同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件D23-高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在微分方程中的應(yīng)用習(xí)題與解答contents目錄01高階導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$存在，那么稱$f'(x_0)$為函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的一階導(dǎo)數(shù)。類似地，如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x_0)$存在，那么稱$f''(x_0)$為函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的二階導(dǎo)數(shù)。以此類推，可以定義更高階的導(dǎo)數(shù)。定義一階導(dǎo)數(shù)通常用$f'(x)$或$y'$表示，二階導(dǎo)數(shù)用$f''(x)$或$y''$表示，三階導(dǎo)數(shù)用$f'''(x)$或$y'''$表示，以此類推。符號(hào)表示高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)如果$u(x)$和$v(x)$可導(dǎo)，且$lambda,muinmathbb{R}$，那么$lambdau(x)+muv(x)$的導(dǎo)數(shù)為$lambdau'(x)+muv'(x)$。鏈?zhǔn)椒▌t如果函數(shù)$u(x)$可導(dǎo)，而函數(shù)$f(u)$在點(diǎn)$u_0$處可微，那么復(fù)合函數(shù)$f(u(x))$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，且$(fcircu)'(x_0)=f'(u_0)cdotu'(x_0)$。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)$(x^n)'=nx^{n-1}$，特別地，當(dāng)$n=0$時(shí)，$(x^0)'=0$。線性性質(zhì)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)的變化率一階導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)值隨自變量變化的速率，二階導(dǎo)數(shù)描述一階導(dǎo)數(shù)的變化速率，以此類推。極值判定定理如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x_0)>0$，則函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取極小值；如果二階導(dǎo)數(shù)$f''(x_0)<0$，則函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取極大值。泰勒展開式一個(gè)函數(shù)可以用其在某一點(diǎn)的泰勒展開式來逼近，高階導(dǎo)數(shù)決定了函數(shù)的逼近精度。010203高階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系02高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法總結(jié)詞通過重復(fù)求導(dǎo)來計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)描述直接法是計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的基本方法，通過重復(fù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義，對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，直到得到所需階數(shù)的導(dǎo)數(shù)。直接法乘積法則總結(jié)詞適用于計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的乘積的高階導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)描述乘積法則指出，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的乘積，其高階導(dǎo)數(shù)等于兩個(gè)函數(shù)各自的高階導(dǎo)數(shù)之和，即`(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+u^{(n-1)}v'+...+uv^{(n)}`。總結(jié)詞適用于計(jì)算復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)描述鏈?zhǔn)椒▌t是計(jì)算復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，其基本思想是利用已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)來計(jì)算復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。具體地，若$y=f(u)$，其中$u=g(x)$，則$y^{(n)}=f^{(n)}(u)cdotg^{(n)}(x)$。鏈?zhǔn)椒▌t總結(jié)詞利用反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)描述對(duì)于反函數(shù)，其高階導(dǎo)數(shù)可以通過原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算得到；對(duì)于復(fù)合函數(shù)，可以利用鏈?zhǔn)椒▌t和乘積法則來計(jì)算其高階導(dǎo)數(shù)。同時(shí)，需要注意處理函數(shù)內(nèi)部的變量替換和求導(dǎo)順序的問題。反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)03高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用判斷函數(shù)的單調(diào)性高階導(dǎo)數(shù)可以用于判斷函數(shù)的單調(diào)性。總結(jié)詞通過求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果二階導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果二階導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。詳細(xì)描述VS高階導(dǎo)數(shù)可以用于求解函數(shù)的極值。詳細(xì)描述函數(shù)的極值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為0，而二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定了極值點(diǎn)的性質(zhì)。如果二階導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在極值點(diǎn)處取得極小值；如果二階導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在極值點(diǎn)處取得極大值。總結(jié)詞求解函數(shù)的極值高階導(dǎo)數(shù)可以用于判斷函數(shù)的拐點(diǎn)。函數(shù)的拐點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都為0，而三階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定了拐點(diǎn)的性質(zhì)。如果三階導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在拐點(diǎn)處從凹函數(shù)變?yōu)橥购瘮?shù)；如果三階導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在拐點(diǎn)處從凸函數(shù)變?yōu)榘己瘮?shù)。總結(jié)詞詳細(xì)描述判斷函數(shù)的拐點(diǎn)04高階導(dǎo)數(shù)在微分方程中的應(yīng)用分離變量法通過將方程中的變量分離，將一階微分方程轉(zhuǎn)化為可解的代數(shù)方程或積分方程。積分因子法通過引入積分因子，將一階微分方程轉(zhuǎn)化為可解的積分方程。線性化法將非線性一階微分方程轉(zhuǎn)化為線性微分方程，然后利用線性微分方程的解法求解。求解一階微分方程通過將二階微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一階微分方程，然后分別求解。降階法通過尋找特征值和特征函數(shù)，將二階微分方程轉(zhuǎn)化為可解的代數(shù)方程或積分方程。特征值法通過引入?yún)?shù)，將二階微分方程轉(zhuǎn)化為可解的參數(shù)微分方程。參數(shù)法求解二階微分方程遞推法求解高階微分方程通過遞推關(guān)系式，將高階微分方程轉(zhuǎn)化為多個(gè)一階或二階微分方程，然后分別求解。分解法將高階微分方程分解為多個(gè)低階微分方程，然后分別求解。利用數(shù)值計(jì)算方法，如歐拉法、龍格-庫(kù)塔法等，求解高階微分方程的近似解。近似法05習(xí)題與解答判斷下列函數(shù)哪些是n階可導(dǎo)的，并求出其n階導(dǎo)數(shù)$f(x)=x^{2}+sinx$習(xí)題習(xí)題01$g(x)=lnx$02$h(x)=begin{cases}x^{2},&xleq12x,&x>1end{cases}$求函數(shù)$f(x)=x^{3}$的5階導(dǎo)數(shù)。03習(xí)題利用高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)$f(x)=frac{1}{x}$的n階導(dǎo)數(shù)。求函數(shù)$f(x)=frac{1}{x}$在點(diǎn)$x=2$處的6階導(dǎo)數(shù)值。123判斷下列函數(shù)哪些是n階可導(dǎo)的，并求出其n階導(dǎo)數(shù)$f(x)=x^{2}+sinx$是n階可導(dǎo)的。答案與解析答案與解析n階導(dǎo)數(shù)為：$f^{(n)}(x)=2^nx^{2n-1}+\cosx$。$g(x)=lnx$n階導(dǎo)數(shù)為：$g^{(n)}(x)=frac{1}{x}cdotfrac{1}{(n-1)!}$。是n階可導(dǎo)的。答案與解析答案與解析$h(x)=\begin{cases}x^{2},&x\leq1\2x,&x>1\end{cases}$010203不是n階可導(dǎo)的，因?yàn)槠湓趚=1處不連續(xù)。求函數(shù)$f(x)=x^{3}$的5階導(dǎo)數(shù)$f^{(5)}(x)=30x^{2}$。答案與解析02030401答案與解析利用高階導(dǎo)數(shù)