$number{01}三角函數初步目錄三角函數基本概念三角函數圖像與性質三角函數誘導公式及變形三角函數周期性、奇偶性與對稱性三角函數在實際問題中應用三角函數求值、化簡和證明方法01三角函數基本概念兩條射線與其共同的端點所組成的圖形稱為角，角的度量單位是度。角度弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度是角的另一種度量單位。弧度角度與弧度123三角函數定義正切函數在直角三角形中，正切值等于對邊長度除以鄰邊長度，即tanA=a/b。正弦函數在直角三角形中，正弦值等于對邊長度除以斜邊長度，即sinA=a/c。余弦函數在直角三角形中，余弦值等于鄰邊長度除以斜邊長度，即cosA=b/c。奇偶性正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數。周期性正弦函數和余弦函數具有周期性，周期為2π。有界性正弦函數和余弦函數的值域為[-1,1]，正切函數的值域為全體實數。特殊角三角函數值如30°、45°、60°等特殊角度的三角函數值需要熟記。三角函數性質02三角函數圖像與性質圖像特點周期性振幅與相位正弦函數圖像與性質正弦函數的圖像是一條連續的波浪線，在y軸兩側無限延伸。正弦函數具有周期性，其最小正周期為2π。正弦函數的振幅為1，相位由初相決定。余弦函數同樣具有周期性，其最小正周期也為2π。周期性振幅與相位圖像特點余弦函數的振幅為1，相位由初相決定。余弦函數的圖像與正弦函數相似，但相位相差π/2，即圖像沿x軸向右平移π/2個單位。030201余弦函數圖像與性質

正切函數圖像與性質周期性正切函數具有周期性，其最小正周期為π。奇偶性正切函數是奇函數，即滿足f(-x)=-f(x)。圖像特點正切函數的圖像是一系列間斷的直線段，在每個周期內從負無窮到正無窮。在x=kπ+π/2（k為整數）處存在垂直漸近線。03三角函數誘導公式及變形三角函數具有周期性，利用周期性可以將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數。周期性正弦函數為奇函數，余弦函數為偶函數，利用奇偶性可以將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數。奇偶性利用角度和差公式，可以將任意角的三角函數轉化為已知角的三角函數。角度關系誘導公式推導過程利用誘導公式可以求出任意角的三角函數值，例如sin(135°)=sin(45°+90°)=cos(45°)。求值問題利用誘導公式可以將復雜的三角函數表達式化簡為簡單的形式，例如sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。化簡問題利用誘導公式可以證明一些與三角函數相關的恒等式或不等式。證明問題誘導公式應用舉例變形公式在三角函數的求值、化簡和證明等問題中有廣泛應用，例如利用和差化積公式可以求出某些復雜三角函數的值，利用積化和差公式可以將某些三角函數表達式化簡為更簡單的形式。將兩個角的和差轉化為兩個角的乘積，例如sin(α+β)=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]。將兩個角的乘積轉化為兩個角的和差，例如sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2。將二倍角的三角函數轉化為單角的三角函數，例如sin2α=2sinαcosα。變形公式及其應用和差化積公式積化和差公式倍角公式應用舉例04三角函數周期性、奇偶性與對稱性三角函數的周期性正弦函數、余弦函數、正切函數等都是周期函數，它們的周期分別為$2pi$、$2pi$、$pi$。周期函數的定義對于函數$y=f(x)$，如果存在一個正數$T$，使得對于任意$x$都有$f(x+T)=f(x)$，則稱$y=f(x)$為周期函數，$T$為它的周期。判斷方法通過觀察函數圖像或者利用周期函數的性質來判斷一個函數是否為周期函數，并確定其周期。周期性及其判斷方法對于函數$y=f(x)$，如果對于任意$x$都有$f(-x)=-f(x)$，則稱$y=f(x)$為奇函數；如果對于任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，則稱$y=f(x)$為偶函數。奇函數和偶函數的定義正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數，正切函數是奇函數。三角函數的奇偶性通過觀察函數圖像或者利用奇偶函數的性質來判斷一個函數是否為奇函數或偶函數。判斷方法奇偶性及其判斷方法三角函數的對稱性正弦函數、余弦函數、正切函數等都具有對稱性，它們的對稱軸和對稱中心與周期和奇偶性密切相關。判斷方法通過觀察函數圖像或者利用對稱性的性質來判斷一個函數是否具有對稱性，并確定其對稱軸或對稱中心。對稱性的定義對于函數$y=f(x)$，如果對于任意$x_1,x_2$都有$f(x_1)=f(x_2)$，則稱$y=f(x)$關于直線$x=frac{x_1+x_2}{2}$對稱。對稱性及其判斷方法05三角函數在實際問題中應用利用三角函數解決角度問題在直角三角形中，已知兩邊求角度，或已知角度和一邊求另一邊，均可通過三角函數求解。三角函數的圖像和性質利用三角函數的圖像和性質，可以解決一些與角度、邊長相關的幾何問題。在幾何問題中應用在簡諧振動和波動中，物體的位移與時間的關系可以用三角函數來描述。在交流電路中，電流、電壓的瞬時值可以用三角函數表示，進而可以求解功率、相位等問題。在物理問題中應用交流電振動和波動在工程中，經常需要測量角度、距離等參數，利用三角函數可以方便地解決這些問題。例如，在測量建筑物的高度時，可以利用三角函數和已知的距離、角度來計算。測量和定位在力學和運動學中，物體的運動軌跡往往可以用三角函數來描述。例如，拋體運動的軌跡就是一個拋物線，可以用三角函數來表示其方程。力學和運動學在工程問題中應用06三角函數求值、化簡和證明方法直接利用三角函數的定義，求出已知角的三角函數值。已知角求值利用特殊角的三角函數值，如30°、45°、60°等，進行求值。特殊角求值利用三角函數的誘導公式，將所求角轉化為已知角或特殊角，再進行求值。誘導公式求值求值方法總結123利用同角三角函數的基本關系式，如$sin^2alpha+cos^2alpha=1$，進行化簡。利用同角三角函數關系式化簡利用三角函數的和差化積公式，如$sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny$，進行化簡。利用和差化積公式化簡利用三角函數的積化和差公式，如$2sinxcosy=sin(x+y)+sin(x-y)$，進行化簡。利用積化和差公式化簡化簡方法舉例03綜合法證明綜合運用