6.4.3.2正弦定理

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：正弦定理.

內(nèi)容解析:本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第4節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)正弦定理，

用正弦定理來解三角形.

《正弦定理》是三角形理論中的一個重要內(nèi)容,與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)

系（大邊對大角）有密切的聯(lián)系.前面學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的運算，并且利用向量方法解決了簡單

的平面幾何問題.在上一節(jié)課利用向量方法證明了余弦定理，鞏固復(fù)習(xí)了三角形中向量的加

法、減法和數(shù)量積,為本節(jié)課用向量方法證明正弦定理打下了堅實的基礎(chǔ).正弦定理是定性關(guān)

系大邊對大角的定量表示，可以用來解己知兩角和一邊以及已知兩邊和對角的三角形問題.

正弦定理是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù)，也是解決實際生活中許多測量問題的工具.因

此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形提供了必要的知識儲備，并能在實際應(yīng)用中靈

活變通.

蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法：從特殊到一般，分類討論以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，

學(xué)情分析

學(xué)生基礎(chǔ)知識比較扎實，具備一定的探究能力，學(xué)生也能夠應(yīng)用GGB解決簡單的數(shù)學(xué)問

題。課前就基礎(chǔ)知識、預(yù)習(xí)情況、語言轉(zhuǎn)換、畏難心理、思想方法五方面進(jìn)行8個小題的問

卷調(diào)查。

學(xué)生作答數(shù)據(jù)反映出來的狀況如下：

完全做對問題1到問題4（考察基礎(chǔ)知識）占80.0%,有13.3%的學(xué)生問題4中余弦公

式出錯，提示我在教學(xué)中要關(guān)注鈍角余弦值的符號問題；60.0%課前預(yù)習(xí)過；67.7%第6題回

答可以用數(shù)學(xué)語言清楚的表達(dá)自己的思想；93.3%的學(xué)生沒有對學(xué)習(xí)新知識感覺到害怕的心

理；對考察數(shù)學(xué)思想方法的問題8有50.0%的學(xué)生回答是：從特殊到一般;有20.0%的學(xué)生

的回答是：畫圖。

圖表標(biāo)題

■基礎(chǔ)知識■預(yù)習(xí)■語言轉(zhuǎn)換

■畏難心理,思想方法

80%60%50%

基礎(chǔ)知識預(yù)習(xí)語言轉(zhuǎn)換畏難心理思想方法

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：

（1）能從特殊到一般抽象猜想出正弦定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）能借助向量的運算證明正弦定理，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

（3）能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題，發(fā)展邏輯

推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

目標(biāo)解析：

（1）從特殊的三角形的邊角特點即勾股定理歸納概括一般三角形的特點.

（2）聯(lián)系正余弦轉(zhuǎn)化構(gòu)造垂直向量，用向量的方法證明正弦定理，能使用其他

方法證明正弦定理.

（3）結(jié)合正弦定理的結(jié)構(gòu)特點可以發(fā)現(xiàn)正弦定理的變形形式比較多，拆分式、

連比式、分體式，每種形式都有著廣泛的應(yīng)用，在解決問題時能選擇適當(dāng)形式.

基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點定為：構(gòu)造垂直向量，利用向量工具證明

正弦定理.

三、教學(xué)問題診斷分析

1.教學(xué)問題一：怎樣證明正弦定理是本節(jié)課的第一個教學(xué)問題.是本節(jié)課

的重點.解決方案：利用向量法證明，體現(xiàn)向量的工具作用，關(guān)鍵在于闡明“過

UUIU

點A作與AC垂直的單位向量了’的思維過程.

2.教學(xué)問題二：利用正弦定理解決解三角形的問題是本節(jié)的第二個教學(xué)問

題.解決方案：利用圖形說明方程解得個數(shù)，根據(jù)大邊對大角或內(nèi)角和兀為進(jìn)行

解得個數(shù)的取舍，從而解決問題.

基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點定為：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系

的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示.為了讓學(xué)生

通過觀察、歸納得到正弦定理，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺.因此，在教學(xué)

過程中通過學(xué)生分組探究，合作交流的教學(xué)方式，可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)

到主動學(xué)習(xí)狀態(tài)中來.

在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué).問題的設(shè)置給學(xué)生留有

充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點，突破

教學(xué)難點.

在教學(xué)過程中，重視正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學(xué)生體會到從特殊到一般是

數(shù)學(xué)抽象的基本過程，同時，定理的證明與定理的應(yīng)用其實就是數(shù)學(xué)模型的建立

與應(yīng)用的典范.因此，本節(jié)課的教學(xué)是實施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)

有機結(jié)合的嘗試.

五、教學(xué)活動設(shè)計

本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，因而教學(xué)過程實施分為五個部分：

【課前測】

、.兀.5萬.3萬

1?sin—,sin=,sin='

364----------------

4

2.已知cosA=2,A是三角形A4BC的一個角，則sinA=.

5----------------

3.若sinA=走，A是三角形AABC的一個角，則4=

2

4.cosA=-,sinB=-,A,B是三角形AABC的角，則sinC=.

52

環(huán)節(jié)一、創(chuàng)設(shè)情景，引出問題

我國古代有嫦娥奔月的神話故事，這個神話目前

已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實.2021年感動中國人物中，有這樣一

群勇攀高峰、自立自強的中國航天追夢人.他們用一

個個堅實的腳印，把夢想化作現(xiàn)實.夢想的實現(xiàn)需要

科學(xué)的支撐，早在1752年，法國天文學(xué)家拉卡伊

(1713-1762)和他的學(xué)生拉郎德(1732-1807)利用

三角測量法首次精確計算出了地球與月球之間的距離大約為385400km.如圖所

示，當(dāng)年他們利用幾乎位于同一經(jīng)線上的柏林(點A)與好望角(點8)為基點，

測量出a,4的大小，并計算出兩地之間的距離A3,進(jìn)而算出了地球與月球之

間的距離約為385400km.同學(xué)們你們能否還原科學(xué)家的工作設(shè)計路徑求一下地

月距離呢？

*......-.......一

B

上節(jié)課我們用向量的方法研究三角形的邊角關(guān)系，得到了余弦定理及其推論,

直接可以解決（SAS,SSS）這兩類解三角形問題.

我們知道判定三角形全等的方法有SSS,SAS,ASA,AAS等，那么如果已知

兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的公式直接解出這個三角形呢？也就是這樣的一個問

題：在A4BC中，設(shè)A的對邊為a,B的對邊為。，已知A,B,a,求b的問題.

在初中，我們得到了三角形中等邊對等角的結(jié)論.實際上，三角形中還有大

邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.從量化的角度看，可以將這個邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)

化為：在AA8C中，求A,B,a,6之間的定量關(guān)系.

如果得出了這個定量關(guān)系，那么就可以直接解決“在AABC中，已知A,B,

a,求b”的問題.我們從熟悉的直角三角形的邊、角關(guān)系的分析入手.

設(shè)計意圖：提出問題，引出研究問題的必要性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，

激發(fā)學(xué)生的研究興趣.因為本節(jié)課的重點不是正弦定理的應(yīng)用，具體數(shù)據(jù)也比較

復(fù)雜，故暫時不提供數(shù)據(jù)，只是在環(huán)節(jié)三讓學(xué)生自行理清求解思路.

環(huán)節(jié)二、觀察特例提出猜想

【問題1］我們知道，大邊對大角，那么在用AABC中，對邊和對角之間有何種數(shù)

量關(guān)系呢？

【問題2】在R公鉆C中，—,—,，各自等于什么，它們之間有何種

sinAsinBsinC

聯(lián)系呢？

設(shè)計意圖：從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有

了新的認(rèn)識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu).

【問題3】對于一般的三角形，—乙=—竺=—J仍然成立嗎？

sinAsinBsinC

活動1：請同學(xué)們在GGB中構(gòu)造任意三角形，并且觀察邊長與對角正弦值比

值.

引導(dǎo)學(xué)生通過觀察GGB上展示的任意構(gòu)造的形狀大小不一的銳角或鈍角三角

形所對應(yīng)的每組比值的特點.

a=4.61Z?=2.82c=4.75

A=69.76°8=35.06°C=75.18°

-^-=4.91-^-=4.91—^=4.91

sinAsinBsinC

a=3.22方=5.92c=4.36

4=32.21°3=46.16°C=101.63°

-^-=6.04-^-=6.04—^=6.04

sin4sinBsinC

a=3.830=3.86c=5.44

A=44.75°3=90°C=45.24°

b「“，

-----=5.44-----=5.44—^=5.44

sinAsin3sinC

設(shè)計意圖：利用特殊到一般，借助GGB展示素材的直觀性、任意性、可測性的優(yōu)

點，通過直觀的“形變神不變”的分情況演示證實關(guān)系式在一般三角形中成立,

從而用實驗法證實猜想.

環(huán)節(jié)三、證明猜想得出定理

【引導(dǎo)語】三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對于直角三角形,

我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出這個關(guān)系式是成立的，那么我們現(xiàn)在是否需要分情況來研究

此關(guān)系式？因為涉及三角形的邊、角關(guān)系，所以我們?nèi)匀徊捎孟蛄糠ㄑ芯?

【問題4】請同學(xué)們觀察式子，里面包含了邊及邊的夾角，這與向量的那一部分

知識有關(guān)系呢？

【問題5】請問數(shù)量積的表達(dá)式是什么，在向量的數(shù)量積運算中出現(xiàn)的是角的余

弦，而我們需要證明的是角的正弦.如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化？

由誘導(dǎo)公式cos(￥-a)=sina可知，我們可以通過構(gòu)造角之間的互余關(guān)系，把

2

邊與角的余弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為與正弦的關(guān)系，

【問題6】由誘導(dǎo)公式cosg-A)=sinA可知，要想出現(xiàn)sinA,我們需要構(gòu)造一個

與邊AC垂直的向量入同學(xué)們我們再看看要證關(guān)系式：二=，=三，這

是一個等式關(guān)系，那么在三角形中又有那些向量形式的等式關(guān)系式呢？如圖，由

平面向量知識易知，在任意三角形aABC中，向量髭、潴與愛之間滿足等式

關(guān)系式：器+潴=震.那么，同學(xué)們，你們能試著寫一寫證明過程嗎？

證明：如圖所示，過點A作單位向量/垂直于元，則，與向量A3的夾角

%-A，?/與向量的夾角為

由就+而=凝，所以/?(元+而)=j?布，則/n+.在=1/刀，所以

|j||AC|cos90"+|j\\CB\cos(90°-C)=|j||AB\cos(90°-A)

整理得asinC=csinA，則----=-----.

sinAsinC

同理，過點C作與CB垂直的單位向量加，可得」h｝=一c所以

sinBsinC

a_b_c

sinAsinBsinC

追問：有補充的嗎？

JT

過點A作單位向量，垂直于公，則/與向量A3的夾角為,-A，/與向量

1T

的夾角為萬-C.當(dāng)三角形是鈍角三角形時，有問題.需要對三角形分為銳角

三角形和鈍角三角形.

補充：在鈍角三角形中，不妨設(shè)A為鈍角，如圖.

過點A作與衣垂直的單位向量?/,則，與向量A3的夾角為

A~,，與向量3c的夾角為C-1.仿照上述方法，

b_c

同理可得

sinAsinBsinC

總結(jié)正弦定理.

（1）文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，

a_b_c

（2）符號語言：sinAsinBsinC.

設(shè)計意圖：難點問題老師不“放手”，通過問題串引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵

點.突破難點后做到“該放手時必放手”讓學(xué)生嘗試自己證明.關(guān)注易錯點“向

量夾角”，分類討論自然而然.

【問題7］你能用正弦定理得到地月距離的求解思路嗎？

【問題8］在直角三角形中號■二號二白二,，這是一個與三角形的邊直接

相關(guān)的，那么在一般三角形中這個比值又是什么呢，事實上

'二=—竺=—J=2R（H為三角形AABC外接圓的半徑），這是為什么呢？同

sinAsinBsinC

學(xué)們思考一下，能給出證明嗎？

活動2：同學(xué)們請在GGB中試一試當(dāng)三角形的一邊及其對角確定之后，例如

邊c大小不變，角NC不變的情況下，頂點C的運動軌跡？

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識邊c大小不變，角NC大小相同的三角形有很多，其中有一種

特殊情形如圖R，MBG，直角三角形比值是斜邊，這個在環(huán)節(jié)二己經(jīng)證明過.

【問題9］如何將角NC放法一個直角三角形中呢？同學(xué)們，你們能試著寫一寫

證明過程嗎？

類比直角三角形的研究過程需要構(gòu)造直角直征——?圓周角是直角作直徑

證明:直角三角形，角C為直

角，設(shè)A4BC的外接圓的半徑為R,貝！則

?

所以，=上=，=2R比值為2R

sinAsinBsinC

(2)當(dāng)AABC中為銳角三角形時，作A4BC的外接圓，。為圓心，半徑為R,

需要構(gòu)造直角—角4放量中，把角B放在RtAA/C中，把角

C放在RSABg中

連接CO并延長交圓。于點A,則4C=2R,從而N48C=90",在欣"8。

中，sinA,=—.根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即sinA=sin4=2,從而

2R2R

，一=2H,同理，把角B放在RtA4BiC中，把角C放在RtA4BG中，可證

=2R,

sinCsinB

因此，對任意的三角形都有，一=—2_=—J=2R.我們又用三角形外接

sinAsinBsinC

圓的方法證明了猜想。

(3)當(dāng)AABC中為鈍角三角形時，作AABC的外接圓，。為圓心，半徑為R.

把角4放在RtA&BC中,把角B放在RS4B1C中，把鈍角C的補角放在

以上我們利用向量方法和做外接圓的辦法獲得了正弦定理、余弦定理.事實上,

探索和證明正弦定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加簡潔.你還能想

到其他方法嗎？

作高■^形

證明：方法三(做高線)

(1)當(dāng)AABC中為銳角三角形時，過點A作AD,3c于。,

在中，AD=csinB,在RA4CD中，

AD=bsinC,

從而Z?sinC=csinB,BP------=-------,

sinBsinC

同理可證一J=—L,所以‘一=’_=_J

sinAsinBsinAsinBsinC

(2)當(dāng)AABC中為鈍角三角形時，過點A所作的高AO在三角形的外部,

在Rt^ABD中，AD-csinB,

Rt^ACD>AD=bsin（7r-C）-bsinC?

bc

從而bsinC=csinB,即----=----,

sinBsinC

同理可證」一=—竺，所以‘一=」—=」一.

sinAsinBsinAsin8sinC

方法四（等面積）

由剛才的證明方法，我們發(fā)現(xiàn)三角形的高可以轉(zhuǎn)

化成邊與角的正弦值的乘積.

所以先作出三條邊上的高AO，BE,CF,則

S=-BCAD^-ABCF^-ACBE

MBRC（222

結(jié)合誘導(dǎo)公式，不論三角形是銳角還是鈍角三角形,

都有：AD=csinB,BE=asinC,CF=bsinA,

帶入即得

=—ahsinC=—acsinB--/?csinA,

222

同除以即得

2sinAsinBsinC

環(huán)節(jié)四、運用定理解決問題

1.已知兩角及一邊解三角形（AAS,ASA）

例1.在AABC中，C=3+A/3,A=15°,8=45",解這個三角形.

解：由三角形內(nèi)角和定理，得C=180°-（4+8）=120°,

由正弦定理，得

_csinA_(3+0)sin15"_(3+百)sin(45°-30°)

sinCsin120°sin120°

(3+G)(sin45°cos30°-cos45sin300)

sin120°

csinB_(3+V3)sin45。

=>/6+V2.

sinCsin120°

41

變式1：c=3,cosA=—,cos8=—,求a,b這個三角形.【提示：sinC=sin（A+B）］

52

2.已知兩邊、一邊的對角解三角形（SAS,SSA）

例2在AABC中，a=42,b=2,A=30°,解這個三角形.

解：由正弦定理，得

._Z?sinA2sin30°\/2

sinB=-----=---k一=——

aJ22

因為人>〃，力=30°,所以8=45°,或8=135°.

(1)當(dāng)5=45°時,C=105°

此時

asinC_V2sin1050_V2sin(60+45°)

sinAsin30sin30

V2(sin60cos45°4-cos600sin450)

=5/3+1.

sin30

(2)當(dāng)3=135°時，C=15°

此時，

asinC0sin150sin(6O’-45°)

c=------=---------=---------:----

sinAsin30°sin30

_V2(sin60cos450-cos600sin45°)_1

sin30"

變式2：在AABC中，a=2&,b=2,4=30°,,解這個三角形.【提示：b<a,

故B<30"]

設(shè)計意圖：發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識是高中課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的重要理念之一.通過應(yīng)

用定理解決實際問題和數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的深化理解，提升解題能

力.通過變式加深所學(xué)技能的遷移.

活動3：探究三角形多解問題

在△/比中匕=2,A=30°,請討論。取何值時三角形解唯一，無解，有兩解？

你能推廣到一般情形嗎？

設(shè)計意圖：設(shè)計活動突破本節(jié)課的第二個難點，即三痢形的多解問題.設(shè)計一個

開放的問題，讓學(xué)生獨立思考后相互討論，彼此完善，在活動中突破難點，最后老

師統(tǒng)一思路，得到一般情況.

注：(1)做已知角，如做角A；

(2)做已知確定邊，如邊AC=b；

(3)求過。的高,h=b-sinA；

(4)以。為圓心，以a為半徑畫圓；

(5)比較a與。.sinA大小關(guān)系.

【反思與小結(jié)】

同學(xué)們你們能用流程圖總結(jié)梳理一下本節(jié)課的定理發(fā)現(xiàn)思路嗎？

設(shè)計意圖：借助框圖梳理思路，感受定理發(fā)現(xiàn)思路：為了研究三角形的邊角數(shù)量

關(guān)系，從特殊的直角三角形入手，經(jīng)歷觀察——實驗-----猜想證明

得到正弦定理應(yīng)用定理；感受發(fā)現(xiàn)定理的一般步驟，揭示從特殊到一般的

發(fā)現(xiàn)思路、分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想.

【教學(xué)反思】

1、我立足于“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”這一基本理念，設(shè)計了五個層層遞

進(jìn)話題，采用實驗驗證、