2024屆吉林省長春市一五0中學高二數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點為F2，若C的左支上存在點M，使得直線bx﹣ay＝0是線段MF2的垂直平分線，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．52．在下面的四個圖象中，其中一個圖象是函數的導數的圖象，則等于（）A． B． C．或 D．3．雙曲線x2A．y=±23x B．y=±44．已知曲線和曲線圍成一個葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．5．已知函數與的圖象如圖所示，則函數（）A．在區間上是減函數 B．在區間上是減函數C．在區間上減函數 D．在區間上是減函數6．已知O是的兩條對角線的交點．若，其中，則（）A．-2 B．2 C． D．7．下面推理過程中使用了類比推理方法，其中推理正確的是（）A．平面內的三條直線a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//b.類比推出：空間中的三條直線a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//bB．平面內的三條直線a,b,c，若a//c,b//c，則a//b.類比推出：空間中的三條向量a,b,cC．在平面內，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14.類比推出：在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1D．若a,b,c,d∈R，則復數a+bi=c+di?a=c,b=d.類比推理：“若a,b,c,d∈Q，則a+b28．已知變量，由它們的樣本數據計算得到的觀測值，的部分臨界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判斷正確的是（）A．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量有關系B．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量沒有關系C．有的把握說變量有關系D．有的把握說變量沒有關系9．若是離散型隨機變量，，，又已知，，則的值為（）A． B． C．3 D．110．下列說法中正確的是（）①相關系數用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于，相關性越弱；②回歸直線一定經過樣本點的中心；③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預報的精確度；④相關指數用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越好.A．①② B．③④ C．①④ D．②③11．有，，，四種不同顏色的花要（全部）栽種在并列成一排的五個區域中，相鄰的兩個區域栽種花的顏色不同，且第一個區域栽種的是顏色的花，則不同栽種方法種數為（）A．24 B．36 C．42 D．9012．歐拉公式(為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發明的，它將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，根據歐拉公式可知，表示的復數的虛部為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計算：______．14．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.15．已知兩點，，則以線段為直徑的圓的方程為_____________．16．底面是直角三角形的直棱柱的三視圖如圖，網格中的每個小正方形的邊長為1，則該棱柱的表面積是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正三棱錐中，側棱長和底邊長均為，點為底面中心.（1）求正三棱錐的體積；（2）求證：.18．（12分）在正項等比數列{}中，且成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若數列{}滿足，求數列{}的前項和．19．（12分）（遼寧省葫蘆島市2018年二模）直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)，在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標方程；（2）設圓與直線交于點，若點的坐標為，求的最小值.20．（12分）已知數列，的前n項和分別為，，，且.(1)求數列的前n項和；(2)求的通項公式.21．（12分）已知函數.（I）當時，求不等式的解集；（II）若不等式的解集為，求實數的值.22．（10分）已知函數.(1)若，求實數的取值范圍；(2)若存在使得不等式成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

設P為直線與的交點，則OP為的中位線，求得到漸近線的距離為b，運用中位線定理和雙曲線的定義，以及離心率的公式，計算可得所求值．【題目詳解】，直線是線段的垂直平分線，可得到漸近線的距離為，且，，，可得，即為，即，可得．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的中位線定理，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．2、D【解題分析】

先求導，根據二次函數性質確定導函數圖像，再求解.【題目詳解】因為導函數，所以導函數的圖像是開口向上的拋物線，所以導函數圖像是從左至右第三個，所以，又，即，所以，所以.故選D.【題目點撥】本題主要考查函數求導及二次函數的性質.3、D【解題分析】

依據雙曲線性質，即可求出。【題目詳解】由雙曲線x24-y29=1所以雙曲線x24-y2【題目點撥】本題主要考查如何由雙曲線方程求其漸近線方程，一般地雙曲線x2a2雙曲線y2a24、D【解題分析】

先作出兩個函數的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數的圖像如圖所示，聯立得交點（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查定積分的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、B【解題分析】分析：求出函數的導數，結合圖象求出函數的遞增區間即可．詳解：，

由圖象得：時，，

故在遞增，

故選：B．點睛：本題考查了函數的單調性問題，考查數形結合思想，考查導數的應用，是一道中檔題．6、A【解題分析】

由向量的線性運算，可得，即得解.【題目詳解】由于，故所以故選：A【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生數形結合，數學運算的能力，屬于基礎題.7、D【解題分析】

對四個答案中類比所得的結論逐一進行判斷，即可得到答案【題目詳解】對于A，空間中，三條直線a，b，c，若a⊥c，對于B，若b=0，則若a//b對于C，在平面上，正三角形的面積比是邊長比的平方，類比推出在空間中，正四面體的體積是棱長比的立方，棱長比為12，則它們的體積比為1對于D，在有理數Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正確綜上所述，故選D【題目點撥】本題考查的知識點是類比推理，解題的關鍵是逐一判斷命題的真假，屬于基礎題．8、A【解題分析】分析：根據所給的觀測值，對照臨界值表中的數據，即可得出正確的結論．詳解：∵觀測值，

而在觀測值表中對應于3.841的是0.05，

∴在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量有關系．

故選：A．點睛：本題考查了獨立性檢驗的應用問題，是基礎題．9、D【解題分析】分析：由期望公式和方差公式列出的關系式，然后變形求解．詳解：∵，∴隨機變量的值只能為，∴，解得或，∴．故選D．點睛：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解題關鍵是確定隨機變量只能取兩個值，從而再根據其期望與方差公式列出方程組，以便求解．10、D【解題分析】

運用相關系數、回歸直線方程等知識對各個選項逐一進行分析即可【題目詳解】①相關系數用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于，相關性越強，故錯誤②回歸直線一定經過樣本點的中心，故正確③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預報的精確度，故正確④相關指數用來刻畫回歸的效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故錯誤綜上，說法正確的是②③故選【題目點撥】本題主要考查的是命題真假的判斷，運用相關知識來進行判斷，屬于基礎題11、B【解題分析】分析：可以直接利用樹狀圖分析解答.詳解：這一種有12種，類似AC,各有12種，共36種，故答案為：B.點睛：(1)本題主要考查排列組合，考查計數原理，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題可以利用排列組合解答，分類討論比較復雜.也可以利用樹狀圖解答，比較直觀.12、C【解題分析】

先由題意得到，進而可求出結果.【題目詳解】由題意可得：，所以虛部為.故選C【題目點撥】本題主要考查復數的應用，熟記復數的概念即可，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將變為，然后利用組合數性質即可計算出所求代數式的值.【題目詳解】，.故答案為：.【題目點撥】本題考查組合數的計算，利用組合數的性質進行計算是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.14、【解題分析】

畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉移到一個三角形內求解角度即可.【題目詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【題目點撥】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經過平行線的轉換構成三角形求角度,屬于基礎題型.15、【解題分析】

根據中點坐標公式求圓心為（1，1），求兩點間距離公式求AB的長并得出半徑為，寫出圓的標準方程即可。【題目詳解】直徑的兩端點分別為（0，1），（1，0），∴圓心為（1，1），半徑為，故圓的方程為（x﹣1）1+（y﹣1）1=1．故答案為：（x﹣1）1+（y﹣1）1=1．【題目點撥】在確定圓的方程時，選擇標準方程還是一般方程需要靈活選擇，一般情況下易于確定圓或半徑時選擇標準方程，給出條件是幾個點的坐標時，兩種形式都可以。此題選擇標準形式較簡單。16、【解題分析】

根據三視圖,畫出空間幾何體,即可求得表面積.【題目詳解】根據三視圖可知該幾何體為三棱柱,畫出空間結構體如下:該三棱柱的高為2,上下底面為等腰直角三角形,腰長為所以上下底面的面積為側面積為所以該三棱柱的表面積為故答案為:【題目點撥】本題考查由三視圖還原空間結構體,棱柱表面積的求法,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）連接，根據題意得到底面，，求出，再由三棱錐的體積公式，即可求出結果；（2）取的中點為，連接，，得到，，根據線面垂直的判定定理，得到平面，進而可得出結果.【題目詳解】（1）連接，因為在正三棱錐中，側棱長和底邊長均為，點為底面中心，所以底面，，因此；所以正三棱錐的體積；（2）取的中點為，連接，，因為在正三棱錐中，側棱長和底邊長均為，所以，，又，平面，平面，所以平面；又平面，因此.【題目點撥】本題主要考查求三棱錐的體積，以及證明線線垂直，熟記棱錐的體積公式，以及線面垂直的判定定理與性質定理即可，屬于常考題型.18、(1)(2)【解題分析】

(1)根據已知條件且可解得公比,再代入通項公式即可得到;(2)利用錯位相減法可求得.【題目詳解】設正項等比數列{an}的公比為(,（1）∵∴,所以∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.【題目點撥】本題考查了等比數列的通項公式的求法,考查了等差中項,考查了利用錯位相減法求和,本題屬于基礎題.19、（1）（2）.【解題分析】分析：（1）將兩邊同乘，根據直角坐標與極坐標的對應關系得出直角坐標方程；

（2）將直線的參數方程代入圓的普通方程，根據參數的幾何意義與根與系數的關系得出．詳解：（1）由，化為直角坐標方程為，即（2）將l的參數方程帶入圓C的直角坐標方程，得因為，可設，又因為（2，1）為直線所過定點，所以點睛：本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的轉化，參數方程的幾何意義與應用，屬于基礎題．20、（1）（2）【解題分析】

（1）先將表示為，然后利用裂項求和法可求出；（2）先求出數列的前項和，于是得出，然后利用作差法可求出數列的通項公式．【題目詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以.當時.；當時，.故【題目點撥】本題考查裂項法求和以及作差法求數列的通項公式，求通項要結合遞推式的結構選擇合適的方法求數列通項，求和則需考查數列通項的結構合理選擇合適的求和方法進行計算，屬于常考題．21、（I）或；（II）