2024屆河南南陽市數學高二下期末學業質量監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數等于（）A． B． C．0 D．2．點是橢圓上的一個動點,則的最大值為(

)A． B． C． D．3．曲線在點處的切線的斜率為（）A． B． C． D．4．隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數的期望為（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．25．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A．-2 B．-1 C．2 D．46．已知函數，在區間內任取兩個實數，，且，若不等式恒成立，則實數的取值范圍是A． B． C． D．7．已知隨機變量服從正態分布，若，則（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.38．在直角坐標系中，一個質點從出發沿圖中路線依次經過，，，，按此規律一直運動下去，則（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．已知函數，且，則曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．10．已知是定義在上的可導函數，的圖象如圖所示，則的單調減區間是（）A． B． C． D．11．六位同學排成一排，其中甲和乙兩位同學相鄰的排法有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種12．設，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，滿足如下條件：①第行首尾兩數均為；②表中的遞推關系類似“楊輝三角”.則第行的第2個數是__________．14．設非空集合為實數集的子集，若滿足下列兩個條件：（1），；（2）對任意，都有，，，則稱為一個數域，那么命題：①有理數集是一個數域；②若為一個數域，則；③若，都是數域，那么也是一個數域；④若，都是數域，那么也是一個數域.其中真命題的序號為__________．15．已知等比數列的前項和，若，，則__________．16．在斜三棱柱中，底面邊長和側棱長都為2，若，，且，則的值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為了推動數學教學方法的改革，學校將高一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學，乙班實施教學方法改革.經過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班學生一年來的數學成績取平均數，兩個班學生的平均成績均在，按照區間，，，，進行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規定不低于80分(百分制)為優秀.完成表格，并判斷是否有以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”；(2)從乙班，，分數段中，按分層抽樣隨機抽取7名學生座談，從中選三位同學發言，記來自發言的人數為隨機變量，求的分布列和期望.18．（12分）[選修4-4：坐標系與參數方程]在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程；(2)若點的極坐標為，是曲線上的一動點，求面積的最大值．19．（12分）某大廈的一部電梯從底層出發后只能在第18,19,20層停靠．若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數，求：（1）隨機變量ξ的分布列；（2）隨機變量ξ的均值．20．（12分）已知函數，其中.（1）討論的單調性；（2）當時，恒成立，求的值；（3）確定的所有可能取值，使得對任意的，恒成立.21．（12分）已知，．當時，求的值；當時，是否存在正整數n，r，使得、、，依次構成等差數列？并說明理由；當時，求的值用m表示．22．（10分）（1）若展開式中的常數項為60，求展開式中除常數項外其余各項系數之和；（2）已知二項式（是虛數單位，）的展開的展開式中有四項的系數為實數，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

直接化簡得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點撥】本題考查了復數的化簡，屬于簡單題.2、A【解題分析】

設，由此，根據三角函數的有界性可得結果.【題目詳解】橢圓方程為,設,則(其中),故,的最大值為，故選A.【題目點撥】本題主要考查橢圓參數方程的應用，輔助角公式的應用，屬于中檔題.利用公式可以求出:①的周期;②單調區間（利用正弦函數的單調區間可通過解不等式求得）；③值域；④對稱軸及對稱中心（由可得對稱軸方程，由可得對稱中心橫坐標.3、B【解題分析】

求導后代入即可得出答案。【題目詳解】故選B【題目點撥】本題考查利用導函數求切線斜率。屬于基礎題。4、C【解題分析】

寫出分布列，然后利用期望公式求解即可．【題目詳解】拋擲骰子所得點數的分布列為123456所以．故選：．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．5、C【解題分析】分析：要先根據約束條件畫出可行域，再轉化目標函數，把求目標函數的最值問題轉化成求截距的最值問題詳解：如圖所示可行域：,故目標函數在點（2,0）處取得最大值，故最大值為2，故選C.點睛：本題考查線性規劃，須準確畫出可行域．還要注意目標函數的圖象與可行域邊界直線的傾斜程度（斜率的大小）．屬簡單題6、B【解題分析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=＞1在（1，2）內恒成立．分離參數后，轉化成a＞2x2+3x+1在（1，2）內恒成立．從而求解得到a的取值范圍．詳解：∵的幾何意義為：表示點（p+1，f（p+1））與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，∵實數p，q在區間（0，1）內，故p+1和q+1在區間（1，2）內．不等式＞1恒成立，∴函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率大于1，故函數的導數大于1在（1，2）內恒成立．由函數的定義域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1在（1，2）內恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）內恒成立．由于二次函數y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調增函數，故x=2時，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故選A．點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立，轉化為;（3）若恒成立，可轉化為.7、C【解題分析】分析：根據隨機變量ξ服從正態分布，得到正態曲線關于對稱，根據，得到對稱區間上的概率，從而可求．詳解：由隨機變量服從正態分布可知正態密度曲線關于軸對稱，

而，

則故，

故選：C．點睛：本題主要考查正態分布的概率求法，結合正態曲線，加深對正態密度函數的理解．8、D【解題分析】

分析：由題意得，即，觀察前八項，得到數列的規律，求出即可.詳解：由直角坐標系可知，，即，由此可知，數列中偶數項是從1開始逐漸遞增的，且都等于所在的項數除以2，則，每四個數中有一個負數，且為每組的第三個數，每組的第一個數為其組數，每組的第一個數和第三個數是互為相反數，因為，則，，故選D.點睛：本題考查了歸納推理的問題，關鍵是找到規律，屬于難題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規律的歸納.9、B【解題分析】

先對已知函數f(x)求導，由可得a的值，由此確定函數和其導函數的解析式，進而可得x=0處的切線方程。【題目詳解】，，解得，即，，則，，曲線在點處的切線方程為，即.【題目點撥】本題考查求函數某點處的切線方程，解題關鍵是先由條件求出函數f(x)中的未知量a。10、B【解題分析】分析：先根據圖像求出，即得，也即得結果.詳解：因為當時，，所以當時，，所以的單調減區間是，選B.點睛：函數單調性問題，往往轉化為導函數符號是否變號或怎樣變號問題，經常轉化為解方程或不等式.11、C【解題分析】分析：直接利用捆綁法求解.詳解：把甲和乙捆綁在一起，有種方法，再把六個同學看成5個整體進行排列，有種方法，由乘法分步原理得甲和乙兩位同學相鄰的排法有種.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查排列組合的應用，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相鄰問題，常用捆綁法，先把相鄰元素捆綁在一起，再進行排列.12、C【解題分析】

根據空間線面關系、面面關系及其平行、垂直的性質定理進行判斷．【題目詳解】對于A選項，若，，則與平行、相交、異面都可以，位置關系不確定；對于B選項，若，且，，，根據直線與平面平行的判定定理知，，，但與不平行；對于C選項，若，，在平面內可找到兩條相交直線、使得，，于是可得出，，根據直線與平面垂直的判定定理可得；對于D選項，若，在平面內可找到一條直線與兩平面的交線垂直，根據平面與平面垂直的性質定理得知，只有當時，才與平面垂直．故選C．【題目點撥】本題考查空間線面關系以及面面關系有關命題的判斷，判斷時要根據空間線面、面面平行與垂直的判定與性質定理來進行，考查邏輯推理能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

歸納前幾行的第二個數，發現，第行的第2個數可以用來表示，化簡上式由此可以得到答案．【題目詳解】由圖表可知第行的第2個數為：．故答案為：．【題目點撥】本題是一道找規律的題目，考查歸納推理，掌握歸納推理找規律的方法是解題的關鍵．14、①②③④【解題分析】分析：根據“數域”的定義，對四個結論逐一驗證即可，驗證過程一定注意“照章辦事”，不能“偷工減料”.詳解：，則①正確；對于②，若是一個數域，則，于是任何一個分數，都可以構造出來，即，②正確；對于③，，③正確；定義④，④正確，故答案為①②③④.點睛：本題考查集合與元素的關系，以及新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.15、8【解題分析】

利用求解.【題目詳解】，則.故答案為：8【題目點撥】本題主要考查等比數列的性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.16、4【解題分析】

根據向量線性運算分別表示出,結合向量數量積運算即可求解.【題目詳解】根據題意,畫出空間幾何體如下圖:,,,且,且底面邊長和側棱長都為2則,所以故答案為:4【題目點撥】本題考查了空間向量的線性運算和數量積的應用,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有90%以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”.(2)分布列見解析.【解題分析】試題分析：（1）依題意得，則有90%以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”.（2）由題意可得隨機變量的所有可能取值為且，據此可得分布列，計算數學期望.試題解析：（1）依題意得有90%以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”（2）從乙班分數段中抽人數分別為2，3，2依題意隨機變量的所有可能取值為，則分布列：所以18、(1);(2).【解題分析】分析：（1）消去參數可以求出曲線C的普通方程，由，，能求出曲線的極坐標方程；（2）解法一：極坐標法.設動點極坐標為，由正弦定理得的表達式，確定最大值.解法二：幾何法.過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點.以為底邊計算，將最大值，轉化為底邊上的高最大值問題，由圓的性質，易得當點M與點P重合時，高時取得最大值，由銳角的三角函數得，，，即可求出面積的最大值．解法三：與解法二相同，最大值時，由勾股定理求得.解法四：與解法二相同，最大值時，由圓心到之間距離計算.詳解：解：（1）∵曲線的參數方程為（為參數），∴消去參數得，即∵，，∴曲線的極坐標方程為即.（2）解法一：設點的極坐標為且，∴當且僅當即時，的最大值為（2）解法二：∵點、在圓上∴過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點則如圖所示,（2）解法三：∵點、在圓上∴過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點則下同解法二（2）解法四：∵點、在圓上∴過圓心作直線的垂線交圓于、兩點，交于點∵直線的方程為：∴點到直線的距離下同解法二點睛：本題考查參數方程、普通方程和極坐標方程的轉換方法，考查三角形面積最大值的求法，考查運算求解能力和數形結合思想，考查函數與方程思想.19、(1)見解析；(2)【解題分析】

（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．【題目詳解】（1）考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗，故，即有，.由此可得的分布列為012345（2），.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的合理運用．20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）（3）【解題分析】

（1）求出導函數，通過當時，當時，判斷函數的單調性即可．

（2）由（1）及知所以，令，利用導數求出極值點，轉化求解．

（3）記，則，說明，由（2），，所以利用放縮法，轉化求解即可．．【題目詳解】解：（1）當時，函數在上單調遞減當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增（2）由（1）及知所以令，則，所以，且等號當且僅當時成立若當時，恒成立，則（3）記則又，故在的右側遞增，，由（2），，所以當時，綜上的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路：當函數是增函數時，導數大于等于