2022-2023學年九上數學期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上的影子()

R

A.逐漸變短B.先變短后變長

C.先變長后變短D.逐漸變長

2.如圖，圓錐的底面半徑r為6cnz,高〃為8c機，則圓錐的側面積為()

A.30nc?i2B.48ncm2C.60ncm2D.SOncm2

3.已知圓錐的底面半徑為2cm,母線長為5cm,則圓錐的側面積是()

A.20cm2B.lOncmlC.lOncmlD.5ncm2

4.用一個平面去截一個圓錐，截面的形狀不可能是()

A.圓B.矩形c.橢圓D.三角形

5.已知a#0,下列計算正確的是()

A.a2+a3=a5B.a2*a3=a6C.a34-a2=aD.(a2)

6.一種商品原價45元，經過兩次降價后每盒26元，設兩次降價的百分率都為X,則x滿足等式()

A.26(1+2%)=45B.45(1-2%)=26C.45(1-%)2=26D.26(1+x)2=45

7.如圖所示，拋物線>=以2+法+。的頂點為§(—1,3),與x軸的交點A在點(—3,0)和(—2,0)之間，以下結論:

@Z?2—4ac=0；@a+b+c>0；?2a—b=0；@c—a=3.其中正確的是()

pX

A.①②B.③④C.②③D.①③

已知。。的直徑為8c機，尸為直線/上一點，OP=4cm,那么直線/與。。的公共點有（

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個

9.拋物線丁=加+法+。（。/0）的對稱軸為直線1=1,與x軸的一個交點坐標為4（4,0）,其部分圖象如圖所示.下

_

列敘述中：①Z?2<4ac；②關于x的方程or?+fcv+c=0的兩個根是X=2,%2=4?③2a+/?=0；@a+b+c<0；

⑤當0<%<4時，丁隨x增大而增大.正確的個數是（）

4x

10.同桌讀了：“子非魚焉知魚之樂乎？”后，興高采烈地利用電腦畫出了幾幅魚的圖案，請問：由左圖中所示的圖案

平移后得到的圖案是（）

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，在四邊形A5C。中，ZBAD=ZCDA=90°,AB=1,CD=2,過A,B,O三點的。。分別交5C,CD于點

E,M9下列結論：

@DM=CM；②弧45=弧后跖③。。的直徑為2；@AE=AD.

其中正確的結論有（填序號）.

12.某小區2010年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2012年屋頂綠化面積要達到2880平方米.如果每年屋頂綠化

面積的增長率相同，那么這個增長率是.

13.請寫出一個符合以下兩個條件的反比例函數的表達式：.

①圖象位于第二、四象限；

②如果過圖象上任意一點A作AB_Lx軸于點B,作ACLy軸于點C,那么得到的矩形ABOC的面積小于1.

14.在一個布袋中裝有四個完全相同的小球，它們分別寫有“美”、“麗”、“羅”、“山”的文字.先從袋中摸出

1個球后放回，混合均勻后再摸出1個球，求兩次摸出的球上是含有“美”“麗”二字的概率為.

15.如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖.點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平

面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知ABLBD,CD1BD,測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么該

古城墻的高度CD是米.

16.已知圓錐的側面積為20?rcm2,母線長為5cm,則圓錐底面半徑為cm.

17.如圖，P為。外一點，出切。于點A,若上4=3,ZAPO=45°,則。的半徑是.

18.一個布袋里放有5個紅球，3個黃球和2個黑球，它們除顏色外其余都相同，則任意摸出一個球是黑球的概率是

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖，二次函數產ax"x-3的圖象與x軸交于4、3與y軸交于點C,頂點坐標為（1,-4）

(1)求二次函數解析式；

(2)該二次函數圖象上是否存在點M,使SAM4B=SAG4B,若存在，求出點M的坐標.

20.(6分)如圖，拋物線y=—]x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且OA=2,OC=1.

⑴求拋物線的解析式.

⑵若點D(2,2)是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P,使得ABDP的周長最小，若存在，請

求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

注：二次函數y=ax2+bx+c(a/))的對稱軸是直線*=—匕.

21.(6分)已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.

(1)分別寫出圖中點A和點C的坐標；

(2)畫出AABC繞點C按順時針方向旋轉90°后的

(3)求點A旋轉到點A'所經過的路線長(結果保留H).

22.(8分)定義:有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準平行四邊形”.例如:凸四邊形ABC。中，若

NA=NC,NBwND,則稱四邊形ABC。為準平行四邊形.

(1)如圖①，4,己氏。是。上的四個點，NAPC=NCPB=60°,延長到。，使AQ=AP.求證:四邊形AQ3C

是準平行四邊形;

（圖①）

(2)如圖②，準平行四邊形ABC。內接于O,43+人￡),5。=￡)。，若)。的半徑為5,A3=6,求AC的長;

(3)如圖③，在Rt.ABC中，/。=90。,4=30。,5c=2,若四邊形ABC。是準平行四邊形，且NBCD/NBAD,

請直接寫出6。長的最大值.

(圖③)

23.(8分)如圖，已知AABC,直線尸。垂直平分AC,與邊A3交于E,連接CE,過點C作CP平行于R4交尸。于

點尸,連接A尸.

(1)求證：4AED義ACFD；

(2)求證：四邊形AECF是菱形.

(3)若AZ>=3,AE=5,則菱形AEC月的面積是多少？

24.(8分)如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線丁=以2+法+c(awO)的頂點坐標為C(3,6),并與y軸交于

點3(0,3),點A是對稱軸與x軸的交點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖①所示，P是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，連結BP、AP,求AABP的面積的最大值；

(3)如圖②所示，在對稱軸AC的右側作ZACD=30°交拋物線于點。，求出。點的坐標;并探究:在J軸上是否存在點

。，使NCQD=60?若存在，求點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

25.(10分)如圖，在3c中，AB^AC,NA=30。，AB=10,以A5為直徑的。。交5c于點O,交AC于點E,

連接OE,過點5作5尸平行于OE,交。。于點P,連接CP、OP.

(1)求證：點。為3c的中點;

(2)求AP的長度;

(3)求證：CP是。。的切線.

26.（10分）初三年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高§m,與籃圈中心的水平距

離為7m,當球出手后水平距離為4m時到達最大高度4m,設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈距地面3m.

（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，求拋物線的解析式并判斷此球能否準確投中？

（2）此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m,那么他能否獲得成功？

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、B

【分析】小亮由A處徑直路燈下，他得影子由長變短，再從路燈下到5處，他的影子則由短變長.

【詳解】晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到5處這一過程中，他在地上的影子先變短，再變長.

故選B.

【點睛】

本題考查了中心投影：由同一點（點光源）發出的光線形成的投影叫做中心投影.如物體在燈光的照射下形成的影子

就是中心投影.

2、C

【分析】首先利用勾股定理求出圓錐的母線長，再通過圓錐側面積公式可以求得結果.

【詳解】=8,r—6,

可設圓錐母線長為I,

由勾股定理，1=舊+?=1。，

圓錐側面展開圖的面積為：S?i=yXlX67rX10=60n,

所以圓錐的側面積為GOncm1.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查圓錐側面積的計算公式，解題關鍵是利用底面半徑及高求出母線長即可.

3、C

【解析】圓錐的側面積=底面周長x母線長+2,把相應數值代入,圓錐的側面積=262x5+2=10;1.

故答案為C

4、B

【分析】利用圓錐的形狀特點解答即可.

【詳解】解：平行于圓錐的底面的截面是圓，故A可能；

截面不可能是矩形，故B符合題意；

斜截且與底面不相交的截面是橢圓，故C可能；

過圓錐的頂點的截面是三角形，故D可能.

故答案為B.

【點睛】

本題主要考查了截一個幾何體所得的截面的形狀，解答本題的關鍵在于明確截面的形狀既與被截的幾何體有關，還與

截面的角度和方向有關.

5、C

【分析】結合選項分別進行同底數塞的乘法、同底數幕的除法、塞的乘方的運算，選出正確答案.

【詳解】A、a?和a3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；

B、aW=a5,原式計算錯誤，故本選項錯誤；

C、a3-ra2=a,計算正確，故本選項正確；

D、(a2)3=a6,原式計算錯誤，故本選項錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查了同底數幕的乘法、同底數暴的除法、幕的乘方等運算，掌握運算法則是解答本題的關鍵.

6、C

【分析】等量關系為：原價x(1-下降率)2=26,把相關數值代入即可.

【詳解】解：第一次降價后的價格為45(1-x),

第二次降價后的價格為45(Lx)?(Lx)=45(Lx)2,

列的方程為45(1-x)2=26,

故選：C.

【點睛】

本題考查求平均變化率的方法.若設變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經過兩次變化后的數量關

系為a(l±x)2=b.

7、B

【分析】根據二次函數的圖象可逐項判斷求解即可.

【詳解】解：拋物線與x軸有兩個交點，

/.A>0,

?*-b2-4ac>0,故①錯誤；

由于對稱軸為x=-l,

x=-3與x=l關于x=-l對稱，

?；x=-3,y<0,

.?.x=l時，y=a+b+c<0,故②錯誤；

b

???對稱軸為x=----=-1,

2a

,\2a-b=0,故③正確；

???頂點為B(-l,3),

.\y=a-b+c=3,

y=a-2a+c=3,

即c-a=3,故④正確，

故選B.

【點睛】

本題考查拋物線的圖象與性質，解題的關鍵是熟練運用拋物線的圖象與性質，本題屬于中等題型.

8、D

【分析】根據垂線段最短，得圓心到直線的距離小于或等于4cm,再根據數量關系進行判斷.若則直線與圓相

交；若d=(，則直線與圓相切；若則直線與圓相離；即可得出公共點的個數.

【詳解】解：根據題意可知，圓的半徑r=4cm.

■:0P=4cm,

當OP，/時，直線和圓是相切的位置關系，公共點有1個；

當0尸與直線/不垂直時，則圓心到直線的距離小于4c機，所以是相交的位置關系，公共點有2個.

直線L與。O的公共點有1個或2個，

故選o.

【點睛】

本題考查了直線與圓的位置關系.特別注意OP不一定是圓心到直線的距離.

9、B

【分析】由拋物線的對稱軸是x=l,可知系數a,b之間的關系，由題意，與X軸的一個交點坐標為4(4,0),根據

拋物線的對稱性，求得拋物線與x軸的一個交點坐標為5(-2,0),從而可判斷拋物線與x軸有兩個不同的交點，進而

可轉化求一元二次方程根的判別式，當尤=1時，代入解析式，可求得函數值，即可判斷其V的值是正數或負數.

【詳解】拋物線的對稱軸是x=l

b

-----1,2〃+Z?=0；③正確，

2a

與X軸的一個交點坐標為A(4,o)

二拋物線與與x軸的另一個交點坐標為5(-2,0)

二關于x的方程ax2+bx+c=0的兩個根是石=-2,%=4；②正確，

當x=l時，y=a+b+c<0；④正確

拋物線與x軸有兩個不同的交點

b2-4ac>0，b2>4ac則①錯誤；

當o<x<i時，y隨％增大而減小

當1W%<4時，y隨X增大而增大，⑤錯誤；

二②③④正確，①⑤錯誤

故選：B.

【點睛】

本題考查二次函數圖象的基本性質：對稱性、增減性、函數值的特殊性、二次函數與一元二次方程的綜合運用，是常

見考點，難度適中，熟練掌握二次函數圖象基本性質是解題關鍵.

10、B

【解析】根據平移的性質：“平移不改變圖形的形狀和大小”來判斷即可.

【詳解】解：根據“平移不改變圖形的形狀和大小”知：左圖中所示的圖案平移后得到的圖案是B項，故選B.

【點睛】

本題考查了平移的性質，平移的性質是“經過平移，對應線段平行(或共線)且相等，對應角相等，對應點所連接的

線段平行且相等；平移不改變圖形的形狀、大小和方向”.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11>①②④

【分析】連接3。，BM,AM,EM,DE,根據圓周角定理的推論可判定四邊形是矩形，進一步可判斷①；在

①的基礎上可判定四邊形AMC3是平行四邊形，進而得即可判斷②；易證NAEM=NAOM=90。，DM=EM,

再利用角的關系可得NAOE=NAEO,繼而可判斷④；由題設條件求不出。。的直徑，故可判斷③.

【詳解】解：連接5。，BM,AM,EM,DE,

VZBAD=9d°,...AD為圓的直徑，/.ZBMZ>=90°,

:.ZBAD^ZCDA=ZBMD^90°,

：.四邊形ADMB是矩形，/.AB=DM=1,

又,..CD=2,：.CM=1,：.DM=CM,故①正確；

'：AB//MC,AB=MC,二四邊形AMC3是平行四邊形，

：.BE//AM,：?AB=EM，故②正確；

AB=EM?^AB=EM=1,：.DM=EM,：.ZDEM=ZEDM,

"：ZADM=90°,...AM是直徑，，NAEAf=NAZ>M=90。，

/.ZADE=ZAED,：.AD=AE,故④正確；

由題設條件求不出O。的直徑，所以③錯誤；

故答案為：①②④.

【點睛】

本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理及其推論、圓心角、弦及弧之間的關系、等腰三角形的判定、矩形的判定

與性質以及平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握有關性質及定理是解本題的關鍵.

12、20%

【解析】分析：本題需先設出這個增長率是x,再根據已知條件找出等量關系列出方程，求出x的值，即可得出答案.

解答：解：設這個增長率是x,根據題意得：

2000x（1+x）2=2880

解得：xi=20%,X2=-220%（舍去）

故答案為20%.

13、y=--,答案不唯一

X

【解析】設反比例函數解析式為丫=人,

X

根據題意得kvO,|k|<l,

當k取-5時，反比例函數解析式為y=--.

X

故答案為y=-*.答案不唯一.

X

1

14、-

8

【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數，再找出兩次摸出的球上是寫有“美麗”二字的結果數，然后根據概

率公式求解.

【詳解】（1）用1、2、3、4別表示美、麗、羅、山，畫樹形圖如下:

14

123

由樹形圖可知，所有等可能的情況有16種，其中“1,2”出現的情況有2種,

一21

；?P（美麗）

168

故答案為：—??

8

【點睛】

本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；

樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情

況數與總情況數之比.

15、1.

jDpn

【解析】試題分析：根據題目中的條件易證AABPsaCDP,由相似三角形對應邊的比相等可得二匕=上上，即

BPPD

2CD

-=----,解得CD=lm.

312

考點：相似三角形的應用.

16、1

【分析】由圓錐的母線長是5cm,側面積是20m:m2,求圓錐側面展開扇形的弧長，然后再根據錐的側面展開扇形的弧

長等于圓錐的底面周長求解.

【詳解】解：由圓錐的母線長是5cm,側面積是2（hrcm2,

根據圓錐的側面展開扇形的弧長為：l=—=—=8n,

r5

再根據錐的側面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，

可得廠=—^―==lcm.

27r27r

故答案為：1.

【點睛】

本題考查圓錐的計算，掌握公式正確計算是解題關鍵.

17、1

【分析】由題意連接OA,根據切線的性質得出OALPA,由已知條件可得4OAP是等腰直角三角形，進而可求出OA

的長，即可求解.

【詳解】解：連接OA,

「PA切。O于點A,

AOA1PA,

AZOAP=90°,

VZAPO=45°,

；.OA=PA=1,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查切線的性質即圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現圓的切線，連接過切點的半徑，構造定理圖，得出垂

直關系.

18、0.2

【分析】利用列舉法求解即可.

【詳解】將布袋里10個球按顏色分別記為紅紅2,紅3,紅4,紅5,黃I，黃2,黃3,黑1，黑2,所有可能結果的總數為1。種，

并且它們出現的可能性相等

任意摸出一個球是黑球的結果有2種，即黑-黑z

2

因此其概率為：P=—=0.2.

【點睛】

本題考查了用列舉法求概率，根據題意列出所有可能的結果是解題關鍵.

三、解答題(共66分)

19、(1)j=x2-2x-3；(2存在，點M的坐標為(1+J7,3),(1-5,3)或(2,-3)

【分析】(1)二次函數7=0d+而-3的頂點坐標為(1,-4),可以求得“、》的值，從而可以得到該函數的解析式；

(2)根據(1)中求得的函數解析式可以得到點C的坐標，再根據SAMAB=SACAB,即可得到點M的縱坐標的絕對值等于

點C的縱坐標的絕對值，從而可以求得點M的坐標.

【詳解】解：(1)???二次函數y=a/+h-3的頂點坐標為(1,-4),

b「1

------=1a-\

**?<2a，得<,

。+6一3二一41一

，該函數的解析式為y=%2-2x-3；

(2)該二次函數圖象上存在點M,使

??？=d-lx-3=(x-3)(x+1),

???當x=0時，y=-3,當y=0時，x=3或x=-L

???二次函數-3的圖象與x軸交于4、6與y軸交于點C,

???點A的坐標為點b的坐標為(3,0),點。的坐標為(0,-3),

VS^MAB=S^CABf點M在拋物線上，

???點M的縱坐標是3或-3,

當y=3時，3=x2-2x-3,得xi=l+J7,X2=l-;

當y=-3時，-3=x2-2x-3,得％3=0或"4=2；

...點M的坐標為(1+J7,3),(1-e，3)或(2,-3).

故答案為：⑴了=爐-2廠3；⑵存在，點M的坐標為(l+g,3),(1-J7,3)或(2,-3).

【點睛】

本題考查了二次函數與方程，幾何知識的綜合運用.將函數知識與方程，幾何知識有機地結合起來，這類試題難度較

大.解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質，定理和二次函數的知識.

20、(2)y=--x2+-x+3(2)P(-,-)

2224

【詳解】解：(2)VOA=2,OC=2,

AA(-2,0),C(0,2).

1

將C(0,2)代入y=——x9+bx+c得C=2.

2

ii9

將A(—2,0)代入y=—]X2+bx+3得，0=---(-2)+(-2)b+3,

解得b==,

2

1,1

二拋物線的解析式為丫=一5*2+萬乂+3；

(2)如圖：連接AD,與對稱軸相交于P,

由于點A和點B關于對稱軸對稱，貝！JBP+DP=AP+DP,當A、P、D共線時BP+DP=AP+DP最小.

設直線AD的解析式為y=kx+b,

—2k+b=0：k=二：

將A(-2,0),D(2,2)分別代入解析式得，?,解得，2,

2k+b=2,,

I[b=1

二直線AD解析式為y=；x+2.

1

21

???二次函數的對稱軸為x=------二,

2xbJ

115

，當x二一時,y=—x—+2=—

2224

/.P(-,-).

24

21、(1)4(0,4)、C(3,l)(2)見解析(3)當

【解析】試題分析：(D根據點的平面直角坐標系中點的位置寫出點的坐標；(2)根據旋轉圖形的性質畫出旋轉后的

圖形；(3)點A所經過的路程是以點C為圓心，AC長為半徑的扇形的弧長.

試題解析:(1)A(0,4)C(3,1)

（2）如圖所示:

⑶根據勾股定理可得：AC=3后'則；器=90祓也=孚小

考點：圖形的旋轉、扇形的弧長計算公式.

22、（1）見解析；（2）7725（3）273+2

【分析】（1）先根據同弧所對的圓周角相等證明三角形ABC為等邊三角形，得到NACB=60。，再求出NAPB=60。，根

據AQ=AP判定aAPQ為等邊三角形，ZAQP=ZQAP=60°,故NACB=NAQP,可判斷NQAO120。，ZQBC<120°,

故NQACYNQBC,可證四邊形AQBC是準平行四邊形；

（2）根據已知條件可判斷NABC彳NADC,貝何得NBAD=NBCD=90。，連接BD,則BD為直徑為10,根據BC=CD

得4BCD為等腰直角三角形，則NBAC=NBDC=45。，在直角三角形BCD中利用勾股定理或三角函數求出BC的長，

過B點作BE_LAC,分別在直角三角形ABE和ABEC中，利用三角函數和勾股定理求出AE、CE的長，即可求出

AC的長.

（3）根據已知條件可得：ZADC=ZABC=60°,延長BC到E點，使BE=BA,可得三角形ABE為等邊三角形，ZE=60°,

過A、E、C三點作圓o,則AE為直徑，點D在點C另一側的弧AE上（點A、點E除外），連接BO交弧AE于D

點，則此時BD的長度最大，根據已知條件求出BO、OD的長度，即可求解.

【詳解】（1）VZAPC=ZCPB=60°

.?.ZABC=ZBAC=60°

AABC為等邊三角形,NACB=60。

■:ZAPQ=180°-ZAPC-ZCPB=60°

又AP=AQ

.,.△APQ為等邊三角形

NAQP=NQAP=60°

.\ZACB=ZAQP

■:ZQAC=ZQAP+ZPAB+ZBAC=120°+ZPAB>120°

故NQBC=360°-/AQP-NACB-NQACV120°

???ZQAC^ZQBC

???四邊形AQBC是準平行四邊形

(2)連接BD,過B點作BE_LAC于E點

--------

\E

6K,0?…淞

???準平行四邊形ABC。內接于O,AB^AD.BC=DC

???NABCrNADC,ZBAD=ZBCD

VZBAD+ZBCD=180°

.\ZBAD=ZBCD=90°

???BD為O的直徑

V)0的半徑為5

ABD=10

VBC=CD,ZBCD=90°

.*.ZCBD=ZBDC=45O

.\BC=BDxsinZBDC=10x—=572，ZBAC=ZBDC=45°

VBE±AC

:.ZBEA=ZBEC=90°

:.AE=ABxsinZBAC=6x型二3近

2

VZABE=ZBAE=45°

:.BE=AE=35/2

在直角三角形BEC中，EC=7^2-BE2=4也

，AC=AE+EC=7夜

(3)在中，NC=90°,NA=30。

:.NABC=60°

,/四邊形ABCD是準平行四邊形，且ZBCD豐ABAD

：.ZADC=ZABC=60°

延長BC到E點，使BE=BA,可得三角形ABE為等邊三角形，ZE=60°,過A、E、C三點作圓o,因為NACE=90。,

則AE為直徑，點D在點C另一側的弧AE上（點A、點E除外），此時，ZADC=ZAEC=60°,連接BO交弧AE于

D點，則此時BD的長度最大.

在等邊三角形ABE中，ZACB=90°,BC=2

/.AE=BE=2BC=4

，OE=OA=OD=2

/.BO±AE

.*.BO=BExsinZE=4x—=2也

2

.,.BD=BO+OD=2+2A/3

即BD長的最大值為2+273

【點睛】

本題考查的是新概念及圓的相關知識，理解新概念的含義、掌握圓的性質是解答的關鍵，本題的難點在第（3）小問,

考查的是與圓相關的最大值及最小值問題，把握其中的不變量作出圓是關鍵.

23、（4）證明見解析；（4）證明見解析；（4）4

【解析】試題分析：（4）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，得到AE=CE,AD=CD,由CF〃AB,得到

ZEAC=ZFCA,NCFD=NAED,利用ASA證得△AED義Z\CFD；

(4)由4AED會4CFD,得至UAE=CF,由EF為線段AC的垂直平分線，得至！]EC=EA,FC=FA,從而有EC=EA=FC=FA,

利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形；

(4)在RtAADE中，由勾股定理得到ED=4,故EF=8,AC=6,從而得到菱形AECF的面積.

試題解析：(4)由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，，AE=CE,AD=CD,VCF#AB,/.ZEAC=ZFCA,

NCFD=NAED,在AAED與ACFD中，VZEAC=ZFCA,AD=CD,NCFD=NAED,/.AAED^ACFD；

(4)VAAED^ACFD,/.AE=CF,；EF為線段AC的垂直平分線，/.EC=EA,FC=FA,.*.EC=EA=FC=FA,:.

四邊形AECF為菱形；

(4)在RtAADE中，VAD=4,AE=5,；.ED=4,；.EF=8,AC=6,；.S菱形AECF=8X6+4=4,二菱形AECF的面積是4.

考點：4.菱形的判定；4.全等三角形的判定與性質；4.線段垂直平分線的性質.

24、(1)y=-1.V+2x+3；(2)當〃=g時，"嗎最大值為孩；⑶存在，Q點坐標為僅3@或(0,—3⑹，

理由見解析

【分析】(1)利用待定系數法可求出二次函數的解析式；

(2)求三角形面積的最值，先求出三角形面積的函數式.從圖形上看SAPAB=SABPO+SAAPO-SAAOB,^

p[,-g〃2+2〃+3]求出關于n的函數式，從而求S4PAB的最大值.

(3)求點D的坐標，設D?,-g產+2f+3],過D做DG垂直于AC于G構造直角三角形，利用勾股定理或三角函數值

來求t的值即得D的坐標;探究在y軸上是否存在點。，使NCQD=60?根據以上條件和結論可知NCAD=120°,是

NCQD的2倍，聯想到同弧所對的圓周角和圓心角，所以以A為圓心，AO長為半徑做圓交y軸與點Q,若能求出這樣

的點，就存在Q點.

【詳解】解：(1)拋物線頂點為(3,6)

二可設拋物線解析式為y=4尤-3)2+6

將3(0,3)代入V=。(％—3)2+6得

3=9Q+6

1

a=—

3

191

拋物線y=--(%-3)-+6,即y=-j%2+2%+3

（2）連接OP,BO=3,04=3,

BO

設P點坐標為卜，-+2n+3

113

S^PO=-BO-PxX=-3.n=-n

即0°222

，OA，P

SAPAO=~y=展3.(--ir+2n+39

--n2+3nH—

22

119

S=-OA.BO=-X3X3=-

AMARB0O222

_3f1,991,9If9?81

c=n+-n+a+

SM>BA^|2^2—=—nH——n=—zz—H----

2222^2j8

981

.?.當〃=彳時，S"以最大值為g

28

(3)存在，設點D的坐標為，2+2f+3

過。作對稱軸的垂線，垂足為G,

則￡>G=(—3,CG=6—+2,+3)

ZACD-30

:.2DG=DC

在及ACGD中有

CG=y/CD2+DG2=^DG2-DG2=幣DG

.?.百("3)=6—；產+27+3)

化簡得（3-1卜-3-3四）=0

.ri=3（舍去），t2=3+3A/3

；?點D（3+36,-3）

AG=3,GD=3y/3

連接AO,在HAADG中

AD=y/AG2+GD2=^/9+27=6

AD=AC=6,ZCAD=120

，。在以A為圓心，AC為半徑的圓與y軸的交點上

此時ZCQD=^ZCAD=60

設Q點為（0,m）,AQ為A的半徑

貝！］AQ2=OQ2+OA2,62=m2+32

即9+W=36

Wf=3^3,7172=—3^/3

綜上所述，Q點坐標為（0,36）或（0,-36）

故存在點Q,且這樣的點有兩個點.

【點睛】

⑴本題考查了利用待定系數法求二次函數解析式，根據已知條件選用頂點式較方便；

⑵本題是三角形面積的最值問題，解決這個問題應該在分析圖形的基礎上，引出自變量，再根據圖形的特征列出面積

的計算公式，用含自變量的代數式表示面積的函數式，然后求出最值.

⑶先求拋物線上點的坐標問題及符合條件的點是否存在.一般先假設這個點存在，再根據已知條件求出這個點.

25、(1)BD=DC；(2)172；(3)詳見解析.

【分析】(1)連接AD,由圓周角定理可知NADB=90。，證得結論；

(2)根據等腰三角形的性質得到AD平分NBAC,即NBAD=NCAD,可得=則BD=DE,所以BD=DE=DC,

得到NDEC=NDCE,在等腰AABC中可計算出NABC=71。，故NDEC=71。，再由三角形內角和定理得出NEDC的度

數，再根據BP〃DE可知NPBC=NEDC=30。，進而得出NABP的度數，然后利用OB=OP,可知NOBP=NOPB,由

三角形內角和定理即可得出NBOP=90。，則AAOP是等腰直角三角形，易得AP的長度；

(3)設OP交AC于點G,由NBOP=90。可知NAOG=90。，在Rt^XAOG中，由NOAG=30。可得四=工，由于℃

AG