1.3.2

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和新授課第1課時(shí)1.了解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程.2.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.情境導(dǎo)入小林和小明做“貸款”游戲，簽訂了一份合同.從簽訂合同之日起，在一個(gè)月（30天）中,小明第一天貸給小林1萬(wàn)元，以后每天比前一天多貸給小林1萬(wàn)元.小林按這樣的方式還貸:小林第一天只需還1分錢，以后每天還的錢數(shù)是前一天的2倍.合同生效了，第一天小林支出1分錢，收入1萬(wàn)元;到了第20天，小林共得210萬(wàn)元，而小明才得到1048575分，共1萬(wàn)元多一點(diǎn).小林想:要是合同訂兩個(gè)月、三個(gè)月那該多好!果真是這樣嗎知識(shí)點(diǎn)1：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解：設(shè)30天后，小林得到的錢數(shù)為T30（單位：萬(wàn)元），小明得到的錢數(shù)為S30（單位：分），則根據(jù)合同，有問(wèn)題：計(jì)算小林和小明得到的錢數(shù).T30=1+2+3+…+30=（單位：萬(wàn)元），S30=1+2+22+…+229.①由①式可得，2S30=2+22+…+229+230.②②-①，得S30=230-1.這可不是個(gè)小數(shù)目！利用計(jì)算器計(jì)算，得S30=l073741823（分）=1073.741823（萬(wàn)元）.小林聽(tīng)到這個(gè)結(jié)果，肯定會(huì)嚇出一身冷汗！將上述方法推廣到一般的等比數(shù)列求和問(wèn)題的解決過(guò)程中.①式的兩邊同乘q,得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,②①-②，得

Sn-qSn=a1(1-qn),即Sn(1-q)=a1(1-qn).這就是錯(cuò)位相減法求和.對(duì)首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠0）的等比數(shù)列{an},設(shè)Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為從而，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為當(dāng)q=1時(shí)，由①式可得Sn=na1.

q=1q≠1且q≠0等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式q=1q≠1且q≠0歸納總結(jié)1.注意q=1與q≠1兩種情形2.q≠1時(shí)，3.五個(gè)量n，a1，q，an，Sn中，解決“知三求二”問(wèn)題.練一練D1.等比數(shù)列1，a，a2，a3，…的前n項(xiàng)和為(

)A.

B.

C.

D.以上都錯(cuò)注意：考慮到公比為1的情況，此時(shí)Sn=n.練一練2.等比數(shù)列{an}的公比q=2，首項(xiàng)a1=2，則Sn=

.解：Sn=2n+1-2解：（1）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得（2）因?yàn)楣萹=，所以例1:（1）已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，q=3.求S3；（2）求等比數(shù)列的前10項(xiàng)的和.解：根據(jù)題意，可知每年的利潤(rùn)組成一個(gè)首項(xiàng)a1=300，公比q=1+10%=1.1的等比數(shù)列.所以從今年起第5年的利潤(rùn)為這5年的總利潤(rùn)為（萬(wàn)元）.a6=a1q6-1=300×(1+10%)5=300×1.15≈483（萬(wàn)元）；例2:五洲電扇廠去年實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)300萬(wàn)元，計(jì)劃在以后5年中每年比上一年利潤(rùn)增長(zhǎng)10%.問(wèn)從今年起第5年的利潤(rùn)是多少？這5年的總利潤(rùn)是多少？（結(jié)果精確到1萬(wàn)元）練一練在等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18，a2+a3=12，求此數(shù)列的前8項(xiàng)和.解：由題意得，解得