福建省永春一中2024屆數學高一第二學期期末監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數列中，若，，則（）A． B．1 C． D．2．下列說法不正確的是（）A．圓柱的側面展開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．平行于圓臺底面的平面截圓臺，截面是圓面D．直角三角形繞它的一邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐3．已知直線l1：ax＋2y＋8＝0與l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，則實數a的取值是（）A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．24．函數圖象的一條對稱軸在內，則滿足此條件的一個值為（）A． B． C． D．5．關于的方程在內有相異兩實根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知函數，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④7．在中，角所對的邊分別為,若的面積，則()A． B． C． D．8．函數f(x)=x，g(x)=x2-x+2，若存在x1,x2A．12 B．22 C．23 D．329．若是的重心，，，分別是角的對邊，若，則角（）A． B． C． D．10．設等比數列的前項和為，若，公比，則的值為（）A．15 B．16 C．30 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列滿足，，則______．12．在中，是斜邊的中點，，，平面，且，則_____．13．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為__________.14．若圓:與圓:相交于，兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則公共弦的長度是______.15．設向量滿足，，，．若，則的最大值是________．16．設向量與向量共線，則實數等于__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數列中，，，且；（1）設，證明是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項；18．如圖半圓的直徑為4，為直徑延長線上一點，且，為半圓周上任一點，以為邊作等邊（、、按順時針方向排列）（1）若等邊邊長為，，試寫出關于的函數關系；（2）問為多少時，四邊形的面積最大？這個最大面積為多少？19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，底面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的余弦值.20．從某居民區隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄，（單位：千元）的數據資料，算出，附：線性回歸方程，其中為樣本平均值.（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）若該居民區某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.21．為了了解高一學生的體能狀況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數為12.（1）求第二小組的頻率；（2）求樣本容量；（3）若次數在110以上為達標，試估計全體高一學生的達標率為多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

運用等差數列的性質求得公差d，再運用通項公式解得首項即可．【題目詳解】由題意知，所以.故選C.【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式的運用，等差數列的性質，考查運算能力，屬于基礎題．2、D【解題分析】

根據旋轉體的定義與性質，對選項中的命題分析、判斷正誤即可．【題目詳解】A．圓柱的側面展開圖是一個矩形，正確；B．∵同一個圓錐的母線長相等，∴圓錐過軸的截面是一個等腰三角形，正確；C．根據平行于圓臺底面的平面截圓臺截面的性質可知：截面是圓面正確；D．直角三角形繞它的一條直角邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐，而直角三角形繞它的斜邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是兩個對底面的兩個圓錐，因此D不正確．故選：D．【題目點撥】本題考查了命題的真假判斷，解題的關鍵是理解旋轉體的定義與性質的應用問題，屬于基礎題．3、A【解題分析】

【題目詳解】，選A.【題目點撥】本題考查由兩直線平行求參數.4、A【解題分析】

求出函數的對稱軸方程，使得滿足在內，解不等式即可求出滿足此條件的一個φ值．【題目詳解】解：函數圖象的對稱軸方程為：xk∈Z，函數圖象的一條對稱軸在內，所以當k＝0時，φ故選A．【題目點撥】本題是基礎題，考查三角函數的基本性質，不等式的解法，考查計算能力，能夠充分利用基本函數的性質解題是學好數學的前提．5、C【解題分析】

將問題轉化為與有兩個不同的交點；根據可得，對照的圖象可構造出不等式求得結果.【題目詳解】方程有兩個相異實根等價于與有兩個不同的交點當時，由圖象可知：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦型函數的圖象應用，主要是根據方程根的個數確定參數范圍，關鍵是能夠將問題轉化為交點個數問題，利用數形結合來進行求解.6、A【解題分析】

根據正弦函數的周期性及對稱性，逐項判斷，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，所以的最小正周期為，即，故①正確；由，令，得的對稱軸為，所以是的對稱軸，不是的對稱軸，故②正確，③不正確；由，令，得的對稱中心為，所以不是的對稱中心，故④不正確.故選：A【題目點撥】本題主要考查正弦函數的周期性以及對稱性.7、B【解題分析】

利用面積公式及可求，再利用同角的三角函數的基本關系式可求，最后利用余弦定理可求的值.【題目詳解】因為，故，所以，因為，故，又，由余弦定理可得，故.故選B.【題目點撥】三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個量（除三個角外），可以求得其余的四個量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.8、B【解題分析】

由題得g(x構造h(x)=g(x)-f(x)=x2-2x+2∈【題目詳解】由fx1+f令h(x)=g(x)-f(x)=xhxn=hx1N的最大值為22.故選：B．【題目點撥】本題考查函數的最值的求法，注意運用轉化思想，以及二次函數在閉區間上的最值求法，考查運算能力，屬于中檔題．9、D【解題分析】試題分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案為D.考點：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的應用.10、A【解題分析】

直接利用等比數列前n項和公式求.【題目詳解】由題得.故選A【題目點撥】本題主要考查等比數列求和，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1023【解題分析】

根據等比數列的定義以及前項和公式即可．【題目詳解】因為所以，所以為首先為1公比為2的等比數列，所以【題目點撥】本題主要考查了等比數列的前項和：屬于基礎題．12、【解題分析】

由EC垂直Rt△ABC的兩條直角邊，可知EC⊥面ABC，再根據D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，可求得CD的長，根據勾股定理可求得DE的長．【題目詳解】如圖，EC⊥面ABC，而CD?面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜邊AB的中點，∴CD＝5，ED1．故答案為1．【題目點撥】本題主要考查了線面垂直的判定和性質定理，利用勾股定理求線段的長度，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎題．13、1【解題分析】

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算S的值并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．【題目詳解】模擬程序的運行，可得

S=1，i=1

滿足條件S<40，執行循環體，S=3，i=2

滿足條件S<40，執行循環體，S=7，i=3

滿足條件S<40，執行循環體，S=15，i=4

滿足條件S<40，執行循環體，S=31，i=5

滿足條件S<40，執行循環體，S=13，i=1

此時，不滿足條件S<40，退出循環，輸出i的值為1．

故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查的是程序框圖，屬于基礎題．在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．14、【解題分析】

根據兩圓在點處的切線互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線方程，運用點到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進而求出公共弦長.【題目詳解】由題意，圓圓心坐標，半徑，圓圓心坐標,半徑，因為兩圓相交于點，且兩圓在點處的切線互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由兩點間距離公式，，所以，解得，所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，圓心到公共弦的距離，故公共弦長故答案為：【題目點撥】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長的求法和點到直線的距離公式，考查學生的分析能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

令，計算出模的最大值即可，當與同向時的模最大．【題目詳解】令，則，因為，所以當，，因此當與同向時的模最大，【題目點撥】本題主要考查了向量模的計算，以及二次函數在給定區間上的最值．整體換元的思想，屬于較的難題，在解二次函數的問題時往往結合圖像、開口、對稱軸等進行分析．16、3【解題分析】

利用向量共線的坐標公式,列式求解.【題目詳解】因為向量與向量共線,所以,故答案為:3.【題目點撥】本題考查向量共線的坐標公式,屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）略（2）（3）證明略【解題分析】本題源自等差數列通項公式的推導．（1）證明：由題設（），得，即，．又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．（2）由（1），，……，（）．將以上各式相加，得（）．所以當時，上式對顯然成立．（3）由（2），當時，顯然不是與的等差中項，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得，．所以對任意的，是與的等差中項．18、（1）；（2）θ＝時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【解題分析】

（1）根據余弦定理可求得（2）先表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數的解析式為正弦型函數的形式，再結合正弦型函數最值的求法進行求解．【題目詳解】（1）由余弦定理得則（2）四邊形OACB的面積＝△OAB的面積+△ABC的面積則△ABC的面積△OAB的面積?OA?OB?sinθ?2?4?sinθ＝4sinθ四邊形OACB的面積4sinθ=sin（θ﹣）∴當θ﹣＝，即θ＝時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【題目點撥】本題考查利用正余弦定理求解面積最值，其中準確列出面積表達式是關鍵，考查化簡求值能力，是中檔題19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性質推出，即可推出平面從而得到；（Ⅱ）根據已知條件先求出AB，再利用菱形的對角線垂直求出AC，由求出PC，即可求得余弦值.【題目詳解】（Ⅰ）證明：連接，∵底面，底面,∴.∵四邊形是菱形，∴.又∵，平面，平面，∴平面，∴.（Ⅱ）設直線AC與BD交于點O，∵底面，∴直線與平面所成角的是.設“”，由，可得，∵四邊形是菱形，在中，，則，于是，∴∴直線與平面所成角的余弦值是.【題目點撥】本題考查線線垂直、線面垂直的證明，菱形的性質，直線與平面所成的角，屬于基礎題.20、（1）；（2）1.7【解題分析】

（1）根據數據，利用最小二乘法，即可求得y對月