高三第一次調研考試數學試題說明：1．本卷共有四個大題，22個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．2lgx1．已知函數f(x)的定義域為集合A，集合Bxx2x60，則AB（）2x11D．,2A．3,2B．1,2C．222．已知復數z滿足：z3i3i，則z（）A．1B．5C．25D．53．在△ABC中，“sinAB”是“△ABC為直角三角形”的（A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件4．為慶祝我國第39個教師節，某校舉辦教師聯誼會，甲、乙兩名數學老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜）D．既不充分也不必要條件43猜”比賽，每輪比賽由甲、乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在54每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為（）35192071A．B．C．D．20203π（5．如圖，sin）425555255A．B．C．D．556．已知向量am，bm，且ab，若c，則a在c方向上的投影向量的坐標是（）425511B．,112242D．,A．,C．,2255Sn23a（7．已知等差數列a和b的前n項和分別為S，T，若n，則9）nnnnnn446813263726A．B．C．D．1111118．已知三棱錐A的棱長均為6，其內有n個小球，球1與三棱錐A的四個面都相切，球2與三棱錐A的三個面和球O都相切，如此類推，…，球O與三棱錐A的三個面和球O都1nn1相切（n2，且3πnN*n的表面積等于（3π）6π9n16π4n1A．B．C．D．n12n19二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某校1500名學生參加數學競賽，隨機抽取了40如圖所示，則（）A．頻率分布直方圖中a的值為0.005B．估計這40名學生的競賽成績的第60百分位數為75C．估計這40名學生的競賽成績的眾數為80D．估計總體中成績落在70內的學生人數為22510．已知定義在R上的函數yfx滿足fx2fx，且函數yfx為奇函數，則（）A．yfx是周期函數B．yfx為R上的偶函數C．yfx為R上的單調函數D．yfx的圖像關于點2k0(kZ)對稱11四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是△ABC內一點，△BMC，△AMC，△的面積分別為S，S，S，且SSS0．以下命題ABCABc正確的有（）A．若S:S:S1:1:1，則M為△ABC的重心ABCB．若M為△ABC的內心，則BCMAACAB0C．若M為△ABC的垂心，3450，則tanBAC:tanABC:tanBCA3:4:5D．若BAC45，ABC60，M為△ABC的外心，則S:S:S3:2:1ABC12．已知長方體的表面積為10，十二條棱長度之和為16，則該長方體（）A．一定不是正方體B．外接球的表面積為6π5027C．長、寬、高的值均屬于區間1,2D．體積的取值范圍為,2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若直線l:x2ym0與圓C:xy2y40相切，則實數m______．2211e2x12xe3y4y，則的最小值為______．14．已知正實數x，y滿足方程xy15．杭州第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日舉辦，杭州亞運會競賽項目設置為40個大項，61個分項，481個小項，并增設電子競技、霹靂舞兩個競賽項目．現有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、電子競技、霹靂舞三個項目志愿服務，其中每個項目至少一名志愿者，甲必須在霹靂舞項目，則不同的志愿服務方案共有______種．x22y2216．已知雙曲線C:ab0)的左、右焦點分別為F，F，過點F作傾斜角為30的直線l121abFPFQ2與C的左、右兩支分別交于點P，Q，若22FPFQ0，則的離心率為______．C2FPFQ226小題，17題10分，18～22題各12分，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a4，且(2bc)cosAacosC．（1）求A；（2）若D為BC的中點，且AD22，求△ABC的面積．18．如圖，△ABC與△ABD都是邊長為2的正三角形，平面ABD平面，平面且3．（1）證明：CD平面ABE．（2）求平面CED與平面的夾角的大小．19．在平面直角坐標系中，動點P到點F4,0的距離等于點P到直線x40的距離．（1）求動點P的軌跡方程；（2）記動點P的軌跡為曲線C，過點F的直線l與曲線C交于A，B兩點，M4,0，直線AM的斜率為k，直線BM的斜率為k．證明：kk為定值．121220．魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內復原．廣義的魔方，指各類可以通過轉動打亂和復原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議，在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復原的世界紀錄，勇奪世界魔方運動的冠軍，并成為世界上第一個三階魔方速擰進入4秒的選手．3（1）小王和小吳同學比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為525，若采用三局兩勝制，兩人共進行了X局比賽，求X的分布列和數學期望；（2）小王和小吳同學比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？21．已知等差數列a與等比數列b滿足11，35，24，且2既是11和33的等差中nn項，又是其等比中項．（1）求數列a和b的通項公式；nn1（2）記caa,n2k1，其中kNnn2*，求數列n的前2n項和S2n；nab,n2knnn1311（3）記dn，其前n項和為T，若ATB對nN*恒成立，求BA的最小值．nn2n1n22．已知函數fxa2x，a0且a1．2（1）當ae時，求曲線yfx在x1處的切線方程；（2）若a1，且fx存在三個零點x，x，x．123（i）求實數a的取值范圍；2e1（ii）設xxx，求證：x3xx．123123e高三數學試題卷參考答案一、單選題（每小題5分，共40分）題號答案12345678DADBCACD二、多選題（每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）題號答案9101112ADABDABCABD三、填空題（每題5分，共20分）32213．7或314．15．5016．24四、解答題（共70分）171）因為a4，所以(2bc)A4cosCaC，由正弦定理得(2sinBsinC)AsinAC，化簡得2sinBAsin(AC)sinB．1因為0Bπ，sinB0，所以A．2π因為0Aπ，所以A．31（2）因為D為BC的中點，所以中所AD(ABAC)，22221141c2bbcAcbbc8，ADABAC2ABAC222等式兩邊平方得44即b2c2bc32①．在△ABC中，由余弦定理得a2b2c2bcAb2cbc16②，2113聯立①②解得bc8，所以△bcsinA823．222181）取AB中點F，連接CF，△，△ABD都是邊長為2的正三角形，ABCF，AB，CF3，又CFF，CF面CDF，面CDF，面CDF，ABCD又平面ABC平面，面且3又面且3DF∥EC，，CF，CFDE是正方形，CDEF又EFABF，平面ABE，平面ABE，CD平面ABE（2）由（1）知AB，CF，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系由于x軸垂直面CEDF平面CED的法向量為m0)又B1,0,0，D3，E3,3BD(3)，(3,3)設平面的法向量nx,y,z，nx3z0則，nx3y3z0令x3，則z1，y0，所以n(3,mn33,nmn122π平面與平面的夾角為6191）因動點P到點F4,0的距離等于點P到直線x40的距離，故可知動點P的軌跡是拋物線，y22，由題意得p8，故動點P的軌跡方程為：C:y16x．2設其方程為（2）如圖，因直線l的斜率不能為零（否則直線lF4,0，216x可設l:x4，由y消去x并整理得：y16640，yy16m2xmy4顯然0，設Ax,y，Bx,y，則由韋達定理，12*）1122641y21y21y2y(y(2yyy)12211212則kk，12(18)(my21424188(18)(my222m(64)816m將（*）代入得：kk0，12(18)(my2故kk為定值0.12201）因為采用三局兩勝制，所以X的可能取值為2，3，X2表示小王或小吳連勝兩局；X3表示小王與小吳前兩局一勝一負；3322133212，所以P(X2)555525，P(XC125525所以X的分布列為：XP2313251262則X的數學期望為23．2525（2）若小王選擇“三局兩勝制，則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負勝；負勝勝；則小王獲勝的概率為10.50.60.50.40.50.50.50.60.55；若小王選擇“五局三勝制，則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負勝；勝負勝勝；負勝勝勝；勝勝負負勝；勝負勝負勝；勝負負勝勝；負負勝勝勝；負勝負勝勝；負勝勝負勝；則小王獲勝的概率為20.50.60.60.50.60.40.50.50.40.50.60.50.50.60.60.50.60.40.50.50.50.40.50.40.50.50.40.50.50.60.50.50.50.60.60.50.50.40.50.60.50.50.60.40.50.575，因為0.550.575，所以小王應選擇“五局三勝制．211）設等差數列a的公差為d，等比數列n的公比為q，na1，a5，所以aa2a6，解得a3，daa2，13132221a既是ab和ba的等差中項，又是其等比中項，211332a(ab)ba)101321133得，，22(ab)ba)9b)ba11331338b解得，即q22，12b1所以aa(nd12(n2n1，bn1bqn122n12n．n111,n2k1,n2k1(2nn(2n2（2）naan2，nab,n2kn,n2knnS(cccLc)(cccLc)．2n1352n12462n1111cccLcL1352n11559913(4n3)(4n111111111nL，45599134n34n14n1cccLc3272112L(4n22n①2462462n22(246Lc)3272461128L(4n22n2②2n①減②得：246c)32242442642422n(4n22n822n42422n2)(12n7)22n282322(4n22n21223n7)4n128cccc，2462n9n7)4n128nS(cccLc)(cccLc)．2n1352n12462n4n193(n11n32dn1dn12312（3）dn3，d，，則d是首項為公比為的等比數列，1n2n122n31122nn11121n1，n1，212nn1112n1f(n)11nN令，，2n112n121f(n)10，且遞減，fn當n為奇數時，n1125可得fn的最大值為f，6n11f(n)10，且fn遞增，當n為偶數時，2n1127可得fn的最小值為f(2)，12751B，對nN恒成立，所以fn的最小值為，最大值為，因為ATn126n7A5717，所以BA的最小值為．12所以，所以BA612125B6221）當ae時fxexx2，則fe1e10，2f(x)e2exx，所以fe2ee，1又所以曲線yfx在x1處的切線方程為yex，即xey0．（2i）因為f(x)ax2，a1且fx存在三個零點x，x，x，x123axx20有3個根，所以當x0時，fa1e0，f0a00，()fxaxax0，所以fx在,0上是單調遞增，由零點存在定理，方程必有一個負根，12lnx當x0，xa12lnx，即a12lnx有兩個根，x12lnx令t(x)，可轉化為ya與t(x)有兩個交點，xx22lnx)12lnxt(x)，x2x2可得xe)時t(x)0，即tx在e單調遞增，單調遞減，可得x(e,)時t(x)0，即tx在e,120，當xe，tx0，t(x)t(e)其中tee22所以可得0a，解得1aee．ef(x)ax2，a1且fx存在三個零點x，x，x，123x（ii）因為設xxx，a12，a2x2，a32，易知其中x0，0xx，1232123因為xx，所以a1a2，所以122，122，xx，1212故可知xx0①；1212lnx由（i）可知ya與t(x)有兩個交點xx，23x11當xe)，t(x)是單調遞增，所以x(0,e)，t(x)a0，t0，所以2e②；22e1即e2，3e，e若x2e，則xx2e，323若e32