2024屆內蒙古呼和浩特回民中學高二數學第二學期期末考試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓ρ=8sinθ的圓心到直線A．2 B．3 C．2 D．22．已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則（）A． B． C． D．3．復數z滿足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i4．是第四象限角，,，則（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示,其中圓的半徑均為,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．6．在第二屆烏鎮互聯網大會中,為了提高安保的級別同時又為了方便接待，現將其中的五個參會國的人員安排酒店住宿，這五個參會國要在、、三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個參會國入住，則這樣的安排方法共有A．種 B．種C．種 D．種7．用反證法證明“如果a＜b，那么”，假設的內容應是（）A． B．C．且 D．或8．如果，那么的值是（）A． B． C． D．9．將三枚骰子各擲一次，設事件為“三個點數都不相同”，事件為“至少出現一個6點”，則概率的值為（）A． B． C． D．10．公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創立了割圓術.利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數點后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率.如圖是利用劉徽的割圓術設計的程序框圖，則輸出的的值為（）(參考數據：，，）A．12 B．24 C．48 D．9611．設，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．12．過點，且與直線平行的直線的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則__________.14．已知復數，，若為純虛數，則_____.15．用五種不同的顏色，給圖中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則涂色的方法共有種．16．不同的五種商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法種數共有；（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）設是的極值點，求的單調區間；（2）當時，求證：.18．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，1，1．現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查．（1）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．20．（12分）已知數列滿足其中.（Ⅰ）寫出數列的前6項；（Ⅱ）猜想數列的單調性，并證明你的結論.21．（12分）假設關于某設備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費用(萬元)(即維修費用之和除以使用年限),有如下的統計資料：(1)求關于的線性回歸方程；(2)估計使用年限為10年時所支出的年平均維修費用是多少?參考公式：22．（10分）已知函數.（1）若函數在其定義域內單調遞增，求實數的最大值；（2）若存在正實數對，使得當時，能成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先把圓和直線的極坐標方程化成直角坐標方程，再利用點到直線的距離公式求解.【題目詳解】由ρ=8sinθ得x2+y直線tanθ=3的直角坐標方程為所以圓心到直線3x-y=0的距離為0-4故選：C【題目點撥】本題主要考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.2、C【解題分析】分析：先根據奇函數性質以及對稱性確定函數周期，再根據周期以及對應函數值求結果.詳解：因為是定義域為的奇函數，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．3、D【解題分析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】z=2i1-i=2i(1+i)【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．4、D【解題分析】

根據同角三角函數基本關系，得到，求解，再根據題意，即可得出結果.【題目詳解】因為，由同角三角函數基本關系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數基本關系即可，屬于常考題型.5、A【解題分析】該幾何體為一棱長為6的正方體掏掉一個棱長為2的小正方體，再放置進去一個半徑為1的球，所以體積為.故選A.6、D【解題分析】

根據題意，分2步進行分析：①把5個個參會國的人員分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2；由組合數公式可得分組的方法數目，②，將分好的三組對應三家酒店；由分步計數原理計算可得答案．【題目詳解】根據題意，分2步進行分析：

①、五個參會國要在a、b、c三家酒店選擇一家，且這三家至少有一個參會國入住，

∴可以把5個國家人分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2

當按照1、1、3來分時共有C53=10種分組方法；

當按照1、2、2來分時共有種分組方法；

則一共有種分組方法；

②、將分好的三組對應三家酒店，有種對應方法；

則安排方法共有種；

故選D．【題目點撥】本題考查排列組合的應用，涉及分類、分步計數原理的應用，對于復雜一點的計數問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決．7、D【解題分析】解：因為用反證法證明“如果a>b，那么>”假設的內容應是＝或<，選D8、D【解題分析】

由誘導公式，可求得的值，再根據誘導公式化簡即可．【題目詳解】根據誘導公式，所以而所以選D【題目點撥】本題考查了誘導公式在三角函數式化簡中的應用，屬于基礎題．9、A【解題分析】考點：條件概率與獨立事件．分析：本題要求條件概率，根據要求的結果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同時發生的概率，除以B發生的概率，根據等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到結果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故選A．10、B【解題分析】

列出循環過程中與的數值，滿足判斷框的條件即可結束循環.【題目詳解】解：模擬執行程序，可得：

，

不滿足條件，

不滿足條件，

滿足條件，退出循環，輸出的值為.

故選：B.【題目點撥】本題考查循環框圖的應用，考查了計算能力，注意判斷框的條件的應用，屬于基礎題.11、C【解題分析】

作出不等式對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，求目標函數的最大值即可．【題目詳解】畫出約束條件所表示的平面區域，如圖所示，由得到，平移直線，當過A時直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．【題目點撥】本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．12、A【解題分析】

求出直線的斜率，根據兩直線平行斜率的性質，可以求出所求直線的斜率，寫出點斜式方程，最后化為一般方程.【題目詳解】因為的斜率為2，所以所求直線的方程的斜率也為2，因此所求直線方程為，故本題選A.【題目點撥】本題考查了求過一點與已知直線平行的直線的方程.本題也可以這樣求解：與直線平行的直線可設為，過代入方程中，，所以直線方程為，一般來說，與直線平行的直線可設為；與直線垂直的直線可設為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

先求內層函數的值，解得函數值為2，再將2代入求值即可【題目詳解】當時，滿足對應的表達式，先求內層函數，當時，滿足對應的表達式，再求，所以【題目點撥】分段函數求值問題需注意先求解內層函數，再依次求解外層函數，每一個括號內對應的值都必須在定義域對應的區間內進行求值14、【解題分析】

化簡，令其實部為0，可得結果.【題目詳解】因為，且為純虛數，所以，即.【題目點撥】本題主要考查復數的除法運算以及復數為純虛數的等價條件.15、240【解題分析】試題分析：先涂（3）有5種方法，再涂（2）有4種方法，再涂（1）有3種方法，最后涂（4）有4種方法，所以共有5×4×3×4=240種涂色方法．考點：排列、組合.16、24【解題分析】甲、乙排在一起，用捆綁法，先排甲、乙、戊，有種排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有種排法，所以共有種．考點：排列組合公式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在上減，上增；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數的定義域以及導函數，由是的極值點可求出，即，對導函數再次求導，判斷導函數在上單調遞增，由，進而可求出函數的單調區間.（2）由，進而可得，記，研究函數的單調性，求出的最小值，進而可得證.【題目詳解】（1）解：的定義域為，，由，所以，又因為，所以在上單調遞增，注意到，所以在上減，上增.（2）由，所以,記，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以是的最小值點，，故.【題目點撥】本題考查了導函數的研究函數的單調性以及最值中的應用，需掌握極值點的定義，屬于中檔題.18、（1）3人，2人，2人；（2）分布列見解析，.【解題分析】

(1)由甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為，利用分層抽樣的方法，即可求得從甲、乙、丙三個部門的員工人數；(2)由題意，隨機變量的所有可能取值為，求得相應的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【題目詳解】(1)由題意知，某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，1，1，可得甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，所以應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)隨機變量的所有可能取值為，則，所以，隨機變量的分布列為0123所以隨機變量的數學期望．【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣的應用，以及離散型隨機變量的分布列與數學期望的求解，其中解答中認真審題，準確得到隨機變量的可能取值，求得相應的概率是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.19、（1）證明見解析（2）到平面的距離為【解題分析】

試題分析：（1）連結BD、AC相交于O，連結OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設BD交AC于點O，連結EO．因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．又E為PD的中點，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由題設易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設易知,得BC假設到平面的距離為d，又因為PB=所以又因為(或)，，所以考點：線面平行的判定及點到面的距離20、（Ⅰ），，，，，（Ⅱ）猜想：數列是遞減數列，證明見解析【解題分析】

（I）根據遞推公式，依次求得的值.（II）由（I）猜想數列是遞減數列.用數學歸納法證得結論成立.【題目詳解】解：（Ⅰ）由；由；由；由；由；（Ⅱ）由（Ⅰ）知猜想：數列是遞減數列.下面用數學歸納法證明：①當時，已證命題成立；②假設當時命題成立，即.易知，當時，即.也就是說，當時命題也成立.根據①②可知，猜想對任何正整數都成立.【題目點撥】本小題主要考查根據遞推公式求數列各項的值，考查數學歸納法證明數列的單調性，屬于中檔題.21、（1）；（2）萬元【解題分析】

（1）先求出樣本中心點及代入公式求得，再將代入回歸直線求得的值，可得線性回歸方程；（2）在（1）中求得的線性回歸方程中，取x＝10，求得y值得答案．【題目詳解】（1）由題表數據可得，由公式可得，即回歸方程是.（2）由（1）可得，當時，；即，使用年限為10年時所支出的年平均維修費用是萬元.【題目點撥】本題考查線性回歸方程，考查計算能力，是基礎題．22、（1）4（2）【解題分析】

（1）先求導，再根據導數和函