天津百華實驗中學高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a＞0，b＞0，若，則a+b的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：D【考點】數列的極限．【分析】通過a＞b與a＜b，利用極限分別求出a與b的關系，然后求解a+b的值即可判斷選項．【解答】解：當a＞b時，，可得=a，所以a+b＜2a=10．當a＜b時，，可得=b，所以a+b＜2b=10，綜上，a+b的值不可能是10．故選D．2.執行如圍所示的程序框圍，若輸出的S的值為，則實數k的取值范圍為（

）A.[64,128) B.[32,64) C.[16,48) D.(32,64)參考答案：A【分析】模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的S，a的值，當a＝128時由題意此時不滿足條件128≤k，退出循環，輸出S的值為，從而可解得k的取值范圍．【詳解】模擬執行程序，可得a＝4，S執行循環體，Slog48＝，a＝8由題意，此時滿足條件8≤k，執行循環體，S＝×log816=2，a＝16由題意，此時滿足條件16≤k，執行循環體，S＝2×log1632=，a＝32由題意，此時滿足條件32≤k，執行循環體，S＝×log3264，a＝64由題意，此時滿足條件64≤k，執行循環體，S＝4×log64128,a＝128由題意，此時不滿足條件128≤k，退出循環，輸出S的值為．則實數k的取值范圍為：．故選：A【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖，正確依次寫出每次循環得到的S，a的值是解題的關鍵，屬于基礎題．3.在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，則角B的大小為（

）A．30°

B．45°

C．135°

D．45°或135°參考答案：B略4.以下四個命題中，其中真命題的個數為（）①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．則￢p：?x∈R，均勻x2+x+1≥0③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要條件；④“若x+y=0，則x，y互為相反數”的逆命題．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】由抽樣方法可得為系統抽樣，可判斷①；由由特稱命題的否定為全稱命題，可判斷②；注意對數函數的定義域，結合充分必要條件的定義，可判斷③；求出逆命題，即可判斷④．【解答】解：①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是均衡的抽取，為系統抽樣，故①錯；②對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，由特稱命題的否定為全稱命題，可知②正確；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要條件，首先必須x＞﹣1，則③錯誤；④“若x+y=0，則x，y互為相反數”的逆命題為“若x，y互為相反數，則x+y=0”，則④正確．則正確的個數為2，故選：B．5.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，則b等于（）A．4 B．4 C．4 D．參考答案：C【考點】正弦定理．【專題】計算題．【分析】先根據三角形內角和求得A，進而利用正弦定理以及a，sinA和sinB求得b．【解答】解：A=180°﹣60°﹣75°=45°由正弦定理可知，∴b==4故選C【點評】本題主要考查了正弦定理的應用．屬基礎題．6.已知橢圓：（），點，為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點，使，則離心率的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A，設，則，可得，故選A.【方法點晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率的范圍，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的范圍.本題是利用構造出關于的不等式，最后解出的范圍.7.函數的導數是（

）(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C略8.下列說法中錯誤的是（

）A．零向量是沒有方向的

B．零向量的長度為0C．零向量與任一向量平行

D．零向量的方向是任意的參考答案：A9.將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又有黑球，且每個盒子中球數不能少于2個，則所有不同的放法的種數為

（

）

A．12

B．10

C．6

D．18參考答案：D略10.設雙曲線的漸近線方程為3x±2y=0，則a的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意，，即可求出a的值．【解答】解：由題意，，∴a=2，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設、分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為

．參考答案：略12.曲線C是平面內與兩個定點的距離的積等于常數的點的軌跡。給出下列三個結論：①曲線C過坐標原點；②曲線C關于坐標原點對稱；③若點P在曲線C上，則的面積不大于；④若點P在曲線C上，則P到原點的距離不小于.其中正確命題序號是__________.參考答案：②③④13.在400ml自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發現大腸桿菌的概率是________________________________。參考答案：0.00514.雙曲線的離心率=________；焦點到漸近線的距離=________.參考答案：

1【分析】由雙曲線得，再求出，根據公式進行計算就可得出題目所求。【詳解】由雙曲線得，，，一個焦點坐標為，離心率，又其中一條漸近線方程為：，即，焦點到漸近線的距離故答案為：

1【點睛】本題考查雙曲線的相關性質的計算，是基礎題。

15.若雙曲線x2﹣y2=1右支上一點A（a，b）到直線y=x的距離為，則a+b=．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】P（a，b）點在雙曲線上，則有a2﹣b2=1，即（a+b）（a﹣b）=1．根據點到直線的距離公式能夠求出a﹣b的值，從而得到a+b的值．【解答】解：∵P（a，b）點在雙曲線上，∴有a2﹣b2=1，即（a+b）（a﹣b）=1．∵A（a，b）到直線y=x的距離為，∴d=，∴|a﹣b|=2．又P點在右支上，則有a＞b，∴a﹣b=2．∴|a+b|×2=1，a+b=，故答案為．16.對任意非零實數a、b，若的運算原理如圖所示，則＝________.參考答案：略17.已知直線l的普通方程為x+y+1=0，點P是曲線上的任意一點，則點P到直線l的距離的最大值為______．參考答案：【分析】根據曲線的參數方程，設，再由點到直線的距離以及三角函數的性質，即可求解．【詳解】由題意，設，則到直線的距離，故答案為：．【點睛】本題主要考查了曲線的參數方程的應用，其中解答中根據曲線的參數方程設出點的坐標，利用點到直線的距離公式和三角函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分6分）求以橢圓的焦點為焦點，且經過點P（1，）的橢圓的標準方程。參考答案：由已知，，，。

2分

設所求方程為，因為過P（1，）

所以。

4分即，解得或（舍）為所求方程。

6分19.（本小題12分）已知集合，．命題，命題，并且命題是命題的充分條件，求實數的取值范圍．參考答案：20.已知關于x的一元二次函數f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）設集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；（2）設點（a，b）是區域內的隨機點，求y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．參考答案：【考點】等可能事件的概率．【專題】計算題．【分析】（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是3×5，滿足條件的事件是函數f（x）=ax2﹣4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，根據二次函數的對稱軸，寫出滿足條件的結果，得到概率．（2）本題是一個等可能事件的概率問題，根據第一問做出的函數是增函數，得到試驗發生包含的事件對應的區域和滿足條件的事件對應的區域，做出面積，得到結果．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，∵試驗發生包含的事件是3×5=15，函數f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對稱軸為，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，當且僅當a＞0且，即2b≤a若a=1則b=﹣1，若a=2則b=﹣1，1；若a=3則b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5∴所求事件的概率為．（2）由（Ⅰ）知當且僅當2b≤a且a＞0時，函數f（x）=ax2﹣4bx+1在區是間[1，+∞）上為增函數，依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為構成所求事件的區域為三角形部分由得交點坐標為，∴所求事件的概率為．【點評】古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，點M在PD上．（Ⅰ）求證：AB⊥PC；（Ⅱ）若BM與平面ABCD所成角的正切值為，求四棱錐M﹣ABCD的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（Ⅰ）設E為BC的中點，連結AE，求解三角形可得AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，得AB⊥PA，再由線面垂直的判定可得AB⊥面PAC，故有AB⊥PC；（Ⅱ）結合（Ⅰ）可得∠BAD=135°，過M作MG⊥AD于G，設AG=x，則GD=，有MG=．在△ABG中，由余弦定理可得BG，由BM與平面ABCD所成角的正切值為，得M為PD的中點，再由棱錐體積公式求得四棱錐M﹣ABCD的體積．【解答】解：（Ⅰ）證明：如圖，設E為BC的中點，連結AE，則AD=EC，又AD∥EC，∴四邊形AECD為平行四邊形，故AE⊥BC，又AE=BE=EC=，∴∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC；（Ⅱ）由（1）知AB⊥AC，可得∠BAD=135°，過M作MG⊥AD于G，設AG=x，則GD=，∴MG=．在△ABG中，由余弦定理可得：BG=，由BM與平面ABCD所成角的正切值為，得，解得x=，∴MG=1，即M為PD的中點．此時四棱錐M﹣ABCD的體積為=4．22.已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，且過點A（2，1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若P，Q是橢圓C上的兩個動點，且使∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）由橢圓C的離心率為，且過點A（2，1），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，知PA與AQ所在直線關于直線x=2對稱．設直線PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），直線AQ的方程為y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由點A（2，1）在橢圓C上，求出．同理，由此能求出直線PQ的斜率為定值．法二：設點P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線PA的斜率，直線QA的斜率．由∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，知，再由點P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，能求出直線PQ的斜率為定值．法三：設直線PQ的方程為y=kx+b，點P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1=kx1+b，y2=kx2+b，直線PA的斜率，直線QA的斜率．由∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韋達定理能求出直線PQ的斜率為定值．【解答】解：（Ⅰ）因為橢圓C的離心率為，且過點A（2，1），所以，．…因為a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…所以橢圓C的方程為．…（Ⅱ）解法一：因為∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在直線關于直線x=2對稱．設直線PA的斜率為k，則直線AQ的斜率為﹣k．…所以直線PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），直線AQ的方程為y﹣1=﹣k（x﹣2）．設點P（xP，yP），Q（xQ，yQ），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因為點A（2，1）在橢圓C上，所以x=2是方程①的一個根，則，…所以．…同理．…所以．…又．…所以直線P