課時作業(三十二)正態分布練基礎1.設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數f(x)的圖象，且f(x)＝(x∈R)，則這個正態總體的平均數與標準差分別是()A．10與8B．10與2C．8與10D．2與102．已知隨機變量X服從正態分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，則P(－2<X<2)＝()A．0.477B．0.682C．0.954D．0.9773．小強對重力加速度做n次實驗，若以每次實驗結果的平均值作為重力加速度的估值．已知估值的誤差Δn～N(0，eq\f(9,n2))，為使誤差Δn在(－0.5，0.5)內的概率不小于0.6827，至少要實驗________次．(參考數據：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827).4．隨著國力的發展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高．為了掌握學生的體質與健康現狀，合理制訂學校體育衛生工作發展規劃，某市進行了一次全市高中男生身高統計調查，數據顯示全市30000名高中男生的身高X(單位：cm)服從正態分布N(172，σ2)，且P(172≤X≤180)＝0.4，試估計該市身高高于180cm的高中男生人數．提能力5.正態分布x～N(μ，σ2)是由德國數學家高斯率先將其應用于天文學研究，這項工作對后世的影響極大，故正態分布又叫高斯分布，已知高斯分布函數f(x)＝在x＝eq\r(2)處取得最大值為eq\f(1,2\r(π))，則P(x>0)＝()附：P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.9545A．0.6827B．0.84135C．0.97725D．0.95456．(多選)已知某校有1200名同學參加某次聯考，其中每位學生的數學考試成績X服從正態分布N(100，225)，則下列說法正確的有()(參考數據：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973)A．X的期望為100B．X的方差為15C．這次考試成績超過100分的約有500人D．P(115<X≤130)＝0.13597．經過大數據分析，長沙高鐵站春運期間每日客流量(單位：萬人)服從正態分布N(2，σ2)，該車站每日可供出售的有座車票為2.3萬張，且僅在有座車票已經售罄后，才開始出售無座車票，若需要出售無座車票的概率為eq\f(1,14)，則有座車票每日剩余量不超過0.6萬張的概率為________．8．某種規格的瓷磚(600mm×600mm)根據長期檢測結果，各廠生產的每片瓷磚質量x(kg)都服從正態分布N(μ，σ2)，并把質量在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理，剩下的稱為正品．從甲陶瓷廠生產的該規格瓷磚中抽取10片進行檢查，求至少有1片是廢品的概率．(參考：P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9973，0.997310≈0.9733)9．港珠澳大橋東起香港國際機場附近的香港口岸人工島，向西橫跨南海伶仃洋水域接珠海和澳門人工島，止于珠海洪灣立交；橋隧全長55千米，橋面為雙向六車道高速公路，設計速度100千米/小時，限制速度為90～120千米/小時，通車后由橋上監控顯示每輛車行車和通關時間的頻率分布直方圖如圖所示：(1)估計車輛通過港珠澳大橋的平均時間eq\o(t,\s\up6(－))(精確到0.1)；(2)以(1)中的平均時間eq\o(t,\s\up6(－))作為μ，車輛通過港珠澳大橋的時間X近似服從正態分布N(μ，36)，任意取通過大橋的1000輛汽車，求所用時間少于39.5分鐘的大致車輛數目(精確到整數).附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ－σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ－2σ)＝0.9545.培優生10.為評估設備M生產某種零件的性能，從設備M生產零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm58596061626364656667686970717273合計個數2113561931164421221100經計算，樣本直徑的平均值μ＝65，標準差σ＝2.2，以頻率值作為概率的估計值．為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據以下不等式進行評判(P表示相應事件的概率)；P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.9545；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9973.評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁，試判斷設備M的性能等級．課時作業(三十二)正態分布1．解析：因為f(x)＝，所以σ＝2，μ＝10，即正態總體的平均數與標準差分別為10與2.答案：B2．解析：由于隨機變量X服從正態分布N(0，σ2)，故P(－2<X<2)＝1－2P(X>2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C3．解析：P(－0.5<ξ<0.5)≥0.6827＝P(－eq\f(3,n)<ξ<eq\f(3,n))，∴0.5≥eq\f(3,n)，∴n≥6，至少要實驗6次．答案：64．解析：全市30000名高中男生的身高X(單位：cm)服從正態分布N(172，σ2)，且P(172≤X≤180)＝0.4，則P(X>180)＝eq\f(1－0.4×2,2)＝0.1，所以該市身高高于180cm的高中男生人數大約為30000×0.1＝3000.5．解析：由題意知：μ＝σ＝eq\r(2)，所以P(x>0)＝P(x>μ－σ)＝eq\f(1＋P（μ－σ≤x≤μ＋σ）,2)＝0.84135.答案：B6．解析：數學考試成績X服從正態分布N(100，225)，故X的期望為μ＝100，方差為σ2＝225，標準差為σ＝15，故A項正確，B項錯誤；對于選項C，因為X的期望為μ＝100，標準差為σ＝15，則P(X>100)＝eq\f(1,2)，則成績超過100分的約有1200×eq\f(1,2)＝600人，故C項錯誤；對于選項D，P(X≤115)＝P(X<100)＋eq\f(1,2)P(100－15<X≤100＋15)＝0.5＋eq\f(1,2)×0.6827＝0.84135，P(X≤130)＝P(X<100)＋eq\f(1,2)P(100－2×15<X≤100＋2×15)＝0.5＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725，P(115<X≤130)＝P(X≤130)－P(X≤115)＝0.97725－0.84135＝0.1359，故D項正確．答案：AD7．解析：設每日所售的票數為ξ萬張，若需要售出無座票，則ξ>2.3，故P(ξ>2.3)＝eq\f(1,14)，若有座車票每日剩余量不超過0.6萬張，則ξ≥2.3－0.6＝1.7，因為ξ～N(2，σ2)，由正態密度曲線的對稱性可得P(ξ≥1.7)＝1－P(ξ>2.3)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)8．解析：由正態分布可知，抽取的一片瓷磚的質量在(μ－3σ，μ＋3σ)之內的概率為0.9973，則這10片質量全都在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(即沒有廢品)的概率為0.997310≈0.9733，則這10片中至少有1片是廢品的概率為1－0.9733＝0.0267.9．解析：(1)由頻率分布直方圖可得eq\o(t,\s\up6(－))＝32.5×0.015＋37.5×0.18＋42.5×0.27＋47.5×0.3＋52.5×0.2＋57.5×0.035≈45.5(min).(2)由題知X～N(45.5，36)，∴P(X<39.5)＝P(X<μ－σ)＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<X≤μ－σ)]＝0.15865，所以1000×0.15865≈159，故所用時間少于39.5分鐘的大致車輛數目為159.10．解析：因為μ＝65，σ＝2.2，所以P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(62.8<X≤67.2)＝eq\f(6＋19＋31＋16＋4,100