專題09隱圓問題（2）

【問題導入】

最值問題的必要條件是至少有一個動點，因為是動態問題，所以才會有最值.在將軍飲馬問

題中，折點P就是那個必須存在的動點.并且它的運動軌跡是一條直線，解題策略就是作端

點關于折點所在直線的對稱即可.

當然，動點的運動軌跡是可以變的，比如P點軌跡也可以是一個圓，就有了第二類最值問題

——隱圓問題.

以下是幾種常見的隱圓模型，我們將從以下7種模型對“隱圓問題”進行詳細講解

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【題型五：四點共圓型】

【模型】1.對角互補型：若∕A+∕C=180°或∕B+∕D=180°,則A、B、C、D四點共圓.

2.同側等角型：若NA=NC,則A、B、C、D四點共圓.

【例1】如圖,等邊AABC中,AB=6,P為AB上一動點,PD_LBC,PEJ_AC,求DE的最小值.

【答案】I

【解析】解：如圖，連接CP,取CP的中點。，連接OE、OD

A

V?ΛBC是等邊三角形

ΛZACB=60o,AB=BC=AC=G

VPD±BC,PE±AC

.?.NPEC=NPDC=90°

VOP=OC

.'.OE=OP=OC=OD

；.C、D、P、E四點共圓

ZEOD=2ZECD=120"

DE=√30E

即當OE最小時,DE有最小值

,.?當CPlAB時，CP有最小值，即OE有最小值

此時CP=3b，C)E=手

.,.DE=√3OE=√3X學=g

【練1】如圖，在AABC中，∕B=75°,ZC=45o,8C=6-2加，點P是8C上一動點,

PELAB于E,PCAC于D無論P的位置如何變化，線段OE的最小值為.

【答案】√3

【解析】解：當AP_LBC時，線段0E的值最小，如圖1,

圖1

"：PELAB,PDVAC,

：.ZAEP=ΛADP=90o,

ΛZA￡P+ZADP=180o,

，A、E、尸、。四點共圓，且直徑為AP,

在RtZXPDC中，ZC=45o,

△尸OC是等腰直角三角形，ZAPD=45",

：./\APD也是等腰直角三角形，

ΛZPAD=45o,

NPEz)=NB40=45°,

ΛZAED=45o,

ΛZAED=ZC^45Q,

"：ZEAD=ZCAB,

.,.ΛAED^ΛACB,

.AE_ED

"AC-^BC,

設Az)=Zr,則Pf>=CC=2x,AP=2√Σr,

如圖2,取AP的中點。，連接E。，則A。=OE=OP=VIr,

圖2

^:ZEAP=ZBAC-ZPAD^60Q-45°=15°,

ΛZEOP=2ZEAO=30a,

過E作EMlAP于M,則EM=凈,

cos30o=—,

OE

Λ0Λ∕=√2x?-

22

?._B_2V2+√6

..AλMyf=yJ2χΛ-χ=-----------χ,

22

由勾股定理得：AE=yjAM2+EM2=(√3+l)x,

?(6+1)X_ED

，，4%-6-2√3,

ΛED=√3.

則線段DE的最小值為百；

【題型六：瓜豆原理】

【模型】為了便于區分動點P、Q,可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”.

此類問題的必要條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

【結論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：

ZPAQ=ZOAM;

（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：

AP:AQ=Ae）:AM,也等于兩圓半徑之比.

按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉+伸縮.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

【例】如圖，點P（3,4）,圓P半徑為2,A（2.8,0）,B（5.6,0）,點M是圓P上的動點，點

C是MB的中點，則AC的最小值是.

【解析】由題意可知M點為主動點，C點為從動點，B點為定點.

?.?C是BM中點，可知C點軌跡為取BP中點F,以F為圓心，FC為半徑作圓，即為點C軌

跡，如圖所示：

由題中數據可知0P=5,

；點AF分別是OB、BP的中點,

，AF是ABPO的中位線，ΛAF=2.5,

當M運動到如圖位置時，AC的值最小，此時A、C、。三點共線,

ΛAC=2.5-1=1.5.

【練1】如圖，正方形ABCD中，Aβ=2√5,。是BC邊的中點，點E是正方形內

一動點，0E=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉90。得DF,連接AE、CF.求

線段OF長的最小值.

【答案】5√2-2

【解析】解：解法-10E=2

點E可以看成是在以。為圓心，2為半徑的半圓上運動，延長BA至點P,使得

AP=OC,連接PE,如圖所示：

VAE=CF,ZPAE=ZOCF,

Λ?PAE^?OCF,

PE=OF,當0、E、P三點共線時，PE的值最小,

22

`:OP=√oe2+PB2=J(√5)+(3√5)=5√2

ΛPE=OF=OP-OE=5√2-2

，OF的最小值是5迎-2.

解法二：E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足E0=2,故E點軌跡是以。

為圓心，2為半徑的圓.

考慮DE_LDF且DE=DF,故作DMl.DO且DM=D0,F點軌跡是以點M為圓心，2

為半徑的圓.

直接連接OM,與圓M交點即為F點，此時OF最小.可構造三垂直全等求線段長,

再利用勾股定理求得0M,減去MF即可得到OF的最小值.

【練2】aABC中，AB=4,AC=2,以BC為邊在AABC夕卜作正方形BCDE,BD,CE

交于點。，則線段Ac）的最大值為.

A

【答案】3√2

【解析】解：解法一、如圖，以Ac）為直角邊作等腰直角三角形AOF,且∕A0F=9CΓ,則

AO=FO,AF=√2A0,

；四邊形BCDE是正方形，

ΛBO=CO,ZBOC=90°,

Y/BOC=/AOF=90°,

ΛZAOB=ZCOF,

Λ?AOB^?FOC,

ΛCF=AB=4,

當點A、C、F三點共線時，AF=AC+CF,

ΛAF≤AC+CF=2+4=6,即AF的最大值是6,

VAF=√2A0,

/.AO的最大值是36；

解法二、考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB,將AC看成

動線段，由此引發正方形BCED的變化，求得線段A。的最大值.

根據AC=2,可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓.

接下來題目求Ao的最大值，所以確定。點軌跡即可，觀察ABOC是等腰直角三角

形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以。點軌跡也是圓，以

AB為斜邊構造等腰直角三角形，宜角頂點M即為點。軌跡圓圓心.

連接AM并延長與圓M交點即為所求的點0,此時AO最大，根據AB先求AM,

再根據BCqBO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得至IJM0,相加即得

A0.

【練3】如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=I,F為AB邊上的一

個動點，連接EF,以EF為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,求CG的最小值是多少？

【答案W

【解析】解：可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：

考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，

初始時刻G點在&位置，最終G點在G2位置92不一定在CD邊），GO?即為G

點運動軌跡.

CG最小值即當CG,GJG2的時候取到，作CH,G∣G2于點H,CH即為所求的最小

值.

根據模型可知：G∣G2與AB夾角為60。，故GG2_LEG-

1o

過點E作EFLCH于點F,則HF=EGl=1,CFGCE=I

所以CH=j,因此CG的最小值為|.

【練4】如圖，在反比例函數y=-：的圖像上有一個動點A,連接AO并延長交圖

像的另一支于點B,在第一象限內有一點C,滿足AC=BC,當點A運動時，點C

始終在函數y=-:的圖像上運動，若tan∕CAB=2,則k的值為.

【答案】8

【解析】解：如圖，過點A作AMj_x軸交于點M,過點C作CNj_x軸交于點N,

連接C)C

VAΛB關于原點成中心對稱，且AC=BC

.?.∕AOC=90°

VtanZCAB=?

AO:C)C=I:2

顯然點C的軌跡也是一條雙曲線，

由一線三直角可得4AMOs∕?oNC,

ΛCN=20M,

??SACoN=4S&40M

.?.k=2X4=8

【題型七：米勒定理】

【模型】1471年,德國數學家米勒提出了一個有趣的問題：在地球表面什么部位，

一根垂直的懸桿呈現最長?即在什么部位,視角最大?最大視角問題是數學史上100

個著名的極值問題之一.

已知,點A,B是/MON的OM邊上的兩個定點,C是ON邊上的一個動點,當C在何處

時,NACB最大？

【結論】當且僅當AABC的外接圓與邊ON相切于點C時,NACB最大.

圓周角>圓外角

模型關鍵：動點成線+動點所對的邊為定值

解決方法：構造與過定點與定長的圓，并且與點所在直線相切，之后構造子母相似

或者運用弦切角定理解決問題。

【例】如圖,頂點為M的拋物線y=-x2+2×+3與X軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,過

點C作CDLy軸交拋物線與另一個點D,作DEj_*軸,垂足為點E.雙曲線y=:(x>0)

經過點D,連接MD,BD.動點P從點O出發,以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運

動,運動時間為t秒,當t為何值時,NBPD的度數最大?(請直接寫出結果)

【答案】t=9-2√15

【解析】解：如圖，作aPBD的外切圓。G,使G)G與y軸相切于點P,連接GP,GB,GD.

?.,p(o,t),

.?.設G(r,t).由兩點間距離公式可得22

.(r—3)+ft-O?=r2

解得：t1=9-2√15,t2=9+2√15(^?)

當t=9-2√II時，NBPD的度數最大

【練】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E為BC的中點,點P是BD上的一個動點,當/

EPC最大時,求出AAPD的面積.

【答案】6-爭

【解析】解：如圖，作aPEC的外切圓。。，使Θθ與BD相切于點P,連接OP,0E,0B,

過點P作PHlAD交AD于點H