廣東省潮州市高級實驗學校2022-2023學年高三數學理

期末試題含解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知拋物線/=8x,過點川2°））作傾斜角為亍的直線上,若，與拋物線交于

B、C兩點，弦的中垂線交x軸于點P,則線段人尸的長為（）

168

A.3B,3C.3D.86

參考答案：

A

2.命題“tan*=°”是命題“《）"=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不是充分又不是必要條件

參考答案：

B

3.若點出-D是圓任一球=25的弦AB的中點，則直線AB的方程是

A.xy-4=0B.2rgy-7=0c,ny-2=0D.

2x4?尸5=0

參考答案：

A

4.4A，為不同的平面，?、小?為不同的直線，則1尸的一個充分條件是（）

A?la>"1A■!?B.。"=科。死尸”

C.a,7,A'y,D.

參考答案：

A

1.111

5.下圖是計算G57……行的值的一個流程圖，其中判斷框內應填入的條件是

（）

—否

（開始S-S+刃石Ti=i+l輸出s/-?結束）

A?>?B.?>?C?>9D.i<9

參考答案：

B

6.已知a=S32,&=1嗝6,C=ta2,貝ij〃、氏c的大小關系為（）

A.a<e<bB,c<a<bc.a<b<cD,c<b<a

參考答案：

A

【分析】

根據對數函數的圖象與性質，求得a<cwQ，D,即可求解，得到答案.

【詳解】由題意，根據對數的性質，可得4=93M3）,?=1（￥$6€（1<*<?）,

a-106,2--*-c=I?2=—

又由*℃，3,log?，，

因為3>.，所以Sj3>log2*>】，可得a<c<l,

所以a<cC.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了對數函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記對數函數的圖象

與性質，求得q'c的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

7.拋物線式二4x的焦點坐標為

A.(0,2)B.(2,0)C.(0,1)D.(1,0)

參考答案：

D

8.在等差數列W中，4-1,%-%74,則%。(

)

A、-16B、-17C、

-18D、-19

參考答案:

B

9.集合M=@2},P={x\xeM)t則下列關系中，正確的是()

A.M￡P；B.C.P=M；D.PqM

參考答案：

D

1().設雙曲線4尸一式=1的兩條漸近線與直線工=々圍成的三角形區域(包含邊界)為P(x,y)

為D內的一個動點，則目標函數的最小值為

_38_5々

A.-2B.2C.OD.2

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

Z&4C=-

11.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=BC,且2,則PA與底面ABC所成角

為.

B

C

參考答案:

乙PAD三

答案:3

12.已知sina=3sin(a+6),則tan(a+12)=.

參考答案：

2M-4

【考點】兩角和與差的正切函數；兩角和與差的正弦函數.

n

【分析】利用同角三角的基本關系、兩角和差的三角公式求得tana、tan訪的值，可得tan

(a+l2)的值.

717T713

【解答】解：sina=3sin(a+6)=3sinacos6+3cosasin6=2sina+2cosa,

3

tana=2_3^3.

n兀

tarr^—tan-

il7T71717r'MT

又tanTI=tan（T-T）=1+tan~tanT=73^=2-73,

3

tanCL+tarr^-2-班_

兀1W,3,cl、3+（2-V3）*（2-3V3）

.-.tan（a+l2）=1+tand?t9=l+^^?（2-黃）=（2-3北）-3（2-a）=一

16-8對

4=2?-4,

故答案為：2/々-4.

i+jrNL

r-y+l>0.

3x^2y<6.

13.若實數XJ滿足約束條件上MywM則?=x-2y的所有取值的集合

是.

參考答案：

(-2.-U2)

由約束條件可知，滿足條件的點為丁SU.。：川.」2」

所以z可以取得值為2-1.1.2

故答案為：；

14.已知隨機變量S服從正態分布N(2,a?),且P(<<4)=08,

則P(0<^<2)=

參考答案：

O3

略

{_]113}

15.設ad、-''2',則使函數丫=(的定義域為R且為奇函數的a的集合

為

參考答案：

{1,3}

【考點】球函數圖象及其與指數的關系.

【專題】應用題；函數思想；定義法；函數的性質及應用.

1

【分析】分別驗證a=l,-1,2,3知當a=l或a=3時，函數y=x"的定義域是R且為奇函

數.

【解答】解：當a=-l時，當a=-1時，y=x-的定義域是{xlxWO},且為奇函數，不合

題意；

當a=l時，函數y=x的定義域是R且為奇函數；

1

當a=2時，函數y=F的定義域是（0,+8）,不合題意；

當a=3時，函數y=x的定義域是R且為奇函數.

故使函數y=x"的定義域為R且為奇函數的a的集合為{1,3}.

故答案為：{1,3}.

【點評】本題考查基函數的性質和應用，解題時要熟練掌握某函數的概念和性質，屬于基

礎題.

16.已知全集/=（/1彳6艮）系合^=口1xS域X2可，集合5=⑺上＜±+[*6即，

且（c）n8=我則實數上的取值范圍是。

參考答案：

（-OO,0]U[3,-?O）17.某大型超市銷售的乳類商品有四種：液態奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成

人奶粉，且液態奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有40種、10種、30種、20種不

同的品牌，現從中抽取一個容量為20的樣本進行三聚鼠胺安全檢測.若采用分層抽樣的

方法抽取樣本，則抽取的酸奶與成人奶粉品牌數之和是

參考答案：

6

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知函數f(x)=lnx-mx+m,m￡R.

)求函數f(X)的單調區間.

(H)若f(x)WO在xe(0,+8)上恒成立，求實數m的取值范圍.

求證：/jf(a)<:

(III)在(II)的條件下，任意的OVaVb,b-aa(1+a).

參考答案：

【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；函數恒成立問題；利用導數研究函數的單調

性.

【專題】證明題；綜合題；轉化思想.

【分析】(I)求函數f(x)的單調區間，可先求出

fZ（X）（xE（0,+8））

XX再解出函數的單調區間;

(H)若f(x)<0在xG(0,+8)上恒成立，可利用導數研究函數的單調性確定出函

數的最大值，令最大值小于等于0,即可得到關于m的不等式，解出m的取值范圍；

(III)在(II)的條件下，任意的0<aVb,可先代入函數的解析式，得出

f（b）~f（a）」nb-lna+a-bInb-Ina

__--10

b-ababaa再由0<a<b得出

靜<上-i

aa，代入即可證明出不等式.

//、11-mx

fZ（X）=--ITF------------（x€（0,+8））

【解答】解：（I）XX

當mWO時，f'(x)>0恒成立，則函數f(x)在(0,+8)上單調遞增；…2分

fz（x）=--nF----->0

當m>0時，由xx

(o—)(o—)(1+8)

則m,則f(x)在m上單調遞增，在m'上單調遞減.…4

分

(II)由(I)得：當mWO時顯然不成立；

、口.f(x)=f(-)二］.n』T+nrm_Inin_1

當m>0時，maxmin只需m-Inm-1WO即….6分

令g(x)=x-Inx-1,

J(x)=1一1

則“x,函數g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增.，g

(x)nin=g(1)=0.則若f(x)WO在(0,+8)上恒成立，m=l.…8分

ln^

.1-1

f(b)-f(a)Inb-Ina+a-blnb-Ina

--1a

(III)b-ab-ab一aa

,->1

由OVaVb得a,

2S.1-i<l-1a=1T<__]_

b_jaaaa(1+a)a(1+a)

......a

a,

f(b)-f(a)<1

則原不等式b-aa(1+a)成立.…時分

【點評】本題考查利用導數求函數的單調區間，研究函數的最值，及不等式的證明，考查

了轉化的思想及推理判斷的能力，綜合性較強，解題的關鍵是準確理解題意，對問題進行

正確轉化，熟練掌握導數運算性質是解題的重點，正確轉化問題是解題的難點.

x^2tcos0

(

19.已知在直角坐標系叼中，曲線C的參數方程為"為非零常數，°為參

數)，在極坐標系(與直角坐標系網取相同的長度單位，且以原點。為極點，以X軸正

pi\n(3--)=2-72

半軸為極軸)中，直線/的方程為4

(I)求曲線。的普通方程并說明曲線的形狀；

(II)是否存在實數￡,使得直線/與曲線C有兩個不同的公共點A3,且場?。豆=10

(其中。為坐標原點)？若存在，請求出；否則，請說明理由.

參考答案：

【答案】二"■J=4,當：=二1孫曲蛀C為國心$麋點，*在為2的同當rw=l時.

???

金也匚為中心在黑點的篇05，(外r存在

【解析】

成盤白析，(I)夫那曲建CF卷數節程轉優'廿通節程，力論；的信車訓斫方程表示什么圖

形,(2)聯立亶線與眸i的方程，因為H線馬曲線有2個不同的公共點?所以判別式大于8

行以?：>3,利用毫達美拳代A八叫解出「=3、：1?3相孑?,

師不不

俄整解析I<I);，=。，.?.可，曲線Cf,,程"，為方程，

型:=xlM.曲線c為BBL6做點.牛役為2的8黜.....

②當￡k±l時，曲線C為中心在原點的橢

圓.................6分

(II)直線/的普通方程為：

x-y+4=0

……8分

聯立直技與螃的方程.消)需'+《*.4戶=4,代閽事。+?)^+8i*+12?=0.

若?妓/馬曲處C有兩個不同的公共點，>0.解得P>3.

p,8?12?

又內/=_巾“均巧=「710分

故OA*OB■xfy+X?i+".十JX\+4)?ij^tj+4(內+巧)+16=10.

髀海PH3馬->3相矛啟.故不存在海足題意的斑r.-----------------12分

考點：1.假坐標系及直角坐標系的轉化12.根與系數關系.

略

20.已知函數f(x)=x2-ax+21nx.

(1)若函數y=f(x)在定義域上單調遞增，求實數a的取值范圍；

1

(2)設f(x)有兩個極值點X”x2,若xP(0,e],且f(X,)2t+f(x?)恒成立，求

實數t的取值范圍.

參考答案：

【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值.

【分析】(1)問題轉化為2xZ-ax+220在(0,+8)恒成立，分離參數，求出a的范圍

即可；

(2)求出f'(x),根據f(x)有兩個極值點X”也，可以確定X”xz為f'(x)=0的

2

兩個根，從而得到XiX2=l,可以確定X2>1,求解h(xi)-h(x2),構造函數u(x)=x

1

~~o-

-x”-21nx2,xNl,利用導數研究u(x)的取值范圍，從而求出t的范圍.

9

22x-a—+2

【解答】解：(1)f'(x)=2x-a+x=x,(x>0),

若函數y二f(x)在定義域上單調遞增，

則2x~'-ax+220在(0,+8)恒成立，

11

即aW2(x+x),而x+x的最小值是2,

故aW4；

(2)*/f(x)=x2-ax+21nx,

9

2x-ax+2

Ah,(x)=x,(x>0),

Vf(x)有兩個極值點x“x2,

/.Xi,X2為f'(x)=0的兩個根，即2x?-ax+2=0的兩個根，

/.X1X2=1,

1

Vxie(0,e],且axi=2x/+l(i=l,2),Ax2^[e,+°°),

22

Af(xi)-f(X2)=(xi-axi+21nxi)-(x2-ax2+21nx2)

-(-Xi2-l+21nxi)-(-X2?-l+21nx2)

xi-L-

----2

2x2x2

=X2-Xi+21n2=X2-2-21nx2,(x2>l)，

1

-o-

設u(x)=x-x-21nx2,x》e,

2(x2-l)2

3

???U’(x)=x20,u(x)在[e,+8)遞增，

1

Au(x)(e)=e2-e-4,

1

-2

te(-8,e?-e-4].

21.在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知(b-2a)?cosC+c?cosB=0

(1)求角C；

(2)若c=2,SAAK=V3)求邊長a,b的值.

參考答案：

【考點】余弦定理；正弦定理.

【分析】(1)由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理可得

sinA=2sinAcosC,由于sinA#0,可求cosC=2,結合范圍CG(0,n),可求C的值.

(2)利用三角形面積公式可求ab=4,由余弦定理可得a?+b2=8,聯立即可解得a,b的

值.

【解答】(本題滿分為12分)

解：(1),/(b-2a)?cosC+c?cosBz:0,

，由正弦定理可得：(sinB-2sinA)cosC+sinCcosB=0,…2分

AsinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC,可得：sin(B+C)=sinA=2sinAcosC,

VsinA^O,

1

/.cosC=2,…5分

VCe(0,n)

兀

/.C=3…6分

1V3

(2)VSAABc=2absinC=4ab=V3,

/.ab=4,①

由余弦定理可得：a2+b2-c2=2abcosC,

Vc=2,C=T,ab=4,???8分

.\a2+b2=8,②…10分

聯立①②即可解得：a=2,b=2…12分

22.某市環保研究所對市中心每天環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污

4兀1.

染指數f(X)與時間X(小時)的關系為f(x)=4sin(前X)-a|+a,*仁[0,24],

其中a是與氣象有關的參