小波變換理論及其在電力系統中的應用1小波變換的根底理論小波變換主要是用于信號處理。信號處理的任務之一是認識客觀世界中存在的信號的本質特征，并找出規律。“橫看成嶺側成峰，遠近上下各不同〞。從不同的角度去認識、分析信號有助于了解信號的本質特征。信號變換就是尋求對信號的另一種表示方法，使得比擬復雜的，特征不夠明確的信號在變換之后形式變得簡單，特征明確。信號最初是以時間〔空間〕的形式來表達的。除了時間以外，頻率是一種表示信號特征最重要的方式。頻率的表示方法是建立在傅里葉分析〔FourierAnalysis〕根底之上的。由于傅里葉分析是一種全局的變換，要么完全在時間域，要么完全在頻率域，因此無法表述信號的時頻局部性質，而時頻局部性質恰好是非平穩信號最根本和最關鍵的性質。為了分析和處理非平穩信號，在傅里葉分析理論根底上，提出并開展了一系列新的信號分析理論：短時傅里葉變換或加窗傅里葉變換。1.1傅立葉變換長期以來，傅立葉變換是信號處理的一個重要數學工具。特別是對于平穩信號的處理，把周期變化的信號表示成一組具有不同頻率的正弦信號疊加。通過傅立葉變換，在時域中連續變化的信號變換到頻域中，因此是一種純頻域的分析方法。傅立葉變換表示為：圖1隨機信號圖1是一個隨機信號，圖2是進行了傅立葉變換之后的頻譜圖。傅立葉譜線是信號頻率統計特征，從表達式也可以看出，他是整個時間域內的積分，沒有局局部析信號的功能，傅立葉譜圖中完全不包含時域信息。也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這一頻率在何時產生，這就是信號分析中面臨的一個根本矛盾：時域和頻域局部化的矛盾。尤其是對于非平穩信號。圖2傅立葉變換頻譜圖1.2加窗傅立葉變換然而對于突變的，不穩定的信號，我們感興趣的不止是該信號的頻率，尤其關心在不同時間的頻率。也就是說要用時間和頻率兩個信號來刻畫該信號，這樣顯然傅立葉變換是無能為力的。因此出現了加窗傅立葉變換。時時間窗時間幅度假定非平穩信號f(t)在分析窗g〔t〕一個短時間間隔內是平穩的，移動窗函數，使f(t)*g(t-T)在不同的時間段內是平穩信號，進而分析它的頻率特性。其作用相當于在t=T處開了一個窗口，然后對整個時間域內進行傅立葉變換。就相當于透過窗口觀察原始信號。然而，加窗傅立葉變換只有一個固定的窗函數，窗函數一旦確定了以后，其形狀就不再發生改變，這就大大制約了它在實際信號分析中的應用。1.3小波變換實際的信號是由多種頻率分量組成的，當信號鋒利變化時，需要一個較短的時間窗為其提供更多的頻率信息。而當信號變化平穩時，需要一個長的時間窗用來描述信號的整體行為。這就導致了小波變換的出現，小波分析是傅立葉分析深入分析開展的里程碑。小波變換在非平穩信號分析中具有獨特的優勢在于它可以有靈活可變的時頻窗口，以適應不同頻率分辨率的要求，在時域和頻域都具有表征信號局部特征的能力，形象的說小波變換具有“變焦〞的功能，因此常被稱為“數學顯微鏡〞小波基函數表示為：，小波基函數具有波動的特性，在原點附近的波動明顯偏離水平軸，在遠離原點的地方函數值將迅速衰減為0，整個波動趨于平穩。而對于某一信號函數的小波變換定義為：圖3小波基函數變化通過圖3可以看出，改變a可以對小波函數進行伸縮變換，改變b可以實現小波函數的平移。從而實現通過改變系數a,b的大小，使小波函數在整個時間域內完成計算。圖4是連續小波變換的示意圖。圖4連續小波變換示意圖1.4小波變換的多分辨多尺度分析多分辨分析原理與人類的視覺方式十分接近，例如我們站在月球上看地球，只能看到地球上大概輪廓和地球上凸出的建筑物〔例如中國的萬里長城等〕，這就是高頻邊緣的提取：當我們站在地球上看地球時，一草一木清晰可辨，然而不能看見整體，這就是低頻分析。小波可以進行多分辨多尺度分析圖5多分辨分析示意圖將信號在小波基函數上投影，高頻局部為D，低頻局部A，相當于用濾波器給原始信號濾波，得到高頻和低頻分量，然后再進一步應用濾波器，得到更精確的信息。最后可以通過小波重構得到原始信號。S＝A1+D1=A2+D2+D1=……圖6為對一隨機信號s進行多分辨分析的示意圖。在圖中高頻局部為d，低頻局部a，對應著相應的細節和整體的概念。最后也可以通過小波重構得到原始信號S。也可以通過分析得到相應包含的各個頻率的諧波成分。圖6隨即信號的多分辨分析2小波變換在電力系統的應用小波變換已經在各個學科中得到了廣泛的應用，主要是用于信號處理。在地質學，控制理論，圖象學，醫學等很多方面得到應用。這里主要介紹小波變換在電力系統中的應用。2.1輸電線路故障診斷輸電線路容易發生故障發生故障后暫態行波中包含了豐富的故障信息故障點，故障相，故障距離，故障方向等。精確的故障定位為現場人員提供及時可靠的信息，加快線路修復，減小經濟損失。然而這種故障信號都是非平穩信號，這樣依據傳統的傅立葉變換很難得到故障的信息。圖7為對一故障信號進行六層小波分析，再進行重構，第三圖進行放大，可以看出故障發生的時間與預先設定的仿真時間相差不多。可以得到所需要的結果。圖7故障信號六層小波變換2.2諧波檢測諧波檢測的原理為對于一個任意函數x〔t〕都可以表示為不同頻率的正弦函數的和。對于平穩信號，傅立葉變換分析完全能滿足要求，然而諧波多是不平穩信號，所以采用小波變換進行分析。下面是采用傅立葉變換和小波變換進行比擬的圖：仿真輸入信號為：可以看出u(t)含有3、5和7次諧波，原始信號波形如圖8下：圖8原始信號波形通過傅立葉變換后波形見圖9：圖9傅立葉變換波形通過小波變換后波形見圖10：圖10傅立葉變換波形通過上面這個例子可以看出，小波分析可以得到諧波頻率，有效值，相位，同時表達頻域和時域的特征。而傅立葉變換只能從整體上表達信號出現的諧波，而不能表達出信號在時域方面的信息。下面是對某一電流信號應用小波變換進行諧波檢測的例子。對圖11電流信號，取尺度j=3，在matlab下用db4小波進行多尺度一維小波分解，并將各尺度下的低頻和高頻系數重構，那么可得到圖11所示的小波變換多尺度特性。其中，參數d對應的是高頻系數，相應的頻率分別為d1：400～800Hz；d2：200～400Hz；d3：100～200Hz。參數a對應的是低頻系數。相應頻帶分別是a1：0～400Hz；a2：0～200Hz；a3：0～100Hz。由圖11可以看出，通過d2，d3和a3可將原始信號〔電網畸變電流〕中的五次諧波、三次諧波和基波電流分量有效地區分出來，從而實現了利用小波變換進行諧波電流檢測的目的。圖11小波變換