(p≥0)的方程可用什么方法求解？新課講解

知識點1形如x2=p(p≥0)型方程的解法解：1

用直接開平方法解方程x2－81＝0.移項得x2＝81.根據平方的意義，得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.移項，要變號開平方降次方程有兩個不相等的實數根典例分析例新課講解用直接開平方法解一元二次方程的方法：首先將方程化成左邊是含有未知數的完全平方式，右邊是非負數，然后化完全平方式的系數為1，最后根據平方根的定義求解．歸納新課講解解得：練一練12新課講解2.解：方程-x2+3=0的解為x1=,x2=-；x2+1=0不能求解，x2不能為負數；可以求解的一元二次方程的二次項系數與常數項的符號相反。新課講解知識點2對于常數p，為什么限定條件p≥0

一般地，對于x2＝p當p＞0時，方程有兩個不相等的實數根，即：當p＜0時，方程無實數根.當p=0時，方程有兩個相等的實數根，即：新課講解知識點3形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法例2

你認為應怎樣解方程(x＋3)2＝5?

解：由方程(x＋3)2＝5，

得

x＋3＝±，

即

x＋3＝

，或x＋3＝－

，

于是，方程(x＋3)2＝5的兩個根為

x1＝－3＋

，x2＝－3－.例1.當方程的一邊容易變形為含未知數的完全平方式，另一邊是非負數時，可以用直接開平方法求解，即：對于(mx＋n)2＝p(p≥0)，得：新課講解

對于可化為(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2的方程，可以用直接開平方發求解嗎？歸納2.若兩邊都是完全平方式，即：（ax+b）2=(cx+d)2，得課堂小結直接開平方法解一元二次方程的“三步法”開方求解變形將方程化為含未知數的完全平方式＝非負常

數的形式；利用平方根的定義，將方程轉化為兩個一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．當堂小練1.下列方程可用直接開平方法求解的是()A．

x2＝4B．4

x2－4x－3＝0C．

x2－3x＝0D．

x2－2x－1＝9A2.已知b＜0，關于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根D．有兩個實數根C當堂小練3.一元二次方程(x＋6)2＝16可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x＋6＝4，則另一個一元一次方程是(

)A．x－6＝4B．x－6＝－4C．x＋6＝0D．x＋6＝－44.一元二次方程(x－2)2＝1的根是(

)A．x＝3B．x1＝3，x2＝－3C．x1＝3，x2＝1D．x1＝1，x2＝－3DC當堂小練解：把代入得：解得原方程為：所以方程的根為：即方程的另一個根為-15.已知方程的一個根是,求k的值和方程的另一個根。

拓展與延伸1.降次的實質：

將一個二次方程轉化為兩個一次方程；

降次的方法：直接開平方法；

降次體現了：轉化思想；2.用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟：

先要將方程化為左邊是含有未知數的完全平方

式，右邊是非負數的形式，再利用平方根的定

義求解.謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。1.2一元二次方程課時2配方法（二次項系數為1）第一章一元二次方程目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業1.理解配方的基本過程，會運用配方法解二次項系數為1的一元二次方程.（重點）2.經歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會轉化的數學思想.學習目標新課導入知識回顧解下列方程：(1)2x2=8(2)(x+3)2-25=0(3)9x2+6x+1=4直接開平方法新課導入知識回顧因式分解的完全平方式，你還記得嗎?完全平方式新課導入新課導入填一填(1)x2+10x+

=(x+

)2(2)x2-12x+

=(x-

)2(3)x2+5x+

=(x+

)2(4)x2-x+

=(x-

)2(5)4x2+4x+

=(2x+

)2625526121新課導入新課導入

移項兩邊加上32,使左邊配成完全平方式左邊寫成完全平方的形式開平方變成了(x+h)2=k的形式想一想如何解方程？x2+6x+4=0新課導入思考

以上解法中,為什么在方程兩邊加9?加其他數行嗎?像上面那樣,通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,這個方程怎樣解？變形為的形式．（ａ為非負常數）變形為x2－8x＋1＝0(x－4)2=15x2-8x+16=-1+16叫做配方法.新課講解知識點1

一元二次方程配方的方法

例1用利用完全平方式的特征配方，并完成填空．(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2＋(________)x＋36＝[x＋(________)]2;(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．255±12±629分析：配方就是要配成完全平方，根據完全平方式的結構特征，當二次項系數為1時，常數項是一次項系數一半的平方．例新課講解歸納

當二次項系數為1時，已知一次項的系數，則常數項為一次項系數一半的平方；已知常數項，則一次項系數為常數項的平方根的兩倍。新課講解練一練1.填空：(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；(4)x2－x＋____＝(x－____)2.2.將代數式a2＋4a－5變形，結果正確的是(

)A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9255366

D新課講解3.將代數式x2－10x＋5配方后，發現它的最小值為(

)A．－30B．－20C．－5

D．04.不論x，y為何實數，代數式x2＋y2＋2x－4y＋7的值(

)A．總不小于2B．總不小于7

C．可為任何實數D．可能為負數BA課堂小結用配方法解系數為1的一元二次方程的步驟:1.移項:把常數項移到方程的右邊;2.配方:方程兩邊都加上一次項系數絕對值一半的平方;3.變形:方程左邊分解因式,右邊合并同類項;4.開方:根據平方根意義,方程兩邊開平方;5.求解:解一元一次方程;6.定解:寫出原方程的解.當堂小練1.用配方法解下列方程，其中應在方程左右兩邊同時加上4的是(

)A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5C．x2－2x＝5D．x2＋2x＝52.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，變形后的結果正確的是(

)A．(x＋4)2＝－9B．(x＋4)2＝－7C．(x＋4)2＝25D．(x＋4)2＝7AD當堂小練3.解下列方程：

(1)x2－x－＝0(2)x(x＋4)＝8x＋12.

拓展與延伸

—般地，如果一個系數為1的一元二次方程通過配方轉化成(x＋n)2＝p的形式，那么就有：(1)當p>0時，方程有兩個不等的實數根

(2)當p＝0時，方程有兩個相等的實數根x1＝x2＝－n；(3)當p<0時，因為對任意實數x，都有(x＋n)2≥0，

所以方程無實數根．x1＝－n－，x2＝－n＋；謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。第一章一元二次方程21.1一元二次方程1.2一元二次方程課時3配方法（二次項系數不為1）目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業學習目標1.理解配方的基本過程，會運用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程.（重點）2.經歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會轉化的數學思想.新課導入知識回顧用配方法解下列方程：(1)x2－6x－16＝0；(2)x2＋3x－2＝0． 新課導入新課導入比較方程x2－x+1=0與方程2x2－5x+2=0有什么關系？后一個方程中的二次項系數變為1，即方程兩邊都除以2就得到前一個方程，這樣就轉化為學過的方程的形式，用配方法即可求出方程的解新課講解解：

常數項移到“＝”右邊1.

解方程：3x2－6x＋4＝0.移項，得

3x2－6x＝－4二次項系數化為1，得配方，得因為實數的平方不會是負數，所以x取任何實數時，(x－1)2都是非負數，上式都不成立，即原方程無實數根．

x2－2x＝.x2－2x＋12＝＋12.

(x－1)2＝

.兩邊同時除以3兩邊同時加上二次項系數一半的平方例知識點1用配方法解一元二次方程新課講解2.

解下列方程．(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；

(1)方程的二次項系數為1，直接運用配方法．

(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次項系數為2，為了便于配方，需將二次項系數化為1，為此方程的兩邊都除以2.分析：例新課講解解：(1)移項，得

x2－8x＝－1.配方，得

x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15.由此可得新課講解

(2)移項，得2x2－3x＝－1.二次項系數化為1，得

配方，得

由此可得

課堂小結用配方法解系數不為1的一元二次方程的步驟:1.化1:把二次項系數化為1(方程兩邊都除以二次項系數);2.移項:把常數項移到方程的右邊;3.配方:方程兩邊都加上一次項系數絕對值一半的平方;4.變形:方程左邊分解因式,右邊合并同類項;5.開方:根據平方根意義,方程兩邊開平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.當堂小練1.解方程2x2－5x＋2＝0.解：兩邊都除以2，得移項，得配方，得

兩邊開平方，得

∴，．當堂小練2.解方程－3x2＋4x＋1＝0．解：兩邊都除以－3，得移項，得

配方，得

兩邊開平方，得∴．當堂小練3.下列用配方法解方程2x2－x－6＝0，開始出現錯誤的步驟是(

)2x2－x＝6，①

，②

，③

④A．①

B．②

C．③

D．④C拓展與延伸5.如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，點P、Q同時由A，B兩點出發分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，問幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？ACBPQ拓展與延伸

解：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．所以2秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．

整理，得x2-14x+24=0,即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2，

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去．謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。1.2一元二次方程的解法課時4公式法第一章一元二次方程目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業經歷求根公式的推導過程.

會用公式法解簡單系數的一元二次方程.(重點）

學習目標新課導入知識回顧配方法解一元二次方程的一般步驟:

(1)移項;(2)二次項系數化為1;(3)配方;(4)開平方.新課導入新課導入你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)嗎?移項，得

ax2+bx=-c．

二次項系數化為1，得

配方，得即

新課導入新課導入

因為a≠0,4a2>0,當b2－4ac≥0時，由②式得②新課講解知識點1

公式法由上可知，一元二次方程的根由方程的系數a，b，c確定．因此，解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式 ，當 時，將a，b，c代入式子

就得到方程的根，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根．新課講解提示：用公式法解一元二次方程的前提是:1.方程是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0);2.b2-4ac≥0.新課講解1

用公式法解方程：x2－4x－7＝0；a＝1，b＝－4，c＝－7.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.方程有兩個不等的實數根解：即1.確定系數；2.計算Δ；3.代入；4.定根；提示：方程必須要轉化成一般形式才能確定系數例新課講解2

用公式法解下列方程：

(1)2x2－

＋1＝0；

(2)5x2－3x＝x＋1；(3)

x2＋17＝8x.解：(1)a＝2，b＝

，c＝1.Δ＝b2－4ac＝

－4×2×1＝0.方程有兩個相等的實數根例新課講解

(2)方程化為5x2－4x－1＝0.a＝5，b＝－4，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.方程有兩個不等的實數根即新課講解

(3)方程化為x2－8x＋17＝0.a＝1，b＝－8，c＝17.Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.方程無實數根．課堂小結公式法求解一元二次方程的步驟：一元二次方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式a=？b=？c=？求Δ＝b2－4acΔ≥0？無實數根否套公式求解是當堂小練1.一元二次方程

的根是(

)A．

B．

C．

D．

C當堂小練2.已知4個數據：－，2，a，b，其中a，b是方程x2－2x－1＝0的兩個根，則這4個數據的中位數是(

)A．1B.C．2D.A拓展與延伸(x＋2)2＝2x＋4；

謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。第一章一元二次方程1.2一元二次方程的解法課時5一元二次方程的根的判別式目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業1.理解并會計算一元二次方程根的判別式.2.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況.（重點）3.會根據一元二次方程根的情況確定字母的取值范圍.（重點、難點）學習目標新課導入公式法求解一元二次方程的根的步驟是什么？1.變形:化已知方程為一般形式;

2.確定系數:確定a,b,c的值（注意符號）;

3.計算:求出b2-4ac的值;

4.判斷：若b2-4ac≥0，則利用求根公式求出;若b2-4ac<0，則方程沒有實數根.新課講解

知識點1根的判別式一般地，式子b2?4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ＝b2?4ac．

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三種情況：

當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數根；

當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；

當Δ<0時，方程無實數根．新課講解1

若關于x的一元二次方程kx2?4x+2=0有兩個不相等的實數根，則k

的取值范圍為

．分析：因為關于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有兩個不相等的實數根，所以k≠0且Δ＞0，即(-4)2-4×k×2＞0，解得k＜2且k≠0，所以k的取值范圍為k＜2且k≠0．例k＜2且k≠0．新課講解歸納判斷方程根的情況的方法：1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左邊是一個完全平方式，則該方程有兩個相等的實數根；2．若方程中a，c異號，或b≠0且c＝0時，則該方程有兩個不相等的實數根；3．當方程中a，c同號時，通過Δ的符號來判斷根的情況．新課講解練一練1方程3x2－x＝4化為一般形式后的a，b，c的值分別為(

)A．3、1、4B．3、－1、－4C．3、－4、－1D．－1、3、－4一元二次方程

中，b2－4ac的值應是(

)A．64B．－64C．32D．－322BA新課講解則該方程根的情況是()A．有兩個不相等的實數根

B．有兩個相等的實數根

C．兩個根都是自然數

D．無實數根A（2015重慶）已知一元二次方程2x2-5x+3=03.課堂小結根的判別式b2-4ac當堂小練1.

關于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有兩個實數根，則實數m的取值范圍是(

)A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1C2.

若關于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有兩個不相等的實數根，則一次函數y＝kx＋b的大致圖象可能是(

)B當堂小練3.關于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有兩個實數根，則k

的取值范圍是()A．k≥0B．k≤0C．k<0且k≠-1D．k≤0且k≠-1D拓展與延伸已知a，b，c為三角形的三邊長，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有兩個相等的實數根.試判斷此三角形的形狀.解：方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，

因為方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有兩個相等的實數根，

所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，

即a2+b2=c2，

所以此三角形為直角三角形．謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。1.2一元二次方程的解法課時6因式分解法第一章一元二次方程目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業1.會用因式分解法解一元二次方程.（重點）

2.能選用合適的方法解一元二次方程.（重點、難點）學習目標新課導入知識回顧解一元二次方程的基本思路是什么?我們已經學過哪些解一元二次方程的方法?降次直接開平方法，配方法，求根公式法.新課導入情景導入

根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經過xs離地面的高度(單位：m)為10x－4.9x2.根據上述規律，物體經過多少秒落回地面(結果保留小數點后兩位)?新課導入思考設物體經過xs落回地面，這時它離地面的高度為0m，即10x－4.9x2＝0.①

除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程①?新課講解知識點1

用因式分解法解方程觀察方程10x－4.9x2＝0，它有什么特點？你能根據它的特點找到更簡便的方法嗎？兩個因式的積等于零至少有一個因式為零10x

-

4.9x2=

0x1

=

0，x2

=x

=

0或10

-

4.9x

=

0x(10-4.9x)=0因式分解法的依據：如果a·b=0，那么a=0或b=0．新課講解解方程10x－4.9x2＝0時，二次方程是如何降為一次的？可以發現，上面的解法中，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次．這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法．新課講解1

解方程：x(x－2)＋x－2＝0；解：

轉化為兩個一元一次方程因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.

例新課講解2

解方程：移項、合并同類項，得4x2－1＝0.因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，解：例新課講解歸納采用因式分解法解一元二次方程的技巧為：

右化零，左分解，兩因式，各求解.2.用因式分解法解一元二次方程時，不能將“或”

寫成“且”，因為降次后兩個一元一次方程并

沒有同時成立，只要其中之一成立了就可以了.新課講解1因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0；

(2)3x2－6x＝－3；解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，于是得x＝0，或x＋1＝0，x1＝0，x2＝－1.(2)

移項，化簡，得x2－2x＋1＝0，因式分解，得(x－1)2＝0，于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.練一練新課講解3△ABC的三邊長都是方程x2－6x＋8＝0的解，則△ABC的周長是(

)A．10 B．12C．6或10或12 D．6或8或10或12已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，則該三角形的周長可以是(

)A．5B．7C．5或7D．102BC課堂小結因式分解法概念步驟簡記歌訣：右化零左分解兩因式各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0.原理將方程左邊因式分解，右邊=0.因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).當堂小練1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的兩根分別為（

）A.3，-5B.-3，-5C.-3，5D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（

）

A.-1B.2C.1和2D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是

.4.方程

的根是

.DDx1=1,x2=2拓展與延伸一元二次方程解法的比較方法理論依據適用方程關鍵步驟主要特點直接開平方法平方根的定義(ax+b)2=n(a≠0，n≥0)型方程開平方求解迅速、準確，但只適用于一些特殊結構的方程因式分解法若ab=0，則a=0或b=0能化為一邊為0，另一邊為兩個因式乘積的形式的方程分解因式求解迅速、準確，但適用范圍小配方法完全平方公式所有一元二次方程配方解法煩瑣，當二次項系數為1時用此法比較簡單公式法配方所有一元二次方程代入求根公式計算量大，易出現符號錯誤謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。1.3一元二次方程的根與系數的關系第一章一元二次方程目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業1.探索一元二次方程的根與系數的關系.（難點）

2.不解方程的情況下利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.（重點）學習目標新課導入知識回顧寫出一元二次方程的一般式：2.一元二次方程求根公式.ax2＋bx＋c＝0(a≠0)新課導入新課導入

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式不僅表示可以由方程的系數a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數之間的聯系，一元二次方程根與系數之間的聯系還有其他表現方式嗎?新課講解知識點1

一元二次方程的根與系數的關系

【思考1】

從因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2為已知數)的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關系嗎?方程兩個根的和、積與系數分別有如下關系：

x1＋x2＝－p，x1x2＝q.新課講解

【思考2】

一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項系數a未必是1，它的兩個根的和、積與系數又有怎樣的關系呢?新課講解知識點由求根公式知新課講解方程的兩個根x1，x2和系數a，b，c有如下關系：這表明任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：

項與二次項系數的兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數比．滿足上述關系的前提條件b2-4ac≥0.新課講解1

根據一元二次方程的根與系數的關系，求

下列方程兩個根x1，x2的和與積：

(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.

解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化為4x2－5x＋1＝0，

例新課講解練一練1若x1，x2是一元二次方程x2

－4x－5＝0的兩根，則x1·x2的值為(

)A．－5

B．5

C．－4

D．4已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個實數根，則下列結論錯誤的是(

)A．x1≠x2

B．x12－2x1＝0C．x1＋x2

＝2

D．

x1?

x2＝22AD新課講解3不解方程，求下列方程兩個根的和與積：(1)x2－3x＝15；(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；(4)2x2－x＋2＝3x＋1.解：(1)方程化為x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.新課講解

新課講解知識點2一元二次方程根與系數關系的應用2

已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一個根為2，

求方程的另一個根和q的值．分析：利用兩根之和與積求解例新課講解解：設這個方程的另一個根為m，則∵m＋2＝6，2m＝q.∴

m＝4，

q＝8.當q

＝8時，Δ=(-6)2-4×8=4＞0，

∴另一個根為4，q的值為8.課堂小結若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別為x1，x2，則若方程x2+px+q=0有兩個實根x1，x2，則x1+x2=-p,x1x2=q.當堂小練1.早期，甲肝流行，傳染性很強，曾有2人同時患上甲肝.在一天內，一人平均能傳染x人，經過兩天傳染后128人患上甲肝，則x的值為()A.10 B.9 C.8

D.7D分析：依題意得2+2x+x(2+2x)=128，解得x1=7，x2=-9(不合題意，舍去)．故x

的值為7．當堂小練2.參加足球聯賽的每兩隊之間都進行了兩次比賽（雙循環比賽），共要比賽90場，共有多少個隊參加了比賽？解：設共有x個隊參加了比賽.

依題意x(x-1)=90.

解得x1=10,x2=-9(舍去).答：共有10個隊參加了比賽.當堂小練3.兩個相鄰偶數的積是168.求這兩個偶數的和．解：設較小的偶數為x，則另一個偶數為(x+2)，依題意，得x(x+2)=168，解得x1=12，x2=-14，∴x+2=14或x+2=-12，∴x+(x+2)=±26．答：這兩個偶數的和為±26．拓展與延伸一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系數學語言文字語言一元二次方程的兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比.使用條件1.方程是一元二次方程，即二次項系數不為0；2.方程有實數根，即Δ≥0.重要結論1.若一元二次方程x2+px+q=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=-p，x1x2=q.2.以實數x1，x2為兩根的二次項系數為1的一元二次方程是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0.謝謝大家學生課堂行為規范的內容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學無關的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應先舉手，經教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環境衛生。離開教室要整理好桌椅，并協助老師關好門窗、關閉電源。第一章一元二次方程1.4用一元二次方程解決問題課時1面積問題和增長率問題目錄CONTENTS1學習目標2

新課導入3

新課講解4

課堂小結5

當堂小練6

拓展與延伸7

布置作業1.掌握面積法建立一元二次方程的數學模型.（難點）2.能運用一元二次方程解決與面積有關的實際問題.（重點）3.掌握建立數學模型以解決增長率問題（重點）學習目標新課導入知識回顧新課導入情境導入

第三年種的水稻平均每公頃的產量為

.第一年平均每公頃產8000kg第二年種的水稻平均每公頃的產量為

；

新課講解

知識點1面積問題1等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個梯形的高.分析：本題可設高為xcm，上底和下底都可以用含x的代數式表示出來.然后利用梯形的面積

公式來建立方程求解.例新課講解

解：設這個梯形的高為xcm，則上底為（x+4）cm，

下底為(x+20)cm.根據題意得

整理，得解得x1=8,x2=－20(不合題意，舍去)答：這個梯形的高為8cm.新課講解歸納

利用一元二次方程解決規則圖形問題時，一般要熟悉幾何圖形的面積公式、周長公式或體積公式，然后利用公式進行建模并解決相關問題.新課講解練一練某校準備修建一個面積為180平方米的矩形活動場地，它的長比寬多11米，設場地的寬為x米，則可列方程為(

)A．x(x－11)＝180B．2x＋2(x－11)＝180C．x(x＋11)＝180D．2x＋2(x＋11)＝180C1新課講解解：設一條直角邊的長為xcm，則另一條直角邊的長

為(14－x)cm.可得到12x(14－x)＝24，方程可化為x2－14x＋48＝0，解得x1＝6，x2＝8.當x＝6時，14－x＝14－6＝8；當x＝8時，14－x＝14－8＝6.所以兩條直角邊的長分別為8cm和6cm.一個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm，面積是24cm2.求兩條直角邊的長。2新課講解知識點2不規則圖形的應用

如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之—，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度(結果保留小數點后一位)?新課講解分析：封面的長寬之比是27∶21＝9∶7，中央的矩

形的長寬之比也應是9∶7.設中央的矩形的長

和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊

襯與左、右邊襯的寬度之比是

＝9(3－a)∶7(3－a)

＝9∶7新課講解設上下邊襯的寬為9xcm,左右邊襯的寬為7xcm,依題意得∴上、下邊襯的寬均為

1.8cm，左、右邊襯的寬均為

1.4cm解：新課講解

如果換一種設未知數的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題?請你試一試．解：設正中央的矩形兩邊長分別為9xcm，7xcm.

依題意得

解得故上下邊襯的寬度為：