初中數學：模擬重點——三角形四邊形

圓的知識點模擬考試題梳理

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2020中考數學幾何圖形專題復習

知識點梳理

1.過兩點有且只有一條直線

2.兩點之間線段最短

3.同角或等角的補角相等

4.同角或等角的余角相等

5.過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7.平行公理經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9.同位角相等，兩直線平行

10.內錯角相等，兩直線平行

11.同旁內角互補，兩直線平行

12.兩直線平行，同位角相等

13.兩直線平行，內錯角相等

14.兩直線平行，同旁內角互補

15.定理三角形兩邊的和大于第三邊

16.推論三角形兩邊的差小于第三邊

17.三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°

18.推論1直角三角形的兩個銳角互余

19.推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

20.推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

21.全等三角形的對應邊'對應角相等

22.邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23.角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24.推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25.邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26.斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27.定理I在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28.定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29.角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30.等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31.推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33.推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。

34.等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的

邊也相等(等角對等邊)

35.推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36.推論2有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

37.在直角三角形中，如果一個銳角等于30。那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39.定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40.逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42.定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43.定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分

線

44.定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么

交點在對稱軸上

45.逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形

關于這條直線對稱

46.勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2

47.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a2+b2=c）那么這

個三角形是直角三角形

48.定理四邊形的內角和等于360。

49.四邊形的外角和等于360。

50.多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于（n-2）*180。

51.推論任意多邊的外角和等于360。

52.平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

53.平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

54.推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55.平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

56.平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57.平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58.平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59.平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60.矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61.矩形性質定理2矩形的對角線相等

62.矩形判定定理I有三個角是直角的四邊形是矩形

63.矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64.菱形性質定理1菱形的四條邊都相等

65.菱形性質定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66.菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(axb)+2

67.菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68.菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69.正方形性質定理I正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70.正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對

角線平分一組對角

71.定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72.定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對

稱中心平分

73.逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那

么這兩個圖形關于這一點對稱

74.等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75.等腰梯形的兩條對角線相等

76.等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77.對角線相等的梯形是等腰梯形

78.平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么

在其他直線上截得的線段也相等

79.推論1經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80.推論2經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81.三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82.梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半

L=(a+b)*2S=Lxh

83.(1)比例的基本性質如果a:b=cd那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84.(2)合比性質如果a/b=c/d、那么(a土b)/b=(c土d)/d

85.(3)等比性質如果a/b=c/d=...=m/n(b+d+…+n#0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n尸a/b

86.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87.推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對

應線段成比例

88.定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比

例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89.平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊

與原三角形三邊對應成比例

90.定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構

成的三角形與原三角形相似

91.相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似(ASA)

92.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93.判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)

94.判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)

95.定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜

邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96.性質定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都

等于相似比

97.性質定理2相似三角形周長的比等于相似比

98.性質定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99.任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角

的正弦值

100.任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角

的正切值

10L圓是定點的距離等于定長的點的集合

102.圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103.圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104.同圓或等圓的半徑相等

105.到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106.和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107.到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108.到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一

條直線

109.定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

1II.推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112.推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114.定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對

的弦的弦心距相等

115.推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距

中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

116.定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117.推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的

弧也相等

118.推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑

119.推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角

三角形

120.定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角

121.①直線L和。。相交d<r

②直線L和。O相切d=r

③直線L和。。相離d>r

122.切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123.切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑

124.推論1經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

125.推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

126.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一

點的連線平分兩條切線的夾角

127.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128.弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129.推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130.相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131.推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的

比例中項

132.切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點

的兩條線段長的比例中項

133.推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線

段長的積相等

134.如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135.①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內切d=R-r(R>r)⑤兩圓內含dVR-r(R>r)

136.定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137.定理把圓分成n(nN3):

(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切

正n邊形

138.定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

139.正n邊形的每個內角都等于(n-2)*180°/n

140.定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141.正n邊形的面積Sn=PnRn/2Pn是n邊形的周長，Rn是正n邊形的內

切圓半徑

142.正三角形面積也a/4a表示邊長

143.如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360。，因此

kx(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144.弧長計算公式：L=n兀R/180

145.扇形面積公式：S扇形=n兀R。/360=LR/2

146.內公切線長丁d-(R-r)外公切線長丁d-(R+r)

專題練習

專題一三角形

1.(2019?金華)若長度分別為“，3,5的三條線段能組成一個三角形，則。的值

可以是

A.lB.2C.3D.8

2.(2019?杭州)在△//*'中，若一個內角等于另外兩個內角的差，則

A.必有一個內角等于30。B.必有一個內角等于45。

C必有一個內角等于60。D.必有一個內角等于90。

3.(2019?河南)如圖，在四邊形48(7)中，Al)///i(\Z/>90°,AD=4,8('=3.

分別以點4（'為圓心，大于54（.長為半徑作弧，兩弧交于點兒作射線/，：.交

AD于點F,交.4（,于點。若點O是AC的中點，則CD的長為

A.2V2D.V10

4.（2019?濰坊）如圖，已知乙“羽.按照以下步驟作圖：①以點。為圓心，以適

當的長為半徑作弧，分別交408的兩邊于（'，。兩點，連接.②分別以點

。為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在NAOB內交于點E,連接（方,

/%.③連接交（7）于點M.下列結論中錯誤的是

A.NCEO=NDEOBCM=MD

C./()CD=〃K'DD.5,四邊杉0rm=Q(

5.（2019?宿遷）一副三角板如圖擺放（直角頂點（,重合），邊.48與'交于點”,

DE//BC,則WC等于

B

A.1O508.100°C.75°D.6O0

6.（2019?青島）如圖，8。是△械'的角平分線,4:」4）,垂足為若4灰'=35。,

ZC=50°,則N（7?：的度數為

A.35°D.50°

7.（2019?重慶A卷）如圖，在,中，/）是/（'邊上的中點，連接/"）,把

△BD（"沿B!）翻折，得到&BDC,DC與AB交于點E,連接AC,若.34「=2,

B/A3則點1）到HC的距離為

A3百

A.-----B.詼C.x/7D.

27

8.（2019?濱州）如圖，在△（〃/,和△（"?）中,

OA=OB,OC=OD,()A>OC,ZAOB=ZCOD=40°,連接AC,Hl)交于點M,連

接.下列結論：①4C=BD；②ZJM8=40。；③。“平分N8OC；④平

分/3A其中正確的個數為

A.4

9.（2019?蘭州）在△彳8「中,AB^AC,N力=40。，貝ijN8=

10.（2019?南京）在中，AB=4,ZC=60°,NA>NB,則8C的長的取值

范圍是

II.（2019?長沙）如圖，要測量池塘兩岸相對的48兩點間的距離，可以在池

塘外選一點C,連接4（、，8C,分別取4C,8c的中點。，E,測得。￡=50m,

則AH的長是

12.（2019?成都）如圖，在△//'中48=/1（'，點/）,/：'都在邊8（'上，N歷ID=NC/￡,

若/"片9,則（7：?的長為

13.（2019?北京）如圖所示的網格是正方形網格，則//〃/，+//>/〃=

（點48,，是網格線交點）.

B

14.（2019?威海）如圖，在四邊形43CD中,AB//CD,連接/C,/〃）,若

Z/KE=90。，4C=BC,AB=BD,則///)('=

15.（2019?南京）如圖，在△///（'中，8（'的垂直平分線交.48于點/）,（7）

平分乙優8.若4Z>2,BD=3,則/('的長為

16.(2019?臨沂)如圖，在中,4(8=120。，8('=4,/)為48的中點,

DC1HC,則△43(的面積是

17.（2019?廣州）如圖,D是AB上一點、,DF交AC于點、E,DE=FE,FC//AB,

求證：絲△C/E.

18.（2019?蘭州）如圖,AB=DE,BF=EC,NB=NE,求證：AC//DF.

19.（2019?山西）已知：如圖，點8"）在線段/E上,AABE,AC//EI-,ZC=ZF.

求證：BC=DF.

D

B

F

20.(2019?南京)如圖，〃是△48(1的邊相的中點,DE//BC,CE//AB,AC

與DE相交于點/匚求證：△//9/￡△(7:7」.

21.(2019?桂林)如圖,AB=AD,8('=/)(',點芯在力(.上.

(I)求證：“平分N8/O；

(2)求證：/"：=/)匯

22.(2019?重慶)如圖，在44BC中,AB=AC,AD上BC于點、D.

(I)若NC=42。,求NA4Q的度數;

(2)若點〃在邊48上，￡下〃4。交4)的延長線于點/；.求證：AE=FE.

23.（2019?金華）如圖，在7x6的方格中，的頂點均在格點上，試按要求

畫出線段//（A,“均為格點），各畫出一條即可.

24.（2019?無錫）如圖，在中，AB=AC,點、D、K分別在4/人4'上,BD=CE,

（7）相交于點。

25.（2019?溫州）如圖，在△力“中，//）是8C邊上的中線，月是48邊上一點,

過點（‘作CF〃AB交ED的延長線于點

(I)求證：ABDEWACDF；

(2)當AE=\,(7;=2時，求的長.

26.（2019?河北）已知：整式/=（//2-1）2+（2〃）2,整式樂＞0,嘗試化簡整式4

發現求整式B.

聯想由上可知，82n（〃2-1）2+（2?）2,當”＞［時,內,2〃，/，為直角三角形的

三邊長，如圖.填寫下表中8的值：

直角三角形三邊爐?12nB

/8

勾股數組I—

/

勾股數組n35—

?2-1

專題二四邊形

I.（2019?福建）已知正多邊形的一個外角為36。，則該正多邊形的邊數為

A.12B.IOC.8D.6

2.（2019重慶）下列命題正確的是

A.有一個角是直角的平行四邊形是矩形

B.四條邊相等的四邊形是矩形

C有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形

D.對角線相等的四邊形是矩形

3.（2019天津）如圖，四邊形/8（7）為菱形，彳，8兩點的坐標分別是（2,0）,（0］）,

點（‘，/）在坐標軸上，則菱形力灰。的周長等于

B.4石C.4石

4.（2019?安徽）如圖，在正方形4以7）中，點￡,/,將對角線4c三等分，且/C=12,

點P在正方形的邊上，則滿足/%+//=9的點P的個數是

B.4C.6

5.（2019?鹽城）如圖，點〃、芥分別是△”（'邊/訊/”.的中點，"=3,則

的長為

6.（2019?廣東）一個多邊形的內角和是1080°,這個多邊形的邊數是.

7.（2019?新疆）五邊形的內角和為

8.（2019?天津）如圖，正方形紙片4*7）的邊長為12,￡是邊（7）上一點，連

接力從折疊該紙片，使點A落在,4芯上的G點，并使折痕經過點B，得到折痕8”，

點/,,在4/上.若。￡=5,則G/：?的長為

9.（2019?浙江杭州）如圖，把某矩形紙片/灰7）沿"、G“折疊（點E、〃在

邊上，點/?'、G在8（'邊上），使得點8、點（'落在//）邊上同一點〃處，A

點的對稱點為/點，/）點的對稱點為"點，若N">G=90。，△//：/，的面積為4,

△O7W的面積為1,則矩形48（7）的面積等于

10.（2019?長沙）如圖，要測量池塘兩岸相對的48兩點間的距離，可以在池

塘外選一點（'，連接4gBC,分別取8（'的中點/）,E,測得。￡=50m,

則的長是

II.（2019?福建）如圖，點￡、“分別是矩形力8（'/）的邊加入（7）上的一點，且

DF=B￡.求證:AI-=CE.

12.(2019?江西)如圖，四邊形/8C。中,AB=CD,A1)=HC,對角線/(',BD

相交于點且(〃=<〃)求證：四邊形,4"7)是矩形.

13.(2019安徽)如圖，點/：,在0/8(7)內部，AF//BE,DF//CE.

(1)求證：△欣五且△/〃/??；

(2)設048(7)的面積為S,四邊形的面積為7；求號的值

14.(2019杭州)如圖，已知正方形4出7)的邊長為1,正方形CEl-G的面積為4,

點?在C。邊上，點G在水.的延長線上，設以線段/。和/)/:.為鄰邊的矩形的

面積為星，且*=星.

(I)求線段cz.的長；

(2)若點〃為“邊的中點，連結〃/),求證：HD=HG.

15.（2019?山東濱州）如圖，矩形48（。中，點/:,在邊（7）上，將△8（7:,沿用:折

疊，點（.落在//）邊上的點/.處，過點/??作/。〃。）交朋.于點G,連接（5

（1）求證：四邊形（下/靖是菱形；

（2）若,48=6,4。=10,求四邊形（7/（；的面積.

16.（2019?甘肅）如圖，在正方形48（7）中，點“是8（'的中點，連接過

點力作AGLED交DE于點/-,交CD于點（；.

（1）證明：4ADG出ADCE；

（2）連接證明：.48=/8.

17.（2019?云南）如圖,四邊形/以。中，對角線.4（'、8Q相交于點。,AO=OC,

HOOD,且/(?//).

（1）求證：四邊形/%7）是矩形;

(2)若NA()B：NO/)C=4：3,求N4X)的度數.

D

專題三圓

1.（2019?福建）如圖，PA、PB是00切線，A、B為切點，點C在?0上，且

A.550B.7O0C.11O0D.1250

2.（2019?重慶）如圖,AB是。O的直徑,AC是00的切線,A為切點,若/C=40。,

則/B的度數為

C.4O0D.3O0

3.（2019?長沙）一個扇形的半徑為6,圓心角為120。，則該扇形的面積是

A.27cB.4nC.12HD.247r

4.（2019?甘肅）如圖，AB是。0的直徑，點C、D是圓上兩點，且NAOC=126。,

則NCDB=

A.540B.640C.270D.37°

為位上的一點（點

5.（2019?成都）如圖，正五邊形ABCDE內接于。O,PP

不與點D重合），則NCPD的度數為

A.3O0B.36°C.60°D.72°

6.（2019?金華）如圖物體由兩個圓錐組成.其主視圖中，NA=90。，ZABC=IO50,

若上面圓錐的側面積為1,則下面圓錐的側面積為

3

B.石D.&

A.2C.2

7.（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧,點O是這段弧所

在圓的圓心，AB=40m,點C是48的中點，且CD=10m,則這段彎路所在圓的

B.24mC.30mD.60m

8.（2019?山西）如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=2百,BC=2,以AB

的中點O為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點D,則圖中陰影部分的面積

57T5+冗n

A.42B.42C.2^-nD.4^-2

9.（2019?黃岡）用一個圓心角為120。，半徑為6的扇形做一個圓錐的惻面，則

這個圓錐的底面圓的面積為.

10.（2019?安徽）如圖，AABC內接于。O,ZCAB=30°,ZCBA=45°,CD±AB

于點D,若。O的半徑為2,則CD的長為.

II.（2019?杭州）如圖是一個圓錐形冰淇淋外殼（不計厚度），已知其母線長為

12cm,底面圓半徑為3cm,則這個冰淇淋外殼的側面積等于cm2（結

果精確到個位）.

12.（2019?福建）如圖，邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的。O的圓心

重合，E、F分別是AD、BA的延長與。。的交點，則圖中陰影部分的面積是

.（結果保留兀）

13.（2019?河南）如圖，在扇形AOB中，NAOB=120。，半徑OC交弦AB于點

D,且OC_LOA.若OA=2G,則陰影部分的面積為.

14.（2019?重慶）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=4,AD=2上，以點A為圓

心，AB長為半徑畫弧，交CD于點E,交AD的延長線于點F,則圖中陰影部

分的面積是.

15.（2019?廣西）《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學

專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算術》中記

載有一問題.'今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問

徑幾何？“小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為

1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.

16.（2019?福建）如圖，四邊形ABCD內接于。O,AB=AC,AC1BD,垂足為

E,點F在BD的延長線上，且DF=DC,連接AF、CF.

(1)求證：ZBAC=2ZCAD；

(2)若AF=IO,BC=4后，求tan/BAD的值.

17.（2019?河南）如圖,在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB為直徑的半

圓。交AC于點D,點E是筋上不與點B,D重合的任意一點，連接AE交BD

于點F,連接BE并延長交AC于點G.

（1）求證：z!\ADFgA^DG；

（2）填空：

①若AB=4,且點E是筋的中點，則DF的長為;

②取就的中點H,當/EAB的度數為時，四邊形OBEH為菱形.

18.（2019?濱州）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的（DO分別與BC,

AC交于點D,E,過點D作DF_LAC,垂足為點F.

（I）求證：直線DF是。。的切線;

(2)求證：BC2=4CFAC;

（3）若。。的半徑為4,ZCDF=I5°,求陰影部分的面積.

專題一三角形參考答案

1.（2019?金華）【答案】C

【解析】由三角形三邊關系定理得：5-3<a<5+3,即2<a<8,即符合的只有3,

故選C.

2.（2019?杭州）【答案】D

【解析】如圖，,.?N/+/B+/CG80。，.,.2/（'=180。，

...△/!伙'是直角三角形，故選D.

3.（2019?河南）【答案】A

【解析】如圖，連接//C,則

B

'：A1)//BC,:.NFA()=NBCQ

NFAO=NBCO

在△/?YM與△/)「中，=,：.^1'OA^^BOC(ASA),

AAOF=NCOB

:"F=BC=3,：.IC=AF=3,l-1)=AD-AF=4-3=\.

在AFDC中,VZD=90°,:.QP+D產寸C2,.*.CZ)2+12=32,:.CA2a.故選

A.

4.(2019?濰坊)【答案】C

【解析】由作圖步驟可得：0￡是乙仞8的角平分線，

'：OC=OD,()I：=OE,0M=()M,:9△DOE、:.NCESNDEO,

■:NCOE=NDOE,()C=OI),：.CM=DM,OM1CI),

???S*wgFS&emS-Dor尸g()E<M+；()EDM=；(D()E,但不能得出

Z()CD=ZECI),

:.A、B、D選項正確，不符合題意，C選項錯誤，符合題意，故選C

5.(2019?宿遷)【答案】A

【解析】由題意知N/：'=45。，N8=30。，VDE//CH,:.NB"=N￡=45。,

在△CW中，Z.BK1=180°-Ztf-Z/?CT=180°-30°-45°=105°,故選A.

6.(2019?青島)【答案】C

]35°

【解析是△ABC的角平分線二NABIANEBIAQAABC=—,

ZJ/^=ZOT=90°,

：.ZBAI-=ZHE1=9O°-\1.5°,：.AB=BE,：.AI-=EI-,：.A1)=EI),：.Zl)AI-=ZDl：r,

,:N84('=180°-//8('-N('=95°,:.ZBA7>Z?J/>95°,AZCP/：=95°-50°=45°,

故選C

7.（2019?重慶A卷）【答案】B

【解析】如圖，連接（'（"，交8。于點“，過點/）作/）〃_!_8（"于點〃,

'：AI)=AC=2,/)是水‘邊上的中點，.?./)G=//A2,

由翻折知，ABDC@ABDC'BD垂直平分CC,：.DC=DC=2,BC=BC,CM=('>M,

:.A1AAC=D("=2,

"為等邊三角形，:.ZAIX,=Z.ACD=ZCAC=60°,

,:DC=DC,：.ND(1”=ND("C=g、60。=30。，

在RtZkCOM中,Z/JCC=30°,DC=2,：.DM=\,

C'M=GDM=G,.HM=BI)-DM=3-\=2,

在RtA/JA/C中，BC=麗="?+(同=々,

S\B,X.=；HC,/)〃=；Bl)CM,：.yJlDH=3x6,,.BM=BD-DM=3八=2,

在RtACVW中，HC'=,

'：S'^K.=\-BCDH=\-BDCMt：.y/lDH=3x^3,：,DH=—.故選B.

227

8.(2019?濱州)【答案】B

【解析】?:ZA(用=/('()/)=40°,：.ZAO/i+ZAO/)=Z(()1)+AAOI),即

乙4OC=NBOD,

OA=OB

在^AOC和△8。/)中，-ZAOC=NB()D,:.△/()(/△8。/),

oc=on

：.ZOCA=ZODIi,AC=HI),①正確；

/.ZOAC=ZOB/),由三角形的外角性質得：ZAM/i+ZOAC=^AOH+ZOBI),

：.NAMB=ZJOB=40°,②正確;

作571欣于G,CH1.MB于H,如圖所示:

則Z()(；('=N()HD=90°,

ZOCA=N()DB

在ZSOCG和△(〃)〃中，N0GC=NOHD、：.△0CG940DH、：.OG=OH,

OC=()D

MO平分NBA/C,④正確，正確的個數有3個，故選B.

9.(2019?蘭州)【答案】70。

【解析】〈ABnAC,/.ZB=ZC,

VZ/l+ZB+ZC=180o,:.NB=；(180°-40°)=70°.故答案為：70°.

10.(2019?南京)【答案】4<8仁更

3

【解析】作△//?('的外接圓，如圖所示:

?：NB4CNABC,止4,當/比1('=90。時，伙'是直徑最長,

VZC=60°,AZ/I^=30°,：./iC=2A（\AH=>/3AC=4,：.AC=-,

33

當「時，△?（以是等邊三角形，li（'=AC=Ali=4,

必的取值范圍是4<8（?竽，故答案為：4</??苧.

II.（2019?長沙）【答案】100

【解析】?.?點。，/：,分別是，4「，8c的中點，."）/：,是的中位線，

."/，=2/）E=2x50=I00m.

故答案為：100.

12.（2019?成都）【答案】9

NBAD=，CAE

【解析】：.NB=NC,在△/〃/）和△（"中，,=,

NB=NC

二△8/0四△（'/〃，

：.BI）=CE=9,故答案為：9.

13.（2019?北京）【答案】45

【解析】延長加，交格點于。，連接

D

r—▼—▼—、.二二、——?

::p\.^-:

AB

則/^2=12+32=10,:」?+DB2=PB2,：.Z/7W=90°,

NDPB=NPAB+NPBA=45°,

故答案為：45.

14.（2019?威海）【答案】105

【解析】作/足1/8于￡,（7,」<8于,如圖所示,

D

則/兄=(7?',-CFlAli,2(73=90。，-AH,

2

,:AB=BD,DE=CF=-AH-Hl),NBAD=Z.BDA,

UBD=30°,二NBAD=ZBDA=75°,

■:AB//CD,:.ZADC+NBAD=180°,/.Z.ADC=105°,故答案為：105.

15.（2019?南京）【答案】曬

【解析】作/A/_L8（‘于兒如圖所示,

平分45.?嗜=學號,

3

設力r=2x,則81=3x,???MN是/”'的垂直平分線，:,MNIBC,BN=CN=-x.

:?MN〃AE,

=-7?:?NE=x、HE=HN+EN=x,CE=CN-EN=！x,

UNHD322

由勾股定理得：/肝=/m一8/?=/('<'爐，即52-(1x)2=(2x)2-(1X)2,解

汨國

何X=-----9

2

：.AC=2X=410,故答案為：屈.

16.（2019?臨沂）【答案】873

(解析】?:DC±/?C,ZBCD=90°,>/NACB=120°,:./LACD=30°,

如圖，延長（刀到，使。〃=（'/）,

B

*?

fi

VD為AB的中點，AD=BD,

CD=DH

在AADH與△5(7)中,，N4DH=NBDJ:.AADH出△8CL),

AD=fiD

：.AH=H('=4,NH=NBCD=90。,

?；4(77=30°,ACH=y/iAH=4>5,；?('/)=26，

.?.△48('的面積=25力血=2/；、4“26=8>/5,故答案為：86.

17.(2019?廣州)【解析】'：FC//AB,

：.ZA=ZFCE,NADE=NF,

Z=NFCE

所以在△4)K與△('/￡中一^ADE=N*,

DE=El：

：.AADEwAm：.

18.(2019?蘭州)【解析】；BF=Eg

：.BI-+1'C=E('+IC,

：./3C=EJ\

AB=DE

在△48C和△OK/中，?N8=Z/f,

BC=EF

.?.△/fbg△〃/:7「(SAS),

NACB=NDFE,

：.AC//1)I\

19.(2019?山西)【解析】'：AD=BE,

:.AB=ED,

?：AC//EI\

:.NA=NE,

N1=ZF

在△/8C和△￡/)/??中，.乙4=NE,

AB=E1)

：.^ABC^A/：W'(AAS),

：./iC=DF.

20.(2019?南京)【解析】'：DE//BC,CE//AH,

二四邊形DBCE是平行四邊形，

:.BACE,

???/)是49的中點，

:.A1ABD,

：.AI)=EC,

\'CE//A1),

；.NA=NECF,NADF=NE,

：.△/1/)/￡△CA7'.

AH=AD

21.(2019?桂林)【解析】(1)在△/水'與中，,4C=4C

BC=DC

：.^ABC^^ADC(SSS),

二ZBAC^ZDAC,

即/('平分NHW.

(2)由Q)NBAE=/DAE,

HA=DA

在ABAE與△加￡中，得N比1"="ME、

AE=AE

:.△BA124DAE(SAS),

：.BE=DE.

22.(2019?重慶)【解析】(1),:AB=AC,AD1BC于彘D,

:.NBAD=NCAD,ZADC=90°,

又NC=42。，:.N8/4D=N(N/)=90°-42°=48°.

(2)'：AH=AC,4￡>_L5C于點￡>,

:.NBAIANCAD,

'：Et-//AC,

:.NF=NCAD,

：./BAD=NF,

：.AE=1'E.

23.(2019?金華)【解析】如圖所示：

圖1:E尸平分BC圖2：EF1AC圖3:E7唾直平分43

24.（2019?無錫）【解析】(1),:AB=AC,

：.ZECH=ZI)/iC,

HD=CE

在△。以'與△EC8中，，4DBC=NECB,

BC=CB

：.△0/，C空△￡(△.

(2)由(DADBCgAECB,

：.4DCB=NEBC,

：.()B=()C：

25.(2019?溫州)【解析】(1)VCF//AB,

NB=Z/,CD,NBED=//」,

?；4)是8c邊上的中線，8。=CD,

:.△BDEWACDF.

(2),:△BDEWACDF,

：.BE=Cl-'=2,

：.AB=AE+BE=\+2=3.

VADLBC,80=(7),

AC=AB=3.

26.(2019?河北)【解析】/=(//2-1)2+(2〃)2=n4-2u2+1+4n2=n4+2ir+1=(n2+l)

2,,：A=B2,lf>0,

/i-ir+1,

當2〃=8時,n=4,.*.n2+l=42+l=l5；

當n2-l=35時，M+l=37.

故答案為：15；37.

專題二四邊形參考答案

1.（2019?福建）【答案】B

【解析】360。+36。=10,所以這個正多邊形是正十邊形故選B.

2.（2019?重慶）【答案】A

【解析】A.有一個角為直角的平行四邊形是矩形滿足判定條件；B.四條邊都相等

的四邊形是菱形，故B錯誤；C有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C錯

誤；對角線相等且相互平分的四邊形是矩形，則D錯誤；故選A.

3.（2019天津）【答案】C

【解析】?.?菱形48（7）的頂點48的坐標分別為（2,0）,（0,I）,

：.AO=2,（）B=\,AC1BD,

由勾股定理知：AH=XIB（）:+（）A2=Vl2+22=x/5,

?.?四邊形/8CQ為菱形，

：.AB=l）C=BC=Al）=45,

，菱形/*/）的周長為：4石.故選C.

4.（2019安徽）【答案】D

【解析】如圖，過￡點作關于48的對稱點F,則當牝三點共線時/,/9+/平

取最小值，

■:NB4P=45。,ZEAE'=90°,

又,：4E=EF=AE'=4,

：.PE+PI-的最小值為ET=^Al-2+AE'-=V8?+42=病，

?.?滿足/%+/少=9=商，

...在邊AH上存在兩個P點使/%+/少=9,

同理在其余各邊上也都存在兩個/,點滿足條件,

:.滿足PE+PFK的點〃的個數是8,故選D.

5.（2019?鹽城）【答案】D

【解析】,點/人/：,分別是△/1*’的邊及4、8（.的中點，

：.DE是△//“'的中位線，.,./）￡=g/IC=15故選D.

6.（2019?廣東）【答案】8

【解析】設多邊形邊數有x條，

由題意得：180。（x-2）=1080°,

解得尸8,故答案為：8.

7.（2019?新強）【答案】540

【解析】五邊形的內角和為（5-2）*80。=540。.故答案為：540.

8.（2019天津）【答案】49］

（解析］如圖，令4；.與Uh的交點為M.

在正方形4,（7）中，N84AN/A90。，

H

:.NB4M+N"M=90°,

在Rt/\ADE中，AE=\lAD2+DE2=x/12:+52=13,

?由折疊的性質可得,

:.AB=BG,NFB4=NFBG,

二8/垂直平分/G,

：.AM=MG,ZJA/B=90°,

：.ZBAM+ZA/iM^90°,

：.NABM=NE4M,

：.^AHM^/^EAD,

.AMAB.AM\2

''~DE=~AE'??丁=TI'

60-120

,.".AG=—,

12049

；

.,.<￡=13--=7?

9.（2019?浙江杭州）【答案】675+10

【解析】?:A'E〃PF,：.NA'EP=ND'PH,

又?.?//=N4=90°,Z/>Z/J'=90°,:4'EP?AD'PH,

又,：AB=CD,AB=A7,CD=D'P,：.A'P=D'P,

設4P=/)7>=x,

‘：Sm：SEM：1,：.A'E=21)'/^2x,A'ExA'P=^x2xxx=x2=4,

"：x>0,：.x=2,：.A'P=D'P=2,：.A'1>2171^4,

:?EP=xlA'It2+A'P-=V42+22=2>/5,

PH=-EP=75,/.1)H=D'H=-A'P=\,

22

：.Al)=AE+EP+PH+DH=4+275+I=5+3>/5,

:.AB=A'P=2,

；?S宙**BCD=ABxAD=2x（3>/5+5）=6石+10,

10.（2019?長沙）【答案】100

【解析】???點/）,￡分別是“，8「的中點，是的中位線，

.../8=2/）￡=2x50=l00（in）.故答案為：100.

11.（2019?福建）【解析】I四邊形48。是矩形,

:.ND=NB=90°,AIABC,

AD=CB

在和△（跳中，-//）=N8,

DF=BE

/.△/1/?/?（SAS）,

：.Af'=CE.

12.（2019?江西）【解析】?.?四邊形48（7）中，AB=CD,AD=BC,

四邊形AHCD是平行四邊形，

：.AC=2A（）,BIA2OD,

'：OA=OD,：,AC=/iD,

四邊形,48（力是矩形.

13.（2019?安徽）【解析】（I）?.?四邊形/8C）為平行四邊形，.?.4）〃水’，

.?./胡。+48。=180°,

又；A/7//H：,

.../84+48￡=180°,

4BAD+Z.ABE+/￡/“、=Z.I-AD+NBAD+ZABE,

NEBC=ZI-AD,

同理可得：NECB=/IDA,

&BC=/FAD

在ABCE和“DF中，?BC=AD,

NECB=NFDA

.?.△8(力0

(2)連接/〃」，

■:△次