2024屆甘肅省金昌市永昌縣第四中學數學高二下期末學業水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則的最大值為（）A．1 B． C． D．2．若復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數為 D．為純虛數3．以雙曲線的焦點為頂點，離心率為的雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．4．若曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，則實數的值為（）A． B． C． D．5．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．6．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數R2如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關指數R2為0.98 B．模型2的相關指數R2為0.80C．模型3的相關指數R2為0.50 D．模型4的相關指數R2為0.257．下列說法中，正確說法的個數是（）①在用列聯表分析兩個分類變量與之間的關系時，隨機變量的觀測值越大，說明“A與B有關系”的可信度越大②以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3③已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若，，，則A．0 B．1 C．2 D．38．已知的二項展開式中含項的系數為，則()A． B． C． D．9．中國鐵路總公司相關負責人表示，到2018年底，全國鐵路營業里程達到13.1萬公里，其中高鐵營業里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程與年價正相關C．2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程數依次成等差數列10．如果點位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．甲、乙、丙三位同學站成一排照相，則甲、丙相鄰的概率為（）A． B． C． D．12．在△ABC中內角A，B，C所對各邊分別為，，，且，則角=A．60° B．120° C．30° D．150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設O是原點，向量對應的復數分別為那么，向量對應的復數是．14．有個元素的集合的3元子集共有20個，則=_______.15．已知函數若存在互不相等實數有則的取值范圍是______.16．若，分別是橢圓：短軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于，的任意一點，若直線與直線的斜率之積為，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦距為4，且過點．（1）求橢圓的方程（2）設橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．18．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個小組中隨機抽取10名學生參加問卷調查.各組人數統計如下：（1）從參加問卷調查的10名學生中隨機抽取兩名，求這兩名學生來自同一個小組的概率；（2）在參加問卷調查的10名學生中，從來自甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取兩名，用表示抽得甲組學生的人數，求的分布列和數學期望.19．（12分）已知函數，集合.（1）當時，解不等式；（2）若，且，求實數的取值范圍；（3）當時，若函數的定義域為，求函數的值域.20．（12分）如圖所示的幾何，底為菱形，，.平面底面，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）某學生社團對本校學生學習方法開展問卷調查的過程中發現，在回收上來的1000份有效問卷中，同學們背英語單詞的時間安排有兩種：白天背和晚上臨睡前背．為研究背單詞時間安排對記憶效果的影響，該社團以5%的比例對這1000名學生按時間安排進行分層抽樣，并完成一項試驗，試驗方法是：使兩組學生記憶40個無意義音節（如xiq,geh),均要求剛能全部記清就停止識記，并在8小時后進行記憶測驗．不同的是，甲組同學識記結束后一直不睡覺，8小時后測驗；乙組同學識記停止后立刻睡覺，8小時后叫醒測驗．兩組同學識記停止8小時后的準確回憶（保持）情況如圖（區間含左端點不含右端點）．（1）估計1000名被調查的學生中識記停止8小時后40個音節的保持率大于或等于60%的人數；（2）從乙組準確回憶個數在MNmax（3）從本次試驗的結果來看，上述兩種時間安排方法中哪種方法背英語單詞記憶效果更好？計算并說明理由．22．（10分）甲、乙兩企業生產同一種型號零件，按規定該型號零件的質量指標值落在內為優質品.從兩個企業生產的零件中各隨機抽出了件，測量這些零件的質量指標值，得結果如下表：甲企業：分組頻數5乙企業：分組頻數55（1）已知甲企業的件零件質量指標值的樣本方差，該企業生產的零件質量指標值X服從正態分布，其中μ近似為質量指標值的樣本平均數（注：求時，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表），近似為樣本方差，試根據企業的抽樣數據，估計所生產的零件中，質量指標值不低于的產品的概率.（精確到）（2）由以上統計數據完成下面列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個企業生產的零件的質量有差異.甲廠乙廠總計優質品非優質品總計附：參考數據：，參考公式：若，則，，；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

直接使用基本不等式，可以求出的最大值.【題目詳解】因為，，，所以有，當且僅當時取等號，故本題選D.【題目點撥】本題考查了基本不等式的應用，掌握公式的特征是解題的關鍵.2、D【解題分析】

將復數整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.【題目詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數，正確本題正確選項：【題目點撥】本題考查復數的模長、實部與虛部、共軛復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.3、D【解題分析】

由題求已知雙曲線的焦點坐標，進而求出值即可得答案。【題目詳解】由題可知雙曲線的焦點坐標為，則所求雙曲線的頂點坐標為，即，又因為離心率為，所以，解得，所以，即，所以漸近線方程是故選D【題目點撥】本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題的關鍵是判斷出焦點位置后求得，屬于簡單題。4、A【解題分析】分析：設公共點，求導數，利用曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設公共點，，，曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，，解得.故選：A.點睛：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查學生的計算能力，正確求導是關鍵.5、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.詳解：根據向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.6、A【解題分析】解：因為回歸模型中擬合效果的好不好，就看相關指數是否是越接近于1，月接近于1，則效果越好．選A7、D【解題分析】

對題目中的三個命題判斷正誤，即可得出結論．【題目詳解】解：對于①，分類變量A與B的隨機變量K2越大，說明“A與B有關系”的可信度越大，①正確；對于②，以模型y＝cekx去擬合一組數據時，設z＝lny，由y＝cekx，兩邊取對數，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，又z＝0.3x+4，∴lnc＝4，k＝0.3，c＝e4，②正確；對于③，根據回歸直線方程為y＝a+bx，，∴ab3﹣2×1＝1，∴③正確；綜上，正確的命題為①②③，共3個．故選：D．【題目點撥】本題考查了回歸方程，對數的運算性質，隨機變量K2的概念與應用問題，是基礎題．8、C【解題分析】分析：先根據二項式定展開式通項公式求m,再求定積分.詳解：因為的二項展開式中，所以,因此選C.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.9、D【解題分析】

由折線圖逐項分析即可求解【題目詳解】選項，顯然正確；對于，，選項正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數列，故錯.故選：D【題目點撥】本題考查統計的知識，考查數據處理能力和應用意識,是基礎題10、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關鍵要結合已知條件判斷出角的三角函數值的符號，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.11、C【解題分析】分析：通過枚舉法寫出三個人站成一排的所有情況，再找出其中甲、丙相鄰的情況，由此能求出甲、丙相鄰的概率.詳解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6種，其中甲、丙相鄰有4種，所以，甲、丙相鄰的概率為.故選C.點睛：本題考查古典概型的概率的求法，解題時要注意枚舉法的合理運用.12、A【解題分析】分析：利用余弦定理即可。詳解：由余弦定理可知，所以。點睛：已知三邊關系求角度，用余弦定理。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】解：因為=（2+3,-3-2）=（5,-5），所以向量對應的復數是5-5i14、6【解題分析】

在個元素中選取個元素共有種，解=20即可得解.【題目詳解】在個元素中選取個元素共有種，解=20得，故答案為6.【題目點撥】本題考查了組合數在集合中的應用，屬于基礎題.15、【解題分析】

不妨設，根據二次函數對稱性求得的值.根據絕對值的定義求得的關系式，將轉化為來表示，根據的取值范圍，求得的取值范圍.【題目詳解】不妨設，畫出函數的圖像如下圖所示.二次函數的對稱軸為，所以.不妨設，則由得，得，結合圖像可知，解得，所以，由于在上為減函數，故.【題目點撥】本小題主要考查分段函數的圖像與性質，考查二次函數的圖像，考查含有絕對值函數的圖像，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.16、2【解題分析】

設點坐標為，則．由題意得，解得．答案：2點睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．解題時要注意橢圓本身所含的一些范圍的應用，如橢圓上的點的橫坐標等．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在直線滿足題設條件,詳見解析【解題分析】

（1）由已知列出關于，，的方程組，解得，，，寫出結果即可；（2）由已知可得，，．所以，因為，所以可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．設，，，，由根與系數的關系寫出兩根之和和兩根之積的表達式，再由垂心的性質列出方程求解即可．【題目詳解】（1）由已知可得，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）由已知可得，，∴.∵，∴可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，得.設，則，∵.即∵即，∵∴或.由，得又時，直線過點，不合要求，∴，故存在直線滿足題設條件.【題目點撥】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系應用，以及垂心的定義應用。意在考查學生的數學運算能力。18、(1)；(2)答案見解析.【解題分析】試題分析：（1）從參加問卷調查的10名學生中隨機抽取兩名的取法共有種，來自同一小組的取法共有，所以.（2）的可能取值為0，1，2，，，，寫出分布列，求出期望．試題解析：（1）由已知得，問卷調查中，從四個小組中抽取的人數分別為3，4，2，1，從參加問卷調查的10名學生中隨機抽取兩名的取法共有種，這兩名學生來自同一小組的取法共有，所以.（2）由（1）知，在參加問卷調查的10名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數分別為3，2.的可能取值為0，1，2，，，.∴的分布列為：.19、（1）；（2）；（3）當時，的值域為；當時，的值域為；當時，的值域為．【解題分析】分析：（1）先根據一元二次方程解得ex＞3，再解對數不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根據，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用變量分離法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根據二次函數性質求最值得結果,（3）先轉化為對勾函數，再根據拐點與定義區間位置關系，分類討論，結合單調性確定函數值域.詳解：（1）當a＝－3時，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3)(ex＋1)＞0，所以ex＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集為(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因為A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.由0≤x≤1得1≤ex≤e，所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）設t＝ex，由（2）知1≤t≤e，記g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，則，t(1，)(，＋∞)g′(t)－0＋g(t)↘極小值↗①當≥e時，即a≥e2時，g(t)在1≤t≤e上遞減，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域為.②當1＜＜e時，即1＜a＜e2時，g(t)min=g()＝2－1，g(t)max=max{g(1)，g(e)}=max{a，}．1°若a，即e＜a＜e2時，g(t)max=g(1)=a；所以f(x)的值域為；2°若a，即1＜a≤e時，g(t)max=g(e)=，所以f(x)的值域為．綜上所述，當1＜a≤e時，f(x)的值域為；當e＜a＜e2時，f(x)的值域為；當a≥e2時，f(x)的值域為．點睛：不等式有解是含參數的不等式存在性問題時，只要求存在滿足條件的即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的對立面（如的解集是空集，則恒成立）)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉化為最值問題，即恒成立?，恒成立?.20、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）推導出，從而平面，進而.再由，得平面，推導出，從而平面，由此能證明平面平面；

（2）取中點G，從而平面，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【題目詳解】解：（1）由題意可知，又因為平面底面，所以平面，從而.因為，所以平面，易得，，，所以，故.又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）取中點G，，相交于點O，連結，易證平面，故、、兩兩垂直，以O為坐標原點，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.由（1）可得平面的法向量為.設平面的法向量為，則即令，得，所以.從而，故二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.21、（1）180；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

（1）利用頻率分布直方圖能求出1000名被調查的學生中識記停止8小時后40個音節保持率大于等于60%的人數；（2）由題意知X的可能取值為0,1,（3）分別求出甲組學生的平均保持率和乙組學生的平均保持率，由此得到臨睡前背英語單詞的效果更好.【題目詳解】（1）因為1000×5%=50，由圖可知，甲組有4+10+8+4+2+1+1=30（人）所以乙組有20,人，又因為40×60%=24，所以識記停止8小時后，40個音節的保持率大于或等