2022-2023學年九年級數學下冊舉一反三系列專題6.4相似三角形的性質【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1利用相似三角形的性質求角度】 2【題型2利用相似三角形的性質求線段長度】 2【題型3利用相似三角形的性質求面積】 3【題型4利用相似三角形的性質求周長】 4【題型5利用相似三角形的判定與性質證明角度相等】 4【題型6利用相似三角形的判定與性質證明對應線段成比例】 6【題型7尺規作圖作相似三角形】 7【題型8在網格中畫與已知三角形相似的三角形】 8【題型9新定義中的相似三角形】 9【題型10相似與函數綜合探究】 11【知識點1相似三角形的性質】①相似三角形的對應角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級中學九年級階段練習）如圖，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【變式1-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網格上有兩個相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數為（）A．135° B．90° C．60° D．45°【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級期末）如圖，點A、B、C、D四點共線，ΔPBC是等邊三角形，當ΔPAB～ΔDPC時，∠APD的度數為（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【題型2利用相似三角形的性質求線段長度】【例2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在CD上取一點F，使△CBF∽△ABE，則DF的長是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【變式2-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-2】（2022·全國·九年級專題練習）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三邊長分別為2，14，3，△DEF的其中的兩邊長分別為1和7，則第三邊長為______．【變式2-3】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校二模）如圖所示，圖中x=___．【題型3利用相似三角形的性質求面積】【例3】（2022·陜西渭南·九年級階段練習）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為25:36，則△ABC與△DEF的對應邊的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【變式3-1】（2022·河南新鄉·九年級期末）△ABC與△A'B'C'的位似比是1:2，已知A．3 B．6 C．9 D．12【變式3-2】（2022·河北石家莊·九年級期末）把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則它的面積擴大為原來的__________倍．【變式3-3】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連結AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于______．【題型4利用相似三角形的性質求周長】【例4】（2022·湖南株洲·九年級期末）有一個直角三角形的邊長分別為3，4，5，另一個與它相似的直角三角形的最小邊長為7，則另一個直角三角形的周長是（

）A．425 B．845 C．21【變式4-1】（2022·重慶實驗外國語學校八年級期末）如圖是一個邊長為1的正方形組成的網絡，△ABC與△A1B1C1都是格點三角形（頂點在網格交點處），并且△ABC∽△A1B1C1，則△ABC與△A1B1C1的周長之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【變式4-2】（2022·遼寧·阜新市第四中學九年級階段練習）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長是______．【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且【題型5利用相似三角形的判定與性質證明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中學九年級期中）如圖，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求證：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長．【變式5-1】（2022·上海·測試·編輯教研五八年級期末）如圖，在△ABC中，點D、點E分別在AC、AB上，點P是BD上的一點，聯結EP并延長交AC于點F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求證：BE?BA=BP?BD；(2)若∠ACB=90°，求證：CP⊥BD．【變式5-2】（2022·山東·東平縣江河國際實驗學校二模）如圖，點D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，連接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若點E是AC的中點，AD=2AE，求證：∠1=∠C．【變式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊AC，AB，BC上的點，DE∥BC，DF∥AB．(1)求證：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【題型6利用相似三角形的判定與性質證明對應線段成比例】【例6】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知△ADE的頂點E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求證：DFDE【變式6-1】（2022·江蘇·九年級專題練習）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：OCPD（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【變式6-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是邊BC的延長線上一點，E是邊AC上一點，且∠EBC=∠D．求證：CEAB【變式6-3】（2022·湖南益陽·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．(1)求證：EGAD(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；【題型7尺規作圖作相似三角形】【例7】（2022·山東煙臺·八年級期末）尺規作圖：如圖，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）(1)在AB邊上求作點D，使DB=DC；(2)在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．【變式7-1】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使點E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【變式7-2】（2022·陜西寶雞·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是AC邊上一定點．請用尺規作圖法在BC上求作一點P，使得△ABC∽△PCD．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式7-3】（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B．(1)請用無刻度的直尺和圓規按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：①過點D作AB的平行線交BC于點F；②P為AB邊上的一點，且△DAP∽△PBC，請找出所有滿足條件的點；(2)在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝．【題型8在網格中畫與已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，A、B、C、D四點均在正方形網格的格點上，線段AB、CD相交于點O．(1)請在網格圖中畫出兩條線段（不添加另外的字母），構成一對相似三角形，并用“∽”符號寫出這對相似三角形：(2)線段AO的長為______．【變式8-1】（2022·河南南陽·九年級期末）（1）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上．在方格紙內畫△A'B'C（2）△A【變式8-2】（2022·浙江溫州·九年級專題練習）請在如圖所示的網格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中畫出線段AB的中垂線(2)如圖2，在線段AB上找出點C，使AC:CB=1:2．【變式8-3】（2022·浙江溫州·九年級期中）如圖，在8×8的方格中，△ABC的三個頂點都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．(1)請在圖1中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1(2)請在圖2中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且面積比為2：1【題型9新定義中的相似三角形】【例9】（2022·陜西渭南·九年級期末）四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線稱為這個四邊形的“理想對角線”．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，當∠ADC=145°時．求證：對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”；(2)如圖2，四邊形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，求AC的長．【變式9-1】（2022·福建·廈門市第五中學八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關于直線l對稱，且直線l經過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【變式9-2】（2022·江蘇常州·九年級期末）如果經過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分，其中一部分與原三角形相似，那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的“形似線段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如圖1，若∠B=100°，請過頂點C畫出△ABC的“形似線段”CM，并標注必要度數；②如圖2，若∠B=90°，BC=1，則△ABC的“形似線段”的長是．如圖3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似線段”，求EG的長．【變式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定義：如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這樣的三角形為倍角三角形．根據上述定義可知倍角三角形中有一個角是另一個角的2倍，所以我們就可以通過作出其中的2倍角的角平分線，得出一對相似三角形，再利用我們學過的相似三角形的性質解決相關問題．請通過這種方法解答下列問題：(1)如圖1，△ABC中，AD是角平分線，且AB2=BD?BC(2)如圖2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的長；(3)如圖3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的長．【題型10相似與函數綜合探究】【例10】（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．點D是線段AC上的一點，點E在射線CB上且∠CDE＝∠B．(1)求BC的長；(2)若AD＝x，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是y，求y關于x的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．【變式10-1】（2022·全國·九年級）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分別為垂足．(1)已知：∠APC＝90°，求證：△ABP∽△PDC．(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，點P是線段BD上的一動點，若使點P分別與A、B和C、D構成的兩個三角形相似，求線段PB的值．(3)已知：AB＝2，CD＝3，點P是直線BD上的一動點，設PB＝x，BD＝y，使點P分別與A、B和C、D構成的兩個三角形相似，求y關于x的函數解析式．【變式10-2】（2022·廣東茂名·二模）如圖，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函數y=kxk>0的圖像與矩形的邊AB、BC分別交于點D、E(1)求點D的坐標及k的值；(2)點Pm,0m>2是線段OC上的一個動點，當△AOP∽△PCE時，求【變式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，且AC＝12cm，BD＝16cm．點P從點B出發，速度為1cm/s；同時，點Q沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，且與AD，BD，Q，F；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：(1)當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？(2)設四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；(3)是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此時PE的長度；若不存在，請說明理由．專題6.4相似三角形的性質【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1利用相似三角形的性質求角度】 2【題型2利用相似三角形的性質求線段長度】 4【題型3利用相似三角形的性質求面積】 6【題型4利用相似三角形的性質求周長】 8【題型5利用相似三角形的判定與性質證明角度相等】 10【題型6利用相似三角形的判定與性質證明對應線段成比例】 14【題型7尺規作圖作相似三角形】 19【題型8在網格中畫與已知三角形相似的三角形】 23【題型9新定義中的相似三角形】 29【題型10相似與函數綜合探究】 37【知識點1相似三角形的性質】①相似三角形的對應角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】根據相似三角形的對應角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根據三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵△ABC~△DEF，∴∠A＝∠D＝50°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，相似三角形對應角相等，對應邊成比例．【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級中學九年級階段練習）如圖，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【答案】C【分析】根據相似三角形的性質得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根據三角形內角和定理計算即可．【詳解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°，∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2(180°-31°-117°)=64°，故選：C．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應角相等是解題的關鍵．【變式1-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網格上有兩個相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數為（）A．135° B．90° C．60° D．45°【答案】D【分析】根據相似三角形的對應角相等和三角形內角和等于180°，即可得出．【詳解】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°，∴∠ABC+∠ACB=故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，解題的關鍵是找到相似三角形中的對應關系．【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級期末）如圖，點A、B、C、D四點共線，ΔPBC是等邊三角形，當ΔPAB～ΔDPC時，∠APD的度數為（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【答案】A【分析】根據ΔPAB～ΔDPC得出∠A=∠DPC，根據ΔPBC是等邊三角形得出∠PBC=∠BPC=60°，根據外角的性質得出∠A+∠APB=∠PBC=60°，可推出∠APB+∠DPC=60°，從而即可得到答案.【詳解】∵ΔPAB～ΔDPC∴∠A=∠DPC∵ΔPBC是等邊三角形∴∠PBC=∠BPC=60°∴∠A+∠APB=∠PBC=60°∴∠APB+∠DPC=60°∴∠APD=∠APB+∠PBC+∠DPC=120°故選A.【點睛】本題考查了相似三角形的性質，等邊三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.【題型2利用相似三角形的性質求線段長度】【例2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在CD上取一點F，使△CBF∽△ABE，則DF的長是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【答案】A【分析】E是AD的中點可求得AE，根據三角形相似的性質可得CFAE=BC【詳解】解：∵E是AD的中點，AD=6，∴AE=1又∵△CBF∽△ABE，∴CFAE=解得CF=1.8，∴DF=DC-CF=10-1.8=8.2，故選：A．【點睛】本題考查了三角形相似的性質，掌握三角形相似的性質對應邊的比相等是解題的關鍵．【變式2-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據已知條件得到BCEF＝12，即可得到EF＝2【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，∴BCEF＝1∴EF＝2BC＝2．故選：B【點睛】本題考查了相似的性質，熟知相似三角形的性質是解題關鍵．【變式2-2】（2022·全國·九年級專題練習）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三邊長分別為2，14，3，△DEF的其中的兩邊長分別為1和7，則第三邊長為______．【答案】3【分析】先求得相似比，再列式計算求得【詳解】設△DEF的第三邊長為x，∵△ABC∽△DEF且△ABC的三邊長分別為2，14，3，△DEF的其中的兩邊長分別為1和7，∴12∴x＝33∴△DEF的第三邊長為3故答案為：3【點睛】本題考查了相似三角形的性質，求出相似比是解題關鍵．【變式2-3】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校二模）如圖所示，圖中x=___．【答案】2【分析】先根據三角形內角和定理求出∠C的度數，由相似三角形的判定定理可判斷出ΔABC∽【詳解】解：∵ΔABC中，∠A=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°，∵∠E=∠B=30°，∠C=∠F，∴Δ∴BCEF即24∴x=22故答案為：22【點睛】本題涉及到三角形內角和定理、相似三角形的判定及性質，比較簡單．【題型3利用相似三角形的性質求面積】【例3】（2022·陜西渭南·九年級階段練習）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為25:36，則△ABC與△DEF的對應邊的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【答案】A【分析】根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方先求出△ABC與△DEF的相似比即可．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF且△ABC與△DEF的面積比為25:36∴它們的相似比為5：6．故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答本題的關鍵．【變式3-1】（2022·河南新鄉·九年級期末）△ABC與△A'B'C'的位似比是1:2，已知A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩個三角形的相似比，根據題意計算即可．【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，∴△ABC與△A′B′C′的面積比為1：4，∵△ABC的面積是3，∴△A′B′C′的面積是12，故選：D．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．【變式3-2】（2022·河北石家莊·九年級期末）把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則它的面積擴大為原來的__________倍．【答案】9【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方得出即可．【詳解】解：∵把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，∴面積擴大為原來的9倍，故答案為：9．【點睛】本題考查了相似三角形的性質的應用，能正確運用相似三角形的性質進行計算是解此題的關鍵，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長比等于相似比．【變式3-3】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連結AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于______．【答案】96【分析】根據勾股定理得到AC＝4，當AD⊥BC時，△ADE的面積最小，根據三角形的面積公式得到AD＝AB?ACBC=3×45=【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∵△ADE∽△ABC，∴ADAB=∴AE=4∴S△ADE∴當AD⊥BC時，△ADE的面積最小，∴此時有S△ABC∴AD＝AB?ACBC∴△ADE的最小面積=2故答案為9625【點睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關鍵．【題型4利用相似三角形的性質求周長】【例4】（2022·湖南株洲·九年級期末）有一個直角三角形的邊長分別為3，4，5，另一個與它相似的直角三角形的最小邊長為7，則另一個直角三角形的周長是（

）A．425 B．845 C．21【答案】D【分析】根據題意求出三角形的周長，根據相似三角形的周長比等于相似比列式計算即可．【詳解】解：設另一個直角三角形的周長為x，∵三角形的邊長分別為3，4，5，∴周長為：3＋4＋5＝12，∵兩個三角形相似，∴12x解得：x＝28，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵．【變式4-1】（2022·重慶實驗外國語學校八年級期末）如圖是一個邊長為1的正方形組成的網絡，△ABC與△A1B1C1都是格點三角形（頂點在網格交點處），并且△ABC∽△A1B1C1，則△ABC與△A1B1C1的周長之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【答案】C【分析】根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB=2,A∴△ABC與△A1B1C1的周長之比ABA故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．【變式4-2】（2022·遼寧·阜新市第四中學九年級階段練習）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長是______．【答案】27【分析】根據兩個三角形相似，相似三角形的周長比等于相似比，即可解出△DEF的周長．【詳解】∵△ABC∽△DEF∴相似三角形的周長比等于相似比∴C∴12+6+9∴C故答案為：274【點睛】本題考查了相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握：相似三角形的周長比等于相似比．【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且【答案】9【分析】利用相似三角形的周長的比等于相似比求解即可．【詳解】解：∵△ABC∽∴△ABC的周長：△A'B∵△ABC的周長是18cm，∴△A故答案為：9．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，用到的知識點為：相似三角形周長的比等于相似比．【題型5利用相似三角形的判定與性質證明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中學九年級期中）如圖，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求證：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長．【答案】(1)見解析(2)BE=【分析】（1）根據角平分線的定義可得∠BAE=∠DAC，結合已知條件得出△BAE∽△DAC，根據相似三角形的性質即可得證；（2）根據△BAE∽△DAC列出比例式，代入數據計算即可求解．（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAC，又ABAD∴△BAE∽△DAC，∴∠E=∠C；（2）∵△BAE∽△DAC，∴ABAD∵AB=9，∴9解得BE=27【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．【變式5-1】（2022·上海·測試·編輯教研五八年級期末）如圖，在△ABC中，點D、點E分別在AC、AB上，點P是BD上的一點，聯結EP并延長交AC于點F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求證：BE?BA=BP?BD；(2)若∠ACB=90°，求證：CP⊥BD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明△PBE和△ABD相似，即可證明．（2）先證明△ABC∽△CBE，再證明△PBC∽△CBD，得到∠BPC=∠BCD=90°，即可證明．（1）證明：∵∠A=∠EPB，∠PBE=∠ABD，∴△PBE∽△ABD，∴BE∴BE?BA=BP?BD．（2）證明：∵∠A=∠ECB，∠ABC=∠CBE，∴△ABC∽△CBE，∴BC∴BE?BA=BC又∵BE?BA=BP?BD，∴BC∴BC∵∠PBC=∠CBD，∴△PBC∽△CBD，∵∠ACB=90°，∴∠BPC=∠BCD=90°，∴CP⊥BD．【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據相似三角形的對應邊成比例列出相應的比例式，再經過適當的變形使所得的比例式符合“兩邊成比例且夾角相等”的形式．【變式5-2】（2022·山東·東平縣江河國際實驗學校二模）如圖，點D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，連接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若點E是AC的中點，AD=2AE，求證：∠1=∠C．【答案】（1）25；（2）見解析【分析】（1）由∠C=∠BAD、∠ABD=∠CBA可得出△ABD∽△CBA，根據相似三角形的性質可得出ABBC（2）由點E是AC的中點、AD=2AE，可得出AD【詳解】解：（1）∵∠C=∠BAD，∠B=∠B,∴ΔABD∽ΔCBA∴ABBC∵AB=5∴BD?BC=A（2）∵點E是AC的中點，∴AC=2AE.∵AD=2AE.∴ADACAEAD∴ADAC又∠DAE=∠CAD(公共角).，∴△DAE∽△CAD，∴∠1=∠C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，解題的關鍵是：（1）根據相似三角形的性質找出等積式；（2）由邊與邊之間的關系找出兩邊對應成比例，結合夾角相等證明三角形相似【變式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊AC，AB，BC上的點，DE∥BC，DF∥AB．(1)求證：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）證明四邊形BEDF為平行四邊形，從而得到∠B=∠EDF；（2）證明△DFC∽△AED，利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解．(1)證明：∵DE//BC，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴∠B=∠EDF．(2)解：∵CF=1∴BF=2∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴ED=BF=2∵DE//BC，∴∠C=∠ADE，∠CDF=∠A，∴△DFC∽△AED，∴S△DFC【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解決本題的關鍵是將相似三角形的面積之比轉化為相似比的平方．【題型6利用相似三角形的判定與性質證明對應線段成比例】【例6】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知△ADE的頂點E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求證：DFDE【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）根據∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，證明ΔBAE∽ΔEAF（2）首先由∠DAF=∠CAE，得到∠DAE=∠CAF，然后進一步證明ΔDAE∽ΔCAB，根據相似三角形對應邊成比例和對應角相等得到DEBC=ADAC，∠D=∠C（1）解：∵∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，∴△BAE∽∴AEAF∴AE∵AF=BF=4，∴AE∴AE=42（2）證明：∵∠DAF=∠CAE，∠FAE=∠FAE，∴∠DAE=∠CAF，∵∠FEA=∠B，∴△DAE∽∴DEBC=AD∵∠DAF=∠EAC，∴△DAF∽∴DFEC∴DEBC∴CEBC【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質和判定方法．相似三角形性質：相似三角形對應邊成比例，對應角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對應相等的兩個三角形相似；②兩組邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③三組邊對應成比例的兩個三角形相似．【變式6-1】（2022·江蘇·九年級專題練習）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：OCPD（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【答案】（1）見解析；（2）10【分析】（1）根據折疊的性質得到∠APO=∠B=90°，根據相似三角形的判定定理證明ΔOCP∽ΔPDA，進而解答即可；（2）根據相似三角形的相似比得出PC=1【詳解】證明：（1）由折疊的性質可知，∠APO=∠B=90°，∴∠APD+∠OPC=90°，又∠POC+∠OPC=90°，∴∠APD=∠POC，又∠D=∠C=90°，∴ΔOCP∽ΔPDA，∴OCPD（2）∵OP與PA的比為1：2，∴PC=1設AB=x，則DC=x，AP=x，DP=x-4，在Rt△APD中，AP2=A解得，x=10，即AB=10．【點睛】本題考查的是矩形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應角相等、對應邊相等．【變式6-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是邊BC的延長線上一點，E是邊AC上一點，且∠EBC=∠D．求證：CEAB【答案】見解析【分析】由AB=AC可知∠ABC=∠ACB，結合∠EBC=∠D，判定△BCD∽△DBA即可得證．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，即∠ABD=∠ECB，∵∠EBC=∠D，∴△BCD∽△DBA，∴CEAB【點睛】本題考查三角形的相似性質和判定，等相關知識點，牢記知識點是解題關鍵．【變式6-3】（2022·湖南益陽·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．(1)求證：EGAD(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；【答案】(1)見解析(2)FD與DG垂直，證明見解析【分析】（1）由比例線段可知，我們需要證明△ADC～△EGC,由兩個角對應相等即可證得．（1）由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據矩形的性質及相似三角形的判定可得到△AFD～△CGD,從而不難得到結論．(1)在△ADC和△EGC中，∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△EGC．∴EGAD(2)FD與DG垂直．證明如下：

在四邊形AFEG中，∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，∴四邊形AFEG為矩形．∴AF＝EG．∵EGAD∴AFAD=又∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，∴△AFD∽△CGD．∴∠ADF＝∠CDG．∵∠CDG+∠ADG＝90°，∴∠ADF+∠ADG＝90°．即∠FDG＝90°．∴FD⊥DG．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質，①如果兩個三角形的兩組對應角相等，那么這兩個三角形相似;②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似.【題型7尺規作圖作相似三角形】【例7】（2022·山東煙臺·八年級期末）尺規作圖：如圖，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）(1)在AB邊上求作點D，使DB=DC；(2)在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據題意作出BC垂直平分線交AB于點D，即可求解；（2）作∠ADE=∠ACB即可求解．（1）如圖所示，作出BC垂直平分線交AB于點D，D點即為所求；（2）如圖所示，作∠ADE=∠ACB交AC于點E，點E即為所求．∵∠A=∠A,∠ACB=∠ADE，∴△ADE∽△ACB．【點睛】本題考查了作垂直平分線，作一個角等于已知角，掌握垂直平分線的性質，相似三角形的性質以及基本作圖是解題的關鍵．【變式7-1】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使點E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【答案】(1)見解析(2)CE的長為2【分析】（1）根據作一個角等于已知角進行作圖即可；（2）先求出∠C=30°，∠ABD=∠CBD=30°，再求出CD與BC的長，再由△CDE∽△CBD列出比例式CECD(1)作圖如下：(2)∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴∠C=30°，∵BD平分∠ABC．∴∠ABD=∠CBD=30°，∵在Rt△ABC中，BA=3，∠C∴AC=3∵在Rt△ABD中，BA=3，∠ABD∴AD=∴CD=2，∵△CDE∽△CBD，∴CECD∴CE2解得：CE=23【點睛】本題考查了相似三角形的性質及判定及直角三角形的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質．【變式7-2】（2022·陜西寶雞·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是AC邊上一定點．請用尺規作圖法在BC上求作一點P，使得△ABC∽△PCD．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】由△ABC∽△PCD和AB＝AC，可以推導出△PCD為等腰三角形，即可知點P在線段CD的中垂線上．【詳解】解：∵△ABC∽△PCD，∴ABPC∴△PCD是以P為頂點的等腰三角形，及P在線段CD的中垂線上，如圖，點P即為所求.【點睛】本題考查相似三角形的應用、尺規作圖，通過相似找到線段關系，準確畫出圖像是解題的關鍵．【變式7-3】（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B．(1)請用無刻度的直尺和圓規按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：①過點D作AB的平行線交BC于點F；②P為AB邊上的一點，且△DAP∽△PBC，請找出所有滿足條件的點；(2)在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝．【答案】(1)見解析；(2)3+3或【分析】（1）延長AD，作∠EDF=∠A，則此時DF∥AB；先作DC的垂直平分線，過點D作AB的垂線交AB于點M，以C為頂點，CD為角的一條邊，作∠DCO=ADM，交CD的垂直平分線于一點O，以O為圓心，以OC為半徑作圓，與AB的交點即為所求作的點P；（2）根據相似三角形對應邊相等，列出關于AP的關系式，求解即可．(1)如圖所示：DF即為所求作的平行線；如圖所示，符合條件的點P共有兩個；(2)∵△DAP∽△PBC，∴ADPB設AP=x，則BP=6-x，∴26-x即x6-x-x解得：x1=3+3即AP=3+3或3-【點睛】本題主要考查了尺規作圖，三角形相似的性質，熟練掌握尺規作一個角等于已知角，線段的垂直平分線，是解決本題的關鍵．【題型8在網格中畫與已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，A、B、C、D四點均在正方形網格的格點上，線段AB、CD相交于點O．(1)請在網格圖中畫出兩條線段（不添加另外的字母），構成一對相似三角形，并用“∽”符號寫出這對相似三角形：(2)線段AO的長為______．【答案】(1)見解析，△AOC∽△BOD(2)3【分析】（1）如圖，連接BD，AC即可，可得△AOC∽△BOD．（2）利用相似三角形的性質求解即可．(1)如圖，連接AC，BD，由格點圖可得BD∥AC，∴△AOC∽△BOD，(2)∵△AOC∽△BOD，∴OAOB∵DB=12+12=2，AC=∴OAOB∴AO=3OB，∴AO=3故答案為：3【點睛】本題考查作圖-應用與設計，三角形的三邊關系，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式8-1】（2022·河南南陽·九年級期末）（1）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上．在方格紙內畫△A'B'C（2）△A【答案】（1）答案見解析；（2）12【分析】（1）根據相似比為2:1先確定對應點的位置，再連接即可得到答案；（2）先求出根據△ABC的面積，然后根據相似三角形的性質得到△A【詳解】（1）如圖，△A（2）由題意得，S∵△A'∴∴故答案為：12．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質定理，涉及作圖，熟練掌握知識是解題關鍵．【變式8-2】（2022·浙江溫州·九年級專題練習）請在如圖所示的網格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中畫出線段AB的中垂線(2)如圖2，在線段AB上找出點C，使AC:CB=1:2．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取格點E，F，作直線EF即可；（2）將點A沿網格向下移動2個小格到點M，將點B沿網格向上移動4個小格到點N，連接MN交AB于點C，則點C即為所求．（1）如圖所示，利用網格線確定中點，然后使二者垂直即可；（2）將點A沿網格向下移動2個小格到點M，將點B沿網格向上移動4個小格到點N，連接MN交AB于點C，∴AM:BN=1:2，∵△ACM∽△BCN，∴AM∴點C即為所求，如圖所示：【點睛】本題考查作圖—應用與設計作圖，相似三角形的應用，解題關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題．【變式8-3】（2022·浙江溫州·九年級期中）如圖，在8×8的方格中，△ABC的三個頂點都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．(1)請在圖1中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1(2)請在圖2中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且面積比為2：1【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）已知△ABC的三邊長分別為AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，則△A1B（2）已知△ABC的三邊長分別為AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，則△A2B2C（1）解：如圖1所示：△A1B1C1即為所求；（2）如圖2所示：△A2B2C2即為所求．【點睛】此題主要考查了相似變換，正確得出相似三角形的邊長是解題關鍵．【題型9新定義中的相似三角形】【例9】（2022·陜西渭南·九年級期末）四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線稱為這個四邊形的“理想對角線”．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，當∠ADC=145°時．求證：對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”；(2)如圖2，四邊形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，求AC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)6【分析】（1）利用兩角對應相等證明△ABD∽△DBC，可得結論；（2）利用“理想對角線”的定義可得△ABC與△DAC相似，先找到對應角（分兩種情況），再利用相似三角形的性質即可求解．（1）證明：如圖1中，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∠ABC=70°，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=1∵AD∥BC，∠ADC=145°，∴∠C=180°-∠ADC=180°-145°=35°，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=∠C=35°，∴△ABD∽△DBC，∴對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”．（2）解：如圖2中，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD，∵對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，∴△ABC與△DAC相似，①若∠ABC=∠DAC，則△ABC∽△DAC，∴ACBC=DC∵BC=3，CD=2，∴AC解得：AC1=②若∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∠BCA=∠ACD，∴△ABC≌△DAC，與四邊形的“理想對角線”的定義矛盾，∴∠BAC與∠DAC不相等，即第二種情況不存在．綜上所述，AC的長為6．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，四邊形的“理想對角線”的定義，等邊對等角，平行線的性質，角平分線的性質等知識．解題的關鍵是靈活運用相似三角形的判定和性質．【變式9-1】（2022·福建·廈門市第五中學八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關于直線l對稱，且直線l經過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【答案】（1）見解析（2）①a=b+1②見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點即可；（2）①根據題意得到a=2c，聯立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②證明△ABE∽△CBA，得到AECA【詳解】（1）如圖，點F為所求；（2）①∵△ABC是“和諧三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．聯立化簡得到a=b+1；②∵E點是BD中點∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和諧三角形”．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知垂直平分線的做法．【變式9-2】（2022·江蘇常州·九年級期末）如果經過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分，其中一部分與原三角形相似，那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的“形似線段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如圖1，若∠B=100°，請過頂點C畫出△ABC的“形似線段”CM，并標注必要度數；②如圖2，若∠B=90°，BC=1，則△ABC的“形似線段”的長是．(2)如圖3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似線段”，求EG的長．【答案】(1)①見解析；②32或(2)3【分析】（1）①使∠BCM=30°即可，②利用三角形相似求解，分論討論，當∠CBD=30°時，當∠CDB=60°時，結合勾股定理求解；（2）進行分類討論，若△DEG∽△DFE，若△FEG∽△FDE，結合DE=4，EF=6，DF=8進行求解．(1)①如圖所示，②分論討論如下：當∠CBD=30°時，如下圖：∴DC=1∵∠A=30°，∴∠C=60°，∴BD=B當∠CDB=60°時，如下圖：設BD=x，則DC=2x，(2x)2解得：x=3∴DC=2則△ABC的“形似線段”的長是32或2故答案為：32或2(2)解：①若△DEG∽△DFE，則EGEF∵DE=4，EF=6，DF=8，∴EG=3．②若△FEG∽△FDE，則EGDE∵DE=4，EF=6，DF=8，∴EG=3．綜上，EG=【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握三角形相似的判定及性質，及利用分論討論的思想進行求解．【變式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定義：如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這樣的三角形為倍角三角形．根據上述定義可知倍角三角形中有一個角是另一個角的2倍，所以我們就可以通過作出其中的2倍角的角平分線，得出一對相似三角形，再利用我們學過的相似三角形的性質解決相關問題．請通過這種方法解答下列問題：(1)如圖1，△ABC中，AD是角平分線，且AB2=BD?BC(2)如圖2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的長；(3)如圖3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)AC=4.5(3)AC=3【分析】（1）根據相似三角形的判定可證△ABD∽△CBA，進而由相似三角形的性質可得∠BAD=∠C，角平分線的性質可得∠BAC=2∠BAD，等量代換即可求證結論；（2）作△ABC的角平分線AD，根據角平分線的性質易得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，進而可證△ABD∽△CBA，根據相似三角形的性質可得AB2=BD?BC，進而可得BD、CD，由等角對等邊可得AD=CD=（3）過點A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分別交BC于點D，E，根據三等分線的性質可知：∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，進而可證△ABD～△CBA，由相似三角形的性質可得：AB2=BD?BC，進而可得BD、CD，根據外角的性質和等量代換可得∠BAE=∠BEA=2∠C,進而由等角對等邊可得BE=AB=8，進而可得△ADE∽△CDA，由相似三角形的性質可得：A(1)∵AB∴ABBC∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD=∠C，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠BAD，∴∠BAC=2∠C，∴△ABC是倍角三角形：(2)如圖2，作△ABC的角平分線AD，則∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，∵∠BAC=2∠C，∴∠BAD=∠C，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴AB∴BD=6.4，∴CD=BC-BD=10-6.4=3.6，∵∠CAD=∠C，∴AD=CD=3.6，∵ADAC∴3.6AC∴AC=4.5(3)如圖3，過點A作∠BAC的三等分角，AD，AE分別交BC于點D，E，則∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，∵∠BAC=3∠C，∴∠BAD=∠C，∵∠B=∠B，∴△ABD～△CBA，∴AB∴BD=6.4，∴CD=BC-BD=10-6.4=3.6，∵∠BAE=∠BEA=2∠C，∴BE=AB=8，∴CE=2，DE=1.6，∵∠CAE=∠C，∴AE=CE=2，∵∠DAE=∠C，∠ADC=∠EDA，∴△ADE∽∴AD∴AD=2.4，∵AEAC∴2AC∴AC=3.【點睛】本題考查相似三角形的判定及其性質、角平分線的性質、等角對等邊等知識，正確做輔助線構造相似三角形，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法及其性質．【題型10相似與函數綜合探究】【例10】（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．點D是線段AC上的一點，點E在射線CB上且∠CDE＝∠B．(1)求BC的長；(2)若AD＝x，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是y，求y關于x的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)6(2)y=-【分析】（1）根據勾股定理可以直接求得BC的長；（2）當點E在線段BC上時，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是△CDE的面積，根據△ABC∽△EDC得到CE即可求出△CDE的面積，當點E在CB的延長線上時，根據相似三角形的性質求出高OF關于x的表達式，即可求得S△ADO，從而得到y=S(1)解：∵∠C＝90°∴BC∴BC=A(2)解：當點E在線段BC上時，S∵∠C＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠DEC=∴△ABC∽△EDC,∴DCBC∵AC=8,BC=6,DC=8-x∴CE=8∴S∴S△DCE如下圖所示，當E點于B點重合，即BC=CE=6時，即43得x=7∴當72≤x≤8時，當0≤x<72時，點E在設AB交DE于點O，過點O作OF⊥AC，∵∠DFO=∠C=90°，∴△FDO∽△CBA，∵∠DFO=∠C=90°，∴△AFO∽△ACB，∴FOAC=設OF=h，∵AF∴h86h=8n即3h=4n6x+6n=8h解方程組得：h=12∴S△ADOy=S∴y=-67【點睛】本題考查直角三角形、相似三角形的性質，解題的關鍵是根據相似三角形對應邊成比例建立等式，得到相應邊長關于x的表達式，從而求得三角形的面積，最終得到函數的解析式．【變式10-1】（2022·全國·九年級）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分別為垂足．(1)已知：∠APC＝90°，求證：△ABP∽△PDC．(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，點P是線段BD上的一動點，若使點P分別與A、B和C、D構成的兩個三角形相似，求線段PB的值．(3)已知：AB＝2，CD＝3，點P是直線BD上的一動點，設PB＝x，BD＝y，使點P分別與A、B和C、D構成的兩個三角形相似，求y關于x的函數解析式．【答案】(1)證明見解析；(2)PB＝1，或PB＝6，或PB＝145(3)①當P線段BD上時①△ABP∽△PDC時，y=x+6x；②△ABP∽△CDP，y=52x；③當點P在在BD的延長線上時，【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B與∠D為直角，又∠APC＝90°，則∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，從而證出△ABP∽△PDC．（2）設PB＝x，則PD為（7﹣x），然后分兩種情況討論：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．據此，即可利用相似三角形的性質列出比例式，從而求出線段PB的值．（3）分三種情形情況討論：當點P在線段BD時①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．據此，即可利用相似三角形的性質列出含x、y的比例式，從而求出y關于x的函數解析式，當點P在線段BD的延長線上，當點P在線段DB的延長線上時，分解求解即可；（1）解：證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°①，∴∠A+∠APB＝90°，又∵∠APB+∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD②，∴由①②，△ABP∽△PDC．（2）設PB＝x，則PD為（7﹣x），①△ABP∽△PDC時，ABPD即27-x解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0，x＝1或x＝6，②△ABP∽△CDP．ABCD即23解得x＝145綜上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝145（3）當P線段BD上時①△ABP∽△PDC時，ABPD即2y-x整理得，y＝x+6x②△ABP∽△CDP．ABCD即2整理得，y＝52x當點P在在BD的延長線上時，③△ABP∽△PDC時，ABPD∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y，2x-yy＝x﹣6x當P在DB的延長線時，④△PBA∽△CDP，PBCD＝AB∴x3∴y＝6x﹣x⑤△PAB∽△PCD時，PBPD∴xx+y＝2∴y＝12x【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，分類討論思想是解題的關鍵．【變式10-2】（2022·廣東茂名·二模）如圖，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函數y=kxk>0的圖像與矩形的邊AB、BC分別交于點D、E(1)求點D的坐標及k的值；(2)點Pm,0m>2是線段OC上的一個動點，當△AOP∽△PCE時，求【答案】(1)43,3(2)10【分析】（1）利用矩形的性質結合BD=2AD即可求得AD，即可求出D點坐標；將D點坐標代入反比例函數解析式即可求k；（2）連接BP，設OP=m，CP=4-m，根據△AOP∽△PCE，得OAPC=OPCE，即可求出m，則在(1)∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD=4又∵OA=3，∴D(4∵點D在雙曲線y=k∴k=4(2)連接BP，如圖，依題意設OP=m，CP=4-m．∵△AOP∽△PCE，∴OAPC即34-m解得m=1（不合題意，舍去）或m=3，經檢驗m=3是原方程的根，∴OP=3∴PC=OC-OP=4-3=1．∵BC=OA=3，∴在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP=1【點睛】本題考查了矩形的性質、求反比例函數的的參數、相似三角形的性質、勾股定理以及解分式方程等知識，利用△AOP∽△PCE，得到OAPC【變式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，且AC＝12cm，BD＝16cm．點P從點B出發，速度為1cm/s；同時，點Q沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，且與AD，BD，Q，F；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：(1)當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？(2)設四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；(3)是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此時PE的長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)t=(2)y＝﹣t2+25t(3)存在，19455【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，OA=12AC，OB=12BD．在Rt△AOB中，運用勾股定理求出AB=10．再由ΔDFQ∽ΔDCO（2）過點C作CG⊥AB于點G，由S菱形ABCD=AB?CG=12AC?BD，求出CG．據S梯形（3）過點C作CG⊥AB于點G，由S菱形ABCD=AB?CG，求出CG，由S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40，求出t，再由ΔPBN∽（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=1在Rt△AOB中，AB=6∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴Δ∴DFDC即DF10∴DF=5∵四邊形APFD是平行四邊形，∴AP=DF．即10-t=5解這個方程，得t=40∴當t=409s（2）如圖1，過點C作CG⊥AB于點G，∵S即10?CG=1∴CG=48∴=1∵Δ∴QDOD即t8∴QF=3同理，EQ=3∴EF=QF+EQ=3∴S∴y=(6（3）如圖2，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，若S四邊形則-3即5t解這個方程，得t1=4，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，當t=4時，∵Δ∴PNAO=PB∴PN=125，∴EM=EQ-MQ=3-12PM=BD-BN-DQ=16-16在Rt△PME中，PE=P【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合知識，主要涉及到菱形的性質、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、函數與方程以及數形結合思想的綜合運用，解題的關鍵是根據三角形相似比求出相關線段．專題6.5相似三角形的應用【七大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1相似三角形的應用（九章算術）】 1【題型2相似三角形的應用（影長問題）】 3【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】 4【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】 6【題型5相似三角形的應用（樹高問題）】 8【題型6相似三角形的應用（河寬問題）】 9【題型7相似三角形的應用（內接矩形問題）】 11【知識點相似三角形的應用】在實際生活中，我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時，可以把它們轉化為數學問題，建立相似三角形模型，再利用對應邊的比相等來達到求解的目的。同時，需要掌握并應用一些簡單的相似三角形模型?！绢}型1相似三角形的應用（九章算術）】【例1】（2021·北京大興·九年級期中）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）．【變式1-1】（2022·湖南株洲·九年級期末）《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（

）米．A．5 B．4 C．3 D．2【變式1-2】（2022·河北·二模）《九章算術》的“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是：如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點，南門B位于EH的中點．從北門出去正北方向20步遠的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（

）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【變式1-3】（2021·河南·鶴壁市淇濱中學九年級階段練習）《海島算經》是中國最早的一部測量數學著作，由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術注》之第十卷，題為《重差》，所有問題都是利用兩次或多次測望所得的數據來推算可望而不可及的目標的高、深、廣、遠，因首題測算海島的高、遠得名《海島算經》，亦為地圖學提供了數學基礎．《海島算經》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勺端望谷底，入下股九尺一寸．又設重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？大致意思是：望一個如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN，在山谷邊緣處放置一個直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一條直線上，CN⊥MN，從點A處望山谷底部M處時，視線經過BC上的點E處，測得EC長為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，從A'處望山谷底部M處時，視線經過B【題型2相似三角形的應用（影長問題）】【例2】（2022·浙江金華·九年級期末）如圖，小明在8：30測得某樹的影長為16m，13：00時又測得該樹的影長為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（

）A．10m B．8m C．6m D．4m【變式2-1】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180【變式2-2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）如圖，河對岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點D處，自己的影長DF=4m，沿BD方向到達點F處再測自己的影長FG=5m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿【變式2-3】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學八年級期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當她走到P點時,發現她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當她向前再步行12m到Q點時，發現她身前影子的頂端剛好接觸到路燈B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求兩路燈之間的距離.(2)當小萌在A，B之間走動時，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個影子的長的和變嗎?請說明理由.【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】【例3】（2022·山東臨沂·二模）如圖，EF是一個杠桿，可繞支點O自由轉動，若動力F動和阻力F阻的施力方向都始終保持豎直向下，當阻力F阻不變時，則杠桿向下運動時FA．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定【變式3-1】（2019·全國·九年級專題練習）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動，現有一塊石頭，要使其滾動，杠桿B端必須向上翹10cm，已知杠桿上的AC與BC長度之比為5:1，則要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘米？【變式3-2】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動，此時拉力為F，若點B為OA的中點，AC，BD分別垂直地面于點C，D，則根據杠桿平衡原理得拉力F的大小為（

）A．5N B．10N C．15N D．20N【變式3-3】（2021·甘肅白銀·九年級期末）如圖，以點O為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當杠桿OA水平時，拉力為F；當杠桿被拉至OA1時，拉力為F1，過點B1作B1C⊥OA，過點A1作A1D⊥OA，垂足分別為點C、D．在下列結論中：①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?FA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】【例4】（2019·四川·成都市雙流區立格實驗學校九年級階段練習）劉徽，公元3世紀人，是中國歷史上最杰出的數學家之一．《九章算術注》和《海島算經》是他留給后世最寶貴的數學遺產．《海島算經》第一個問題的大意是：如圖，要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高3丈的標桿BC和DE，兩桿之間的距離BD＝1000步，點D、B、H成一線，從B處退行123步到點F處，人的眼睛貼著地面觀察點A，點A、C、F也成一線，從DE退行127步到點G處，從G觀察A點，A，E，G三點也成一線，試計算山峰的高度AH及BH的長（這里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，結果用步來表示）．【變式4-1】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽市之北杜鎮，用純鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔為中國現存鐵塔中最高的一座．某數學興趣小組本著用數學知識解決實際問題的想法，欲測量該塔的高度．如圖，在點C處有一建筑物，小麗同學站在建筑物上，眼睛位于點D處，她手拿一支長0.5米的竹竿EF，邊觀察邊移動竹竿（竹竿EF始終與地面垂直），當移動到如圖所示的位置時，眼睛D與竹竿、塔的頂端E、A共線，同時眼睛D與它們的底端F、B也恰好共線，此時測得∠BDC=63°，小麗的眼睛距竹竿的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．請你根據以上測量結果計算該塔的高度AB．【參考數據：tan63°≈2【變式4-2】（2022·陜西·模擬預測）延安寶塔，是歷史名城延安的標志，是革命圣地的象征，坐落在陜西省延安市主城東南的寶塔山景區內．周末，數學實踐小組的同學帶著測量工具測量延安寶塔的高度．測量方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標桿AB，發現地面上的點D、標桿頂端B與寶塔頂端M在一條直線上，測得AD=4.3m；然后，移開標桿，在A處放置測角儀，調整測角儀的高度，當測角儀高AC為1m時，恰好測得點M的仰角為45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，點D、A、N在一條直線上，點A，C、B在一條直線上，求延安寶塔的高MN．【變式4-3】（2022·陜西西安·一模）“攬月閣”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標志性建筑，陽光明媚的一天，某校九年級一班的興趣小組去測量攬月閣的高度．攬月閣前面有個高1米的平臺，身高1.8米的小強在臺上走動，當小強走到點C處，小紅蹲在臺下點N處，其視線通過邊緣點M和小強頭頂點D正好看到塔頂A點，測得CM=0.9米，然后小強從正前方跳下后，往前走到點E處，此時發現小強頭頂F在太陽下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點P處，測得NE=5米，EP=1米．請你根據以上數據幫助興趣小組求出攬月閣的高度．【題型5相似三角形的應用（樹高問題）】【例5】（2011·遼寧大連·中考真題）為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度，學校數學應用