課時作業(三十)離散型隨機變量的數學期望練基礎1.若隨機變量X的分布列如下(a∈R)，則E(X)＝()X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)aA.eq\f(1,6)B．eq\f(5,3)C.eq\f(\r(5),3)D．eq\f(5,9)2．已知隨機變量X服從二項分布B(8，eq\f(1,2))，則E(3X－1)＝()A.11B．12C.18D．363．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運動員罰球命中的概率為0.7，設隨機變量X表示該運動員罰球1次的得分，E(X)＝________．4．甲、乙兩名同學同時參加學校象棋興趣小組，在一次比賽中，甲、乙兩名同學與同一位象棋教練進行比賽，記分規則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得2分；如果甲輸而乙贏，則甲得－2分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分．設甲贏教練的概率為0.5，乙贏教練的概率為0.4.求在兩輪比賽中，甲得分Y的分布列及數學期望．提能力5.小林從A地出發去往B地，1小時內到達的概率為0.4，1小時10分到達的概率為0.3，1小時20分到達的概率為0.3.現規定1小時內到達的獎勵為200元，若超過1小時到達，則每超過1分鐘獎勵少2元．設小林最后獲得的獎勵為X元，則E(X)＝()A．176B．182C．184D．1866．某皮劃艇訓練小組有7人，其中4人會劃左漿，5人會劃右漿．現選4人參加比賽，2人劃左槳，2人劃右漿，設選中的人中左右漿均會劃的人數為X，則E(X)＝()A．eq\f(6,5)B．eq\f(7,5)C．eq\f(48,31)D．eq\f(38,31)7．一個袋中裝有10個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到一個白球的概率是eq\f(7,9)，則袋中的白球個數為________，若從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為ξ，則隨機變量ξ的數學期望E(ξ)＝________．8．端午節吃粽子是我國的傳統習俗．設一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個．(1)用ξ表示取到的豆沙粽的個數，求ξ的分布列；(2)求E(ξ)及E(2ξ＋1).9．高考改革新方案中語文、數學、外語為必考的3個學科，然后在歷史、物理2個學科中自主選擇1個科目，在政治、地理、化學、生物4個學科中自主選擇2個科目參加考試，稱為“3＋1＋2”模式，為了解學生選科情況，長沙某中學隨機調查了該校的300名高三學生，調查結果為選歷史的100人．(1)從該中學高三學生中隨機抽取1人，求此人是選考歷史的概率；(2)以這300名高三學生選歷史的頻率作為全校高三學生選歷史的概率．現從該中學高三學生中隨機抽取3人，記抽取的3人中選考歷史的人數為X，求X的分布列與數學期望．培優生10.已知排球發球考試規則：每位考生最多可發球三次，若發球成功，則停止發球，否則一直發到3次結束為止．某考生一次發球成功的概率為p(0＜p＜1)，發球次數為X，若X的數學期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍為________．11．從2021年起，全國高考數學加入了新題型多選題，每個小題給出的四個選擇中有多項是正確的，其中回答錯誤得0分，部分正確得2分，完全正確得5分，小明根據以前做過的多項選擇題統計得到，多選題有兩個選項的概率為p，有三個選項的概率為1－p(其中0<p<1).在某個多項選擇題中，小明發現選項A正確，選項B錯誤，下面小明有三種不同策略：Ⅰ：選擇A，再從剩下的C，D選項中隨機選擇一個，小明該題的得分為X；Ⅱ：選擇ACD，小明該題的得分為Y；Ⅲ：只選擇A，小明該題的得分為Z.在p變化時，根據該題得分的期望來幫助小明分析該選擇哪個策略．課時作業(三十)離散型隨機變量的數學期望1．解析：由分布列性質，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋a＝1，則a＝eq\f(1,6)，所以E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：B2．解析：∵隨機變量X服從二項分布B(8，eq\f(1,2))，∴E(X)＝8×eq\f(1,2)＝4，E(3X－1)＝3E(X)－1＝3×4－1＝11.答案：A3．解析：Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.答案：0.74．解析：由題設，Y的可能取值－4，－2，0，2，4，P(Y＝－4)＝0.2×0.2＝0.04，P(Y＝－2)＝0.2×0.5＋0.5×0.2＝0.2，P(Y＝0)＝0.2×0.3＋0.3×0.2＋0.5×0.5＝0.37，P(Y＝2)＝0.5×0.3＋0.3×0.5＝0.3，P(Y＝4)＝0.3×0.3＝0.09.Y的概率分布為Y－4－2024P0.040.20.370.30.09所以E(Y)＝－4×0.04＋(－2)×0.2＋0×0.37＋2×0.3＋4×0.09＝0.4.5．解析：依題意可得X的可能值為200，180，160.P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，X的分布列為X200180160P0.40.30.3所以E(X)＝200×0.4＋(180＋160)×0.3＝182.答案：B6．解析：由題意7人中既會劃左漿又會劃右漿的有2人，所以選4人參加比賽共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝31(種)選法，當X＝0時，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3(種)，P(X＝0)＝eq\f(3,31)，當X＝1時，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝18(種)，P(X＝1)＝eq\f(18,31)；當X＝2時，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝10(種)，P(X＝2)＝eq\f(10,31)，E(X)＝eq\f(18,31)＋eq\f(10,31)×2＝eq\f(38,31).答案：D7．解析：依題意，設白球個數為x，至少得到一個白球的概率是eq\f(7,9)，則不含白球的概率為eq\f(2,9)，可得eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10－x)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(2,9)，即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5.依題意，隨機變量ξ～H(10，5，3)，所以E(ξ)＝eq\f(3×5,10)＝eq\f(3,2).答案：5eq\f(3,2)8．解析：(1)由題意可得，ξ的所有可能取值為0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，故ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×1＋1＝3.9．解析：(1)設該中學高三學生中隨機抽取1人，此人是選考歷史為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(100)),Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(300)))＝eq\f(1,3)，所以該中學高三學生中隨機抽取1人，此人是選考歷史的概率為eq\f(1,3).(2)由題意得：全校高三學生選歷史的概率為eq\f(1,3)，則X～B(3，eq\f(1,3))，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))(eq\f(1,3))0(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(eq\f(1,3))1(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(1,3))2·eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)，所以X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)數學期望為E(X)＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1(或E(X)＝3×eq\f(1,3)＝1).10．解析：由題意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，由p∈(0，1)，所以p∈(0，eq\f(1,2)).答案：0<p<eq\f(1,2)11．解析：：選策略Ⅰ，則小明得分為X的分布為X025Peq\f(1,2)p1－peq\f(1,2)p得分的期望為E(X)＝2(1－p)＋5×e