103/103專題03函數、方程及不等式的應用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一函數、方程及不等式的應用題型01坐標方法的簡單應用題型02從函數圖象上獲取信息題型03實際問題與一次方程（組）類型一一元一次方程與實際問題類型二列二元一次方程組類型三二元一次方程組與實際問題題型04分式方程的實際應用類型一列分式方程類型二分式方程與實際問題題型05不等式（組）的實際應用題型06一元二次方程的實際應用題型07一次函數的實際應用類型一行程問題類型二最大利潤問題類型三幾何問題類型四分配問題類型五其它問題題型08反比例函數與實際問題題型09二次函數與實際問題類型一銷售問題類型二拱橋問題類型三圖形問題類型四圖形運動問題類型五投球問題【好題必刷·強化落實】

考點要求命題預測函數、方程及不等式的應用函數、方程及不等式的應用在中考數學中出題類型比較廣泛，選擇題、填空題、解答題都有可能出現，并且對應難度也多為中等難度，是屬于占分較多的一類考點.但是同一張試卷，方程類問題只會出現一種，不會重復考察.涉及本考點的知識點重點有:由實際問題抽象出一次方程(組)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的實際應用，解不等式(組)的應用題，與一次函數、反比例函數、二次函數的相關應用題等.考點一函數、方程及不等式的應用題型01坐標方法的簡單應用利用隱含的平面直角坐標系確定地理位置的坐標的一般步驟：1)根據已知地理位置的坐標找出原點的位置:2)根據原點的位置建立平面直角坐標系;3)由平面直角坐標系得到其他地理位置的坐標.用坐標表示地理位置確定物體位置的方法：有行列定位法、方向角+距離定位法、經緯定位法，最常用的是用平面直角坐標系中點的坐標來表示位置解答此類問題的關鍵是建立平面直角坐標系，而建立平面直角坐標系的關鍵是確定坐標原點,確定坐標原點的位置一般分兩種情況:(1)題目隱含條件中已經給定:(2)任意選擇，自建坐標系.1．（2022·廣西柳州·統考中考真題）如圖，這是一個利用平面直角坐標系畫出的某學校的示意圖，如果這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，并且綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），則教學樓的坐標是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【答案】D【分析】根據綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），先確定坐標原點以及坐標系，再根據教學樓的位置可得答案．【詳解】解：如圖，根據綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），畫圖如下：∴教學樓的坐標為：(2,2).故選D【點睛】本題考查的是根據位置確定點的坐標，熟練的根據已知條件建立坐標系是解本題的關鍵．2．（2020·河北·統考中考真題）如圖，從筆直的公路l旁一點P出發，向西走6km到達l；從P出發向北走6km也到達l．下列說法錯誤的是（

A．從點P向北偏西45°走3km到達B．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏東45°D．從點P向北走3km后，再向西走3km【答案】A【分析】根據方位角的定義及勾股定理逐個分析即可．【詳解】解：如圖所示，過P點作AB的垂線PH，選項A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB為等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，又PH⊥AB，∴△PAH為等腰直角三角形，∴PH=22選項B：站在公路上向西南方向看，公路l的走向是南偏西45°，故選項B正確；選項C：站在公路上向東北方向看，公路l的走向是北偏東45°，故選項C正確；選項D：從點P向北走3km后到達BP中點E，此時EH為△PEH的中位線，故EH=12AP=3，故再向西走3km故選：A．【點睛】本題考查了方位角問題及等腰直角三角形、中位線等相關知識點，方向角一般以觀測者的位置為中心，所以觀測者不同，方向就正好相反，但角度不變．3．（2019·浙江金華·統考中考真題）如圖是雷達屏幕在一次探測中發現的多個目標，其中對目標A的位置表述正確的是（

）A．在南偏東75o方向處 B．在5km處C．在南偏東15o方向5km處 D．在南偏東75o方向5km處【答案】D【分析】根據方向角的定義解答即可．【詳解】觀察圖形可得，目標A在南偏東75°方向5km處，故選D．【點睛】本題考查了方向角的定義，正確理解方向角的意義是解題關鍵．題型02從函數圖象上獲取信息從函數圖象中獲取信息的方法

(1)首先弄清坐標軸所表示的意義：x軸和y軸上的點分別表示自變量和因變量，要弄清自變量與因變量及其取值范圍是什么:

(2)弄清圖象上的點所表示的意義：由該點向x軸和y軸分別作垂線，當自變量取x軸上的垂足所對應的數時，因變量取y軸上的垂足所對應的數.

(3)弄清圖象上的最高點和最低點分別表示的意義：最高點對應著函數的最大值，最低點對應著函數的最小值，進而求出函數的取值范圍,(4)弄清圖象上的上升線、下降線、水平線分別表示的意義:上升線表示函數值隨自變量取值的增加而增大，下降線表示函數值隨自變量取值的增加而減下，水平線表示函數值隨自變量取值的增加而不變.1．（2023·貴州·統考中考真題）今年“五一”假期，小星一家駕車前往黃果樹旅游，在行駛過程中，汽車離黃果樹景點的路程y（km）與所用時間x（h）之間的函數關系的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．小星家離黃果樹景點的路程為50km B．小星從家出發第1小時的平均速度為75km/hC．小星從家出發2小時離景點的路程為125km D．小星從家到黃果樹景點的時間共用了3h【答案】D【分析】根據路程、速度、時間的關系，結合圖象提供信息逐項判斷即可．【詳解】解：x=0時，y=200，因此小星家離黃果樹景點的路程為50km，故A選項錯誤，不合題意；x=1時，y=150，因此小星從家出發第1小時的平均速度為50km/h，故B選項錯誤，不合題意；x=2時，y=75，因此小星從家出發2小時離景點的路程為75km，故C選項錯誤，不合題意；小明離家1小時后的行駛速度為150?752?1=75km/h，從家出發2小時離景點的路程為75km故選D．【點睛】本題主要考查從函數圖象獲取信息，解題的關鍵是理解題意，看懂所給一次函數的圖象．2．（2022·山東濰坊·中考真題）地球周圍的大氣層阻擋了紫外線和宇宙射線對地球生命的傷害，同時產生一定的大氣壓，海拔不同，大氣壓不同，觀察圖中數據，你發現，正確的是（

）A．海拔越高，大氣壓越大B．圖中曲線是反比例函數的圖象C．海拔為4千米時，大氣壓約為70千帕D．圖中曲線表達了大氣壓和海拔兩個量之間的變化關系【答案】D【分析】根據圖象中的數據回答即可．【詳解】解：A．海拔越高，大氣壓越小，該選項不符合題意；B．∵圖象經過點(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，∴圖中曲線不是反比例函數的圖象，該選項不符合題意；C．∵圖象經過點(4，60)，∴海拔為4千米時，大氣壓約為60千帕，該選項不符合題意；D．圖中曲線表達了大氣壓和海拔兩個量之間的變化關系，該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了函數的圖象，解題的關鍵是讀懂題意，能正確識圖．3．（2023·四川自貢·統考中考真題）如圖1，小亮家?報亭?羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下列結論錯誤的是（

）

A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘 B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米C．報亭到小亮家的距離是400米 D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘【答案】D【分析】根據函數圖象，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.從函數圖象可得出，小亮從家到羽毛球館用了7分鐘，故該選項正確，不符合題意；

B.1000?40045?37即小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米，故該選項正確，不符合題意；C.從函數圖象可得出，報亭到小亮家的距離是400米，故該選項正確，不符合題意；D.小亮打羽毛球的時間是37?7=30分鐘，故該選項不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了函數圖象，理解函數圖像上點的坐標的實際意義，數形結合是解題的關鍵．4．（2023·浙江溫州·統考中考真題）【素材1】某景區游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．【素材2】設游玩行走速度恒定，經過每個景點都停留20分鐘．小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關系（部分數據）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（

）

A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米【答案】B【分析】設①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由題意及圖象可知x+y+z45【詳解】解：由圖象可知：小州游玩行走的時間為75+10?40=45（分鐘），小溫游玩行走的時間為205?100=105（分鐘）；設①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由圖象可得：x+y+z45解得：x+y+z=2700，∴游玩行走的速度為2700?2100÷10=60由于游玩行走速度恒定，則小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為3x+3y=105×60=6300，∴x+y=2100，∴路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800（米）；故選B．【點睛】本題主要考查三元一次方程組的應用及函數圖象，解題的關鍵是理解題中所給信息，找到它們之間的等量關系．5．（2023·湖北·統考中考真題）如圖，長方體水池內有一無蓋圓柱形鐵桶，現用水管往鐵桶中持續勻速注水，直到長方體水池有水溢出一會兒為止．設注水時間為t,y1（細實線）表示鐵桶中水面高度，y2（粗實線）表示水池中水面高度（鐵桶高度低于水池高度，鐵桶底面積小于水池底面積的一半，注水前鐵桶和水池內均無水），則y1,

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據特殊點的實際意義即可求出答案．【詳解】解：根據圖象知，t=t1時，鐵桶注滿了水，0≤t≤t1，y1當t=t1時，長方體水池開始注入水；當t=t∴y2觀察函數圖象，選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題主要考查了函數圖象的讀圖能力．要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．題型03實際問題與一次方程（組）列一元一次方程解應用題的一般步驟：1）審題：弄清題意；2）找出等量關系：找出能夠表示本題含義的相等關系；3）設出未知數，列出方程：設出未知數后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系列出方程；4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值；5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案.與一次方程（組）有關應用題的常見類型：常見題型常見數量關系及公式等量關系補充配套問題根據題目提供的配套比列方程關鍵：理解題目中提供的配套方式.工程問題工作總量=工作時間×工作效率

工作時間=工作總量÷工作效率

工作效率=工作總量÷工作時間多個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于工作總量在工程問題中，一般將工作總量看作單位1.利潤問題利潤=售價-進價（成本）

總利潤=單件利潤×銷售量

利潤率=利潤÷成本價×100%由題可知商品打幾折就是按照原價的百分之幾出售方案選擇/分段計費問題由題可知先根據已知條件得到方程，再根據未知數之間的關系得到多種方案，選擇最優方案進行解題幾何問題幾何問題有關圖形的周長、面積公式由題可知關鍵：明確有關圖形的性質和周長、面積公式等積變形問題圓柱體體積=底面積x高=Πr2h(r為底面圓半徑，h為高)

長方體體積=長x寬x高=abc(a為長，b為寬，c為高)原材料體積=成品體積行程問題相遇問題路程=速度×時間

速度=路程÷時間

時間=路程÷速度全路程=甲走的路程+乙走的路程相向而行，注意出發時間、地點追及問題

（同地不同時出發）前者走的路程=追者走的路程同向而行，注意出發時間、地點追及問題

（同時不同地出發）前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程航行問題順水速度=靜水速度+水流速度

逆水速度=靜水速度-水流速度路程=速度×時間注意兩地距離，靜水速度不變類型一一元一次方程與實際問題1．（2023·四川南充·統考中考真題）《孫子算經》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺＝10寸）．意思是，現有一根長木，不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺．問長木長多少？設長木長為x尺，則可列方程為（

）A．12x+4.5=x?1C．12x?4.5=x+1【答案】A【分析】設長木長為x尺，則繩子長為x+4.5尺，根據“將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺”，可列出方程．【詳解】設長木長為x尺，則繩子長為x+4.5尺，根據題意，得1故選：A【點睛】本題考查一元一次方程解決實際問題，理解題意，找出等量關系列出方程是解題的關鍵．2．（2023·貴州·統考中考真題）《孫子算經》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設有x戶人家，則下列方程正確的是（

）A．x+13=100 B．3x+1=100 C．x+【答案】C【分析】每戶分一頭鹿需x頭鹿，每3戶共分一頭需13【詳解】解：x戶人家，每戶分一頭鹿需x頭鹿，每3戶共分一頭需13由此可知x+1故選C．【點睛】本題考查列一元一次方程，解題的關鍵是正確理解題意．3．（2023·吉林·統考中考真題）甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設備而停工，甲組單獨完成了剩下的任務，甲、乙兩組挖掘的長度之和ym與甲組挖掘時間x

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．(2)求乙組停工后y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)當甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，直接寫出乙組已停工的天數．【答案】(1)30(2)y=3x+120(3)10天【分析】（1）由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，據此計算即可；（2）設乙組停工后y關于x的函數解析式為y=kx+b，用待定系數法求解，再結合圖象即可得到自變量x的取值范圍；（3）先計算甲乙兩組每天各挖掘多少千米，再計算乙組挖掘的總長度，設乙組已停工的天數為a，根據甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等列方程計算即可．【詳解】（1）解：由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，∴甲組挖掘了60天，乙組挖掘了30天，60?30=30（天）∴甲組比乙組多挖掘了30天，故答案為：30；（2）解：設乙組停工后y關于x的函數解析式為y=kx+b，將30,210和60,300兩個點代入，可得210=30k+b300=60k+b解得k=3b=120∴y=3x+120（3）解：甲組每天挖300?21060?30甲乙合作每天挖21030∴乙組每天挖7?3=4（米），乙組挖掘的總長度為30×4=120（米）設乙組己停工的天數為a，則330+a解得a=10，答：乙組已停工的天數為10天．【點睛】本題考查了一次函數的應用，待定系數法求函數的解析式，理解題意觀察圖象得到有用信息是解題的關鍵．4．（2023·江蘇揚州·統考中考真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是65元，54元．(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．【分析】（1）設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為(x+11)元，根據題意，得20(x+11)+30x=2920，求解；（2）設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,則m≥12(40?m)，解得m≥1313，故最小整數解為m=14【詳解】（1）解:設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為(x+11)元，根據題意，得20(x+11)+30x=2920解得，x=54，x+11=65，答：甲、乙兩種頭盔的單價各是65元，54元．（2）解：設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,則m≥12(40?m)，解得m≥13w=0.8×65m+(54?6)(40?m)=4m+1920，∵4>0，則w隨m的增大而增大，∴m=14時，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，一次函數的性質，一次函數的應用、一元一次不等式的應用；根據題意列出函數解析式，確定自變量取值范圍是解題的關鍵．5．（2023·河南·統考中考真題）某健身器材專賣店推出兩種優惠活動，并規定購物時只能選擇其中一種．活動一：所購商品按原價打八折；活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）(1)購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由．(2)購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價．(3)購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內，選擇活動二比選擇活動一更合算？設一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)活動一更合算(2)400元(3)當300≤a<400或600≤a<800時，活動二更合算【分析】（1）分別計算出兩個活動需要付款價格，進行比較即可；（2）設這種健身器材的原價是x元，根據“選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等”列方程求解即可；（3）由題意得活動一所需付款為0.8a元，活動二當0<a<300時，所需付款為a元，當300≤a<600時，所需付款為a?80元，當600≤a<900時，所需付款為a?160元，然后根據題意列出不等式即可求解．【詳解】（1）解：購買一件原價為450元的健身器材時，活動一需付款：450×0.8=360元，活動二需付款：450?80=370元，∴活動一更合算；（2）設這種健身器材的原價是x元，則0.8x=x?80，解得x=400，答：這種健身器材的原價是400元，（3）這種健身器材的原價為a元，則活動一所需付款為：0.8a元，活動二當0<a<300時，所需付款為：a元，當300≤a<600時，所需付款為：a?80元，當600≤a<900時，所需付款為：a?160元，①當0<a<300時，a>0.8a，此時無論a為何值，都是活動一更合算，不符合題意，②當300≤a<600時，a?80<0.8a，解得300≤a<400，即：當300≤a<400時，活動二更合算，③當600≤a<900時，a?160<0.8a，解得600≤a<800，即：當600≤a<800時，活動二更合算，綜上：當300≤a<400或600≤a<800時，活動二更合算．【點睛】此題考查了一元一次方程及一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，注意分類討論的應用．6．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）目前，我市對市區居民用氣戶的燃氣收費，以戶為基礎、年為計算周期設定了如下表的三個氣量階梯：階梯年用氣量銷售價格備注第一階梯0～400m2.67元/若家庭人口超過4人的，每增加1人，第一、二階梯年用氣量的上限分別增加100m第二階梯400～1200m3.15元/第三階梯1200m3.63元/(1)一戶家庭人口為3人，年用氣量為200m(2)一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為xm3(x>1200)，該年此戶需繳納燃氣費用為y元，求y(3)甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣？（結果精確到1m【答案】(1)534(2)y=3.63x?768(x>1200)(3)26立方米【分析】（1）根據第一階梯的費用計算方法進行計算即可；（2）根據“單價×數量=總價”可得y與x之間的函數關系式；（3）根據兩戶的繳費判斷收費標準列式計算即可解答．【詳解】（1）∵200m∴該年此戶需繳納燃氣費用為：2.67×200=534（元），故答案為：534；（2）y關于x的表達式為y=400×2.67+1200?400×3.15+3.63（3）∵400×2.67+1200?400∴甲戶該年的用氣量達到了第三階梯．由（2）知，當y=3855時，3.63x?768=3855，解得x≈1273.6．又∵2.67×100+400且2.67×100+400∴乙戶該年的用氣量達到第二階梯，但末達到第三階梯．設乙戶年用氣量為am3．則有解得a=1300.0，∴1300.0?1273.6=26.4≈26m答：該年乙戶比甲戶多用約26立方米的燃氣．【點睛】本題考查了一次函數的應用，一元一次方程的應用以及列代數式，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程．類型二列二元一次方程組1．（2023·四川甘孜·統考中考真題）有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（

）A．5x+y=3,x+5y=2 B．5x+y=3,x+y=2 C．x+5y=3,5x+y=2【答案】A【分析】設大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根據題意列出二元一次方程組，即可求解．【詳解】設大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根據題意得，5x+y=3x+5y=2故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，根據題意，列出二元一次方程組是解題的關鍵．2．（2023·山東泰安·統考中考真題）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意得（）A．11x=9y（10y+x）?（8x+y）=13B．C．9x=11y（8x+y）?（10y+x）=13D．【答案】D【分析】根據題意可得等量關系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據等量關系列出方程組即可．【詳解】解：枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩由題意得：9x=11y故選D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．3．（2023·浙江寧波·統考中考真題）茶葉作為浙江省農業十大主導產業之一，是助力鄉村振興的民生產業．某村有土地60公頃，計劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為(

A．x+y=60y=2x?3 B．x+y=54x=2y?3 C．x+y=60x=2y?3【答案】B【分析】根據某村有土地60公頃，計劃將其中10%的土地種植蔬菜，得到種植茶園和種植糧食的面積為90【詳解】解：設茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，由題意，得：x+y=601?10%故選B．【點睛】本題考查根據實際問題列方程組．找準等量關系，正確的列出方程組，是解題的關鍵．4．（2023·山東·統考中考真題）《九章算術》中有一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四、問人數、物價各幾何？”題目大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問有多少人？該物品價值多少元？設有x人，該物品價值y元，根據題意列方程組：．【答案】y=8x?3【分析】設有x人，物品價值為y元，根據等量關系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程組即可解答．【詳解】解：設有x人，物品價值為y元，由題意得：y=8x?3y=7x+4．故答案為：y=8x?3【點睛】本題主要考查列二元一次方程組．根據題意、正確找到等量關系是解題的關鍵．類型三二元一次方程組與實際問題1．（2023·四川巴中·統考中考真題）某學校課后興趣小組在開展手工制作活動中，美術老師要求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側面，另一部分做底面．已知每張卡紙可以裁出2個側面，或者裁出3個底面，如果1個側面和2個底面可以做成一個包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個數為（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】設用x張卡紙做側面，用y張卡紙做底面，則做出側面的數量為2x，底面的數量為3y，然后根據等量關系：底面數量=側面數量的2倍，列出方程組即可．【詳解】解：設用x張白卡紙做側面，用y張白卡紙做底面，由題意得，x+y=142×2x=3y．解得x=62x=12，答：這些卡紙最多可以做成包裝盒的個數為12個．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組．還需注意本題的等量關系是：底面數量=側面數量的2倍．2．（2023·遼寧·統考中考真題）某禮品店經銷A，B兩種禮品盒，第一次購進A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費2800元；第二次購進A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費1200元(1)求購進A，B兩種禮品盒的單價分別是多少元；(2)若該禮品店準備再次購進兩種禮品盒共40盒，總費用不超過4500元，那么至少購進A種禮品盒多少盒？【答案】(1)A禮品盒的單價是100元，B禮品盒的單價是120元；(2)至少購進A種禮品盒15盒．【分析】（1）設A禮品盒的單價是a元，B禮品盒的單價是b元，根據題意列方程組即可得到結論；（2）設購進A禮品盒x盒，則購進B禮品盒(40?x)盒，根據題意列不等式即可得到結論．【詳解】（1）解：設A禮品盒的單價是a元，B禮品盒的單價是b元，根據題意得：10a+15b=28006a+5b=1200，解得：a=100答：A禮品盒的單價是100元，B禮品盒的單價是120元；（2）解：設購進A禮品盒x盒，則購進B禮品盒(40?x)盒，根據題意得：100x+120(40?x)≤4500，解得：x≥15，∵x為整數，∴x的最小整數解為15，∴至少購進A種禮品盒15盒．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，正確的理解題意是解題的關鍵．3．（2023·四川德陽·統考中考真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產業發展熱點和前瞻性問題，著力實現會展聚集帶動產業聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮位于德陽經濟技術開發區，規劃面積4.82平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．(1)乙隊單獨完工需要幾個月才能完成任務？(2)為保證該工程在兩年內完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費用最低？【答案】(1)乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務．(2)甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為136萬元．【分析】（1）設乙單獨完成需要x個月，由“乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．”建立分式方程求解即可；（2）由題意可得：a18+b27=1，可得a=18?23b，結合a≤6，【詳解】（1）解：設乙單獨完成需要x個月，則2x解得：x=27，經檢驗x=27是原方程的解且符合題意；答：乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務．（2）由題意可得：a18∴3a+2b=54，∴a=18?2∵a≤6，b≤24，∴18?23b≤6∵a,b都為正整數，∴b為3的倍數，∴a=6b=18或a=4b=21或∴甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，方案①：安排甲工作6個月，乙工作18個月，費用為：6×8+18×5=138（萬元），方案②：安排甲工作4個月，乙工作21個月，費用為：4×8+21×5=137（萬元），方案③：安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用為：2×8+24×5=136（萬元），∴安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為136萬元．【點睛】本題考查的是分式方程的應用，二元一次方程的應用，一元一次不等式組的應用，確定相等關系與不等關系是解本題的關鍵．4．（2023·湖北宜昌·統考中考真題）為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節吃粽子的習俗．某顧客端午節前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的單價；(2)超市為了促銷，購買粽子達20個及以上時實行優惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數量（單位：個）和付款金額（單位：元）；豆沙粽數量肉粽數量付款金額小歡媽媽2030270小樂媽媽3020230①根據上表，求豆沙粽和肉粽優惠后的單價；②為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計），每包的銷售價格按其中每個粽子優惠后的單價合計．A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數量不超過肉粽的一半．端午節當天統計發現，A，B兩種包裝的銷量分別為80?4m包，4m+8包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元．求m的值．【答案】(1)豆沙粽的單價為4元，肉粽的單價為8元(2)①豆沙粽優惠后的單價為3元，肉粽優惠后的單價為7元；②m=10【分析】（1）設豆沙粽的單價為x元，則肉粽的單價為2x元，依題意列一元一次方程即可求解；（2）①設豆沙粽優惠后的單價為a元，則肉粽優惠后的單價為b元，依題意列二元一次方程組即可求解；②根據銷售額=銷售單價×銷售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．【詳解】（1）解：設豆沙粽的單價為x元，則肉粽的單價為2x元，依題意得10x+12×2x=136，解得x=4；則2x=8；所以豆沙粽的單價為4元，肉粽的單價為8元；（2）解：①設豆沙粽優惠后的單價為a元，則肉粽優惠后的單價為b元，依題意得20a+30b=27030a+20b=230，解得a=3所以豆沙粽優惠后的單價為3元，肉粽優惠后的單價為7元；②依題意得[3m+(40?m)×7]×(80?4m)+[3×(40?m)+7m]×(4m+8)=17280，解得m=19或m=10，∵m<1∴m<40∴m=10．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用、二元一次方程組的應用和一元一次方程的應用，根據題意找到題中的等量關系列出方程或方程組是解題的關鍵．5．（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）某商場銷售A、B兩種商品，每件進價均為20元．調查發現，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元．(1)求A、B兩種商品的銷售單價．(2)經市場調研，A種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價不變，A種商品售價不低于B種商品售價．設A種商品降價m元，如果A、B兩種商品銷售量相同，求m取何值時，商場銷售A、B兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)A的銷售單價為30元、B的銷售單價為24元(2)當m=5時，商場銷售A、B兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元．【分析】（1）設A的銷售單價為x元、B的銷售單價為y元，根據題中售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元列方程組求解即可得到答案；（2）設利潤為w，根據題意，得到w=?10m?5【詳解】（1）解：設A的銷售單價為x元、B的銷售單價為y元，則20x+10y=84010x+15y=660，解得x=30答：A的銷售單價為30元、B的銷售單價為24元；（2）解：∵A種商品售價不低于B種商品售價，∴30?m≥24，解得m≤6，即0≤m≤6，設利潤為w，則w==?10=?10m?5∵?10<0，∴w在m=5時能取到最大值，最大值為810，∴當m=5時，商場銷售A、B兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元．【點睛】本題考查二元一次方程組及二次函數解實際應用題，讀懂題意，根據等量關系列出方程組，根據函數關系找到函數關系式分析是解決問題的關鍵．6．（2023·湖北恩施·統考中考真題）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．(1)男裝、女裝的單價各是多少？(2)如果參加活動的男生人數不超過女生人數的23【答案】(1)男裝單價為100元，女裝單價為120元．(2)學校有11種購買方案，當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元【分析】（1）設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意列方程組求解即可；（2）設參加活動的女生有a人，則男生有150?a人，列不等式組找到a的取值范圍，再設總費用為w元，得到w與a的關系，根據一次函數的性質可得當a取最小值時w有最小值，據此求解即可．【詳解】（1）解：設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意得：x+y=2206x=5y解得：x=100y=120答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．（2）解：設參加活動的女生有a人，則男生有150?a人，根據題意可得150?a≤2解得：90≤a≤100，∵a為整數，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個數，故一共有11種方案，設總費用為w元，則w=120a+100150?a∵20>0，∴當a=90時，w有最小值，最小值為15000+20×90=16800（元）．此時，150?a=60（套）．答：當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元．【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，找到題中的等量關系或不等關系是解題的關鍵．題型04分式方程的實際應用用分式方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗所求的解是否符合實際意義.答：實際問題的答案.類型一列分式方程1．（2023·云南·統考中考真題）閱讀，正如一束陽光．孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界．某區教育體育局向全區中小學生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發，參加分享活動．甲同學的速度是乙同學的速度的1.2倍，乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點．若設乙同學的速度是x米/分，則下列方程正確的是（

）A．x800?1.2x400=4 B．1.2x800【答案】D【分析】設乙同學的速度是x米/分，根據乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點，列出方程即可．【詳解】解∶設乙同學的速度是x米/分，可得：800故選∶D．【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．2．（2023·湖北隨州·統考中考真題）甲、乙兩個工程隊共同修一條道路，其中甲工程隊需要修9千米，乙工程隊需要修12千米．已知乙工程隊每個月比甲工程隊多修1千米，最終用的時間比甲工程隊少半個月．若設甲工程隊每個月修x千米，則可列出方程為（

）A．9x?12x+1=12 B．【答案】A【分析】設甲工程隊每個月修x千米，則乙工程隊每個月修x+1千米，根據“最終用的時間比甲工程隊少半個月”列出分式方程即可．【詳解】解：設甲工程隊每個月修x千米，則乙工程隊每個月修x+1千米，依題意得9x故選：A．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是分析題意，找準關鍵語句，列出相等關系．3．（2023·四川廣安·統考中考真題）為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施．如圖，y1、y2分別表示燃油汽車和燃氣汽車所需費用y（單位：元）與行駛路程

A．25x=103x?0.1 B．25x=【答案】D【分析】先求出燃油汽車每千米所需的費用為3x?0.1元，再根據函數圖象可得燃油汽車所需費用為25元時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，據此列出方程即可得．【詳解】解：由題意得：燃油汽車每千米所需的費用為3x?0.1元，由函數圖象可知，燃油汽車所需費用為25元時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，則可列方程為253x?0.1故選：D．【點睛】本題考查了列分式方程、函數圖象，讀懂函數圖象，正確獲取信息是解題關鍵．4．（2023·遼寧·統考中考真題）某校八年級學生去距離學校120km的游覽區游覽，一部分學生乘慢車先行，出發1h后，另一部分學生乘快車前往，結果他們同時到達．已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度，設慢車的速度是A．120x+1=1201.5x B．120x?1=【答案】B【分析】設出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據所用時間差為1小時列方程即可．【詳解】解：設慢車的速度是x?km/h，則快車的速度為1.5x依題意得120x故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．類型二分式方程與實際問題1．（2023·湖北武漢·統考中考真題）我國古代數學經典著作《九章算術》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關于善行者的行走時間t的函數圖象，則兩圖象交點P的縱坐標是．

【答案】250【分析】設圖象交點P的縱坐標是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35【詳解】解：設圖象交點P的縱坐標是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35∴m?100m解得m=250，經檢驗m=250是方程的根且符合題意，∴兩圖象交點P的縱坐標是250．故答案為：250【點睛】此題考查了從函數圖象獲取信息、列分式方程解決實際問題，數形結合和準確計算是解題的關鍵．2．（2023·重慶·統考中考真題）某公司不定期為員工購買某預制食品廠生產的雜醬面、牛肉面兩種食品．(1)該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？(2)由于公司員工人數和食品價格有所調整，現該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數比牛肉面的份數多50％【答案】(1)購買雜醬面80份，購買牛肉面90份(2)購買牛肉面60份【分析】（1）設購買雜醬面x份，則購買牛肉面170?x份，由題意知，15x+20×170?x=3000，解方程可得x的值，然后代入（2）設購買牛肉面a份，則購買雜醬面1.5a份，由題意知，12601.5a【詳解】（1）解：設購買雜醬面x份，則購買牛肉面170?x份，由題意知，15x+20×170?x解得，x=80，∴170?x=90，∴購買雜醬面80份，購買牛肉面90份；（2）解：設購買牛肉面a份，則購買雜醬面1.5a份，由題意知，12601.5a解得a=60，經檢驗，a=60是分式方程的解，∴購買牛肉面60份．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，分式方程的應用．解題的關鍵在于根據題意正確的列方程．3．（2023·四川瀘州·統考中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．今年端午節來臨之際，某商場預測A粽子能夠暢銷．根據預測，每千克A粽子節前的進價比節后多2元，節前用240元購進A粽子的數量比節后用相同金額購進的數量少4千克．根據以上信息，解答下列問題：(1)該商場節后每千克A粽子的進價是多少元？(2)如果該商場在節前和節后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節前每千克20元，節后每千克16元全部售出，那么該商場節前購進多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)節后每千克A粽子的進價為10元(2)節前購進300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤為3000元【分析】（1）設節后每千克A粽子的進價為x元，則每千克A粽子節前的進價為x+2元，根據節前用240元購進A粽子的數量比節后用相同金額購進的數量少4千克，列出方程，解方程即可；（2）設該商場節前購進m千克A粽子，則節后購進400?m千克A粽子，獲得的利潤為w元，根據利潤=售價?進價列出關系式，根據總費用不超過4600元，求出m的范圍，根據一次函數函數增減性，求出最大利潤即可．【詳解】（1）解：設節后每千克A粽子的進價為x元，則每千克A粽子節前的進價為x+2元，根據題意得：240x解得：x1=10，經檢驗x1=10，x2答：節后每千克A粽子的進價為10元．（2）解：設該商場節前購進m千克A粽子，則節后購進400?m千克A粽子，獲得的利潤為w元，根據題意得：w=20?12∵12m+10400?m∴0<m≤300，∵2>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=300時，w取最大值，且最大值為：w最大答：節前購進300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤為3000元．【點睛】本題主要考查了分式方程和一次函數的應用，解題的關鍵是根據等量關系列出方程和關系式．4．（2023·山東煙臺·統考中考真題）中華優秀傳統文化源遠流長、是中華文明的智慧結晶．《孫子算經》、《周髀算經》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經》單價是《周髀算經》單價的34(1)求兩種圖書的單價分別為多少元？(2)為等備“3．14數學節”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經》數量不少于《孫子算經》數量的一半．由于購買量大，書店打折優惠，兩種圖書均按八折出售．求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？【答案】(1)《周髀算經》單價為40元，則《孫子算經》單價是30元；(2)當購買《周髀算經》27本，《孫子算經》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2316元．【分析】（1）設《周髀算經》單價為x元，則《孫子算經》單價是34（2）根據購買的《周髀算經》數量不少于《孫子算經》數量的一半列出不等式求出m的取值范圍，根據m的取值范圍結合函數解析式解答即可．【詳解】（1）解：設《周髀算經》單價為x元，則《孫子算經》單價是34依題意得，6003解得x=40，經檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意，34答：《周髀算經》單價為40元，則《孫子算經》單價是30元；（2）解：設購買的《周髀算經》數量m本，則購買的《孫子算經》數量為80?m本，依題意得，m≥1解得m≥262設購買《周髀算經》和《孫子算經》的總費用為y（元），依題意得，y=40×0.8m+30×0.880?m∵k=8>0，∴y隨m的增大而增大，∴當m=27時，有最小值，此時y=8×27+1920=2136（元），80?27=53（本）答：當購買《周髀算經》27本，《孫子算經》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2136元．【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用，一次函數的實際應用以及一元一次不等式的實際應用，根據題意表示出y與x之間的函數關系式以及列出不等式是解題的關鍵．5．（2023·四川遂寧·統考中考真題）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解．每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同．(1)甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？(2)該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元．①求w與m的函數關系式，并求出m的取值范圍；②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】(1)甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；(2)①w與m的函數關系式為w=?m+600m≥133【分析】（1）設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為x+2元，根據“用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同”列出分式方程，解方程即可；（2）①設購進甲粽子m個，則乙粽子200?m個，，由題意得w=?m+600，再由甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，得m≥2200?m②由一次函數的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為x+2元，由題意得：1000x解得：x=10，經檢驗：x=10是原方程的解，且符合題意，則x+2=12，答：甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；（2）解：①設購進甲粽子m個，則乙粽子200?m個，利潤為w元，由題意得：w=12?10∵甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，∴m≥2200?m解得：m≥1331∴w與m的函數關系式為w=?m+600m≥133②∵?1<0，則w隨m的增大而減小，m≥13313，即∴當m=134時，w最大，最大值=?134+600=466，則200?m=66，答：購進甲粽子134個，乙粽子66個才能獲得最大利潤，最大利潤為466元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．題型05不等式（組）的實際應用一元一次不等式（組）的應用題的關鍵語句：1）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系，因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．2）對一些實際問題的提示還要注意結合實際.有些不等關系隱含于生活常識中,如小王用50元去買單價為6元的筆記本.設買x本，求x的取值范圍時,其問題中就隱含著所花錢數不能超過50元.由此可得出不等式6x≤50.1．（2023·山東濟南·統考中考真題）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同．(1)求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元?(2)學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少?最少花費是多少元?【答案】(1)A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元(2)購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元【分析】（1）設A型編程機器人模型單價是x元，B型編程機器人模型單價是x?200元，根據：用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同即可列出關于x的分式方程，解方程并檢驗后即可求解；（2）設購買A型編程機器人模型m臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費w元，根據題意可求出m的范圍和W關于m的函數關系式，再結合一次函數的性質即可求出最小值【詳解】（1）解：設A型編程機器人模型單價是x元，B型編程機器人模型單價是x?200元．根據題意，得2000解這個方程，得x=500經檢驗，x=500是原方程的根．x?200=300答：A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元．（2）設購買A型編程機器人模型m臺，購買B型編程機器人模型40?m臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費w元，由題意得：40?m≤3m，解得m≥10．∴w=500×0.8?m+300×0.8?即w=160m+9600，∵160>0，∴w隨m的增大而增大．∴當m=10時，w取得最小值11200，此時40?m=30；答：購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元．【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用和一次函數的性質，正確理解題意、找準相等與不等關系、得出分式方程與不等式是解題的關鍵．2．（2023·江西·統考中考真題）今年植樹節，某班同學共同種植一批樹苗，如果每人種3棵，則剩余20棵；如果每人種4棵，則還缺25棵．(1)求該班的學生人數；(2)這批樹苗只有甲、乙兩種，其中甲樹苗每棵30元，乙樹苗每棵40元．購買這批樹苗的總費用沒有超過5400元，請問至少購買了甲樹苗多少棵？【答案】(1)該班的學生人數為45人(2)至少購買了甲樹苗80棵【分析】（1）設該班的學生人數為x人，根據兩種方案下樹苗的總數不變列出方程求解即可；（2）根據（1）所求求出樹苗的總數為155棵，設購買了甲樹苗m棵，則購買了乙樹苗155?m棵樹苗，再根據總費用不超過5400元列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設該班的學生人數為x人，由題意得，3x+20=4x?25，解得x=45，∴該班的學生人數為45人；（2）解：由（1）得一共購買了3×45+20=155棵樹苗，設購買了甲樹苗m棵，則購買了乙樹苗155?m棵樹苗，由題意得，30m+40155?m解得m≥80，∴m得最小值為80，∴至少購買了甲樹苗80棵，答：至少購買了甲樹苗80棵．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意找到等量關系列出方程，找到不等關系列出不等式是解題的關鍵．3．（2023·湖南懷化·統考中考真題）某中學組織學生研學，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿．(1)求原計劃租用A種客車多少輛？這次研學去了多少人？(2)若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？(3)在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應該怎樣租車才最合算？【答案】(1)原計劃租用A種客車26輛，這次研學去了1200人(2)共有3種租車方案，方案一：租用A種客車18輛，則租用B種客車7輛；方案二：租用A種客車19輛，則租用B種客車6輛；方案三：租用A種客車20輛，則租用B種客車5輛，(3)租用A種客車20輛，則租用B種客車5輛才最合算【分析】（1）設原計劃租用A種客車x輛，根據題意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）設租用A種客車a輛，則租用B種客車25?a輛，根據題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；（3）分別求得三種方案的費用，進而即可求解．【詳解】（1）解：設原計劃租用A種客車x輛，根據題意得，45x+30=60x?6解得：x=26所以60×26?6答：原計劃租用A種客車26輛，這次研學去了1200人；（2）解：設租用A種客車a輛，則租用B種客車25?a輛，根據題意，得25?a≤7解得：18≤a≤20，∵a為正整數，則a=18,19,20，∴共有3種租車方案，方案一：租用A種客車18輛，則租用B種客車7輛，方案二：租用A種客車19輛，則租用B種客車6輛，方案三：租用A種客車20輛，則租用B種客車5輛，（3）∵A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，∴B種客車越少，費用越低，方案一：租用A種客車18輛，則租用B種客車7輛，費用為18×220+7×300=6060元，方案二：租用A種客車19輛，則租用B種客車6輛，費用為19×220+6×300=5980元，方案三：租用A種客車20輛，則租用B種客車5輛，費用為20×220+5×300=5900元，∴租用A種客車20輛，則租用B種客車5輛才最合算．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，一元一次不等式組的應用，根據題意列出一元一次方程與不等式組是解題的關鍵．4．（2023·四川內江·統考中考真題）某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果．某超市看好甲、乙兩種優質水果的市場價值，經調查，這兩種水果的進價和售價如下表所示：水果種類進價（元千克）售價（元）千克）甲a20乙b23該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于30千克，且不大于80千克．實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售．求超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數量x（千克）之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤y（元）取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價3m元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率（利潤率=利潤本金）不低于16【答案】(1)a=14(2)y=(3)1.2【分析】（1）根據題意列出二元一次方程組求解即可；（2）設購進甲種水果的數量的數量為x千克，則購進乙種水果的數量的數量為100?x千克，根據題意分兩種情況：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分別表示出總利潤即可；（3）首先根據題意求出y的最大值，然后根據保證利潤率（利潤率=利潤本金【詳解】（1）由題意列方程組為：15a+5b=30520a+10b=470解得a=14b=19（2）設購進甲種水果的數量的數量為x千克，則購進乙種水果的數量的數量為100?x千克，∴當30≤x≤60時，y=20?14當60<x≤80時，y=20?14綜上所述，y=2x+400（3）當30≤x≤60時，y=2x+400，∴當x=60時，y取最大值，此時y=2×60+400=520（元），當60<x≤80時，y=?x+580，∴y<?60+580=520（元），∴由上可得：當x=60時，y取最大值520（元），∴由題意可得，520?3m×60?40m60×14+40×19∴解得m≤1.2．∴m的最大值為1.2．【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是正確分析題目中的等量關系．題型06一元二次方程的實際應用用一元二次方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.與一元二次方程有關應用題的常見類型：1）變化率問題解決這類問題的關鍵是理解“增長了”與“增長到”、“降低了”與“降低到”的區別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎上發生的.解決此類問題時，務必要記住公式a(1±x)n=b，其中a為增長(或降低)的基礎數，x為增長(或降低)的變化率，n為增長(或降低)的次數，b為增長(或降低)后的數量.即：2）利潤和利潤率問題在日常生活中，經常遇到有關商品利潤的問題，解決這類問題的關鍵是利用其中已知量與未量之間的等量關系建立方程模型，并通過解方程來解決問題.要正確解答利潤或利潤率問題，首先要理解進價、售價、利潤及利潤率之間的關系：利潤=售價一進價；利潤率=利潤×100%.3)面積問題幾何圖形的面積問題是中考的熱點問題，通常涉及三角形、長方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面積公式，從中找到等量關系解決問題.有關面積的應用題，均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.常見類型1：如圖1，矩形ABCD長為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為x，則陰影部分的面積為(a?2x)(b?2x)．常見類型2：如圖2，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則空白部分的面積為(a?x)(b?x)．常見類型3：如圖3，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則4塊空白部分的面積之和能轉化為(a?x)(b?x)．4)分裂（傳播）問題解決此類問題的關鍵是原細胞或傳染源在不在總數中.其一般思路是先分析問題情境，明確是分裂問題還是傳播問題，然后找出問題中的數量關系，再建立適當的數學模型求解.①傳播問題：傳染源在傳播過程中，原傳染源的數量計入傳染結果，若傳染源數量為1，每一個傳染源傳染x個個體，則第一輪傳染后，感染個體的總數為1+x，第二輪傳染后感染個體的總數為(1+x)2.②分裂問題：細胞在分裂過程中，原細胞數目不計入分裂總數中，若原細胞數目為1，每一個細胞分裂為x個細胞，則第一次分裂后的細胞總數為x，第二次分裂后的細胞總數為x2.5）碰面問題（循環）問題①重疊類型（雙循環）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m．∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分．∴m=1②不重疊類型（單循環）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m．∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場．∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊．∴m=n（n－1）1．（2023·浙江衢州·統考中考真題）某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（

）A．x+1+x=36 B．C．1+x+x1+x=36 【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數中．設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是(x+1)人，則傳染x(x+1)人，依題意列方程：1+x+x(1+x)=36．【詳解】由題意得：1+x+x(1+x)=36，故選：C．【點睛】本題考查的是根據實際問題列一元二次方程．找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．2．（2023·浙江湖州·統考中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（

）A．201+2x=31.2 C．201+x2=31.2【答案】D【分析】設年平均增長率為x，根據2020年銷量為20萬輛，到2022年銷量增加了31.2萬輛列方程即可．【詳解】解：設年平均增長率為x，由題意得201+x故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用—增長率問題，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．3．（2023·浙江金華·統考中考真題）如圖是一塊矩形菜地ABCD,AB=am,AD=bm，面積為sm2

（1）如圖1，若a=5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個a的值，使得到的矩形面積為2sm2，則s【答案】66+42/【分析】（1）根據面積的不變性，列式計算即可．（2）根據面積，建立分式方程，轉化為a一元二次方程，判別式為零計算即可．【詳解】（1）根據題意，得，起始長方形的面積為s=abm2，變化后長方形的面積為∵a=5，邊AD減少1m∴5+1b?1解得b=6，故答案為：6．（2）根據題意，得，起始長方形的面積為s=abm2，變化后長方形的面積為∴2s=a+1b+2，∴2s=a+1∴2sa+1∴2a∵有且只有一個a的值，∴Δ=∴s2解得s1故答案為：6+42【點睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應用，正確轉化為一元二次方程是解題的關鍵．4．（2022·山東濟南·統考中考真題）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統數學的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是．【答案】16【分析】設小正方形的邊長為x，利用a、b、x表示矩形的面積，再用a、b、x表示三角形以及正方形的面積，根據面積列出關于a、b、x的關系式，解出x，即可求出矩形面積．【詳解】解：設小正方形的邊長為x，∴矩形的長為a+x，寬為b+x，由圖1可得：12整理得：x2∵a=4，b=2，∴x∴x∴矩形的面積為a+xb+x故答案為：16．【點睛】本題主要考查列代數式，一元二次方程的應用，求出小正方形的邊長是解題的關鍵．5．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在

(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2(2)羊圈的面積能達到650m2【答案】(1)當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為(2)不能，理由見解析．【分析】（1）設矩形ABCD的邊AB=x?m，則邊BC=70?2x+2=72?2x（2）同（1）的方法建立方程，根據方程無實根即可求解．【詳解】（1）解：設矩形ABCD的邊AB=x?m，則邊BC=70?2x+2=72?2x根據題意，得x72?2x化簡，得x2解得x1=16，當x=16時，72?2x=72?32=40；當x=20時，72?2x=72?40=32．答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為（2）解：不能，理由如下：由題意，得x72?2x化簡，得x2∵Δ=∴一元二次方程沒有實數根．∴羊圈的面積不能達到650m2【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程，解一元二次方程是解題的關鍵．題型07一次函數的實際應用一次函數的實際應用：1）一次函數應用問題的求解思路：①建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答；②利用函數并與方程(組)、不等式(組)聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用.2）建立函數模型解決實際問題的一般步驟：①審題，設定實際問題中的變量，明確變量x和y；②根據等量關系，建立變量與變量之間的函數關系式，如：一次函數的函數關系式；③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；④利用函數的性質解決問題；⑤寫出答案.3）利用一次函數的圖象解決實際問題的一般步驟：①觀察圖象，獲取有效信息；②對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；③選擇適當的數學工具(如函數、方程、不等式等)，通過建模解決問題.【提示】時刻注意根據實際情況確定變量的取值范圍