人教A版選擇性必修第二冊第五章

5.3.1函數的單調性

（第2課時）

知識框架背景平均速度瞬時速度割線斜率切線斜率導數的概念及其意義導數的概念導數的幾何意義導數的運算導數的四則運算法則簡單復合函數的導數基本初等函數的導數公式導數在研究函數中的應用函數的單調性函數的極值與最大（小）值知識回顧在某個區間(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增；

在某個區間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.

問題1：函數f(x)的單調性與導函數f′(x)正負之間有何關系？(x1,f(x1))(x0,f(x0))xyO??探究新知問題2：形如

為三次函數，試求函數的單調區間.探究新知例1

求函數的單調區間.解：令，解得，或.對求導數，得

函數的定義域為.單調遞增單調遞減單調遞增和把函數定義域劃分成三個區間，在各個區間的正負，以及的單調性如表所示：所以，在和上單調遞增，在上單調遞減，如圖所示.探究新知追問1：除了用導數法外，還有哪些途徑可以研究函數的單調性，你能比較它們的優缺點嗎？對于且，有函數的定義域為R.（導數法）……不熟悉的、復雜的函數熟悉的、簡單的函數

轉化（定義法）方法提煉追問2：你能總結出利用導數研究函數y=f(x)的單調性的一般步驟嗎？第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性.第2步，求出導數f′(x)的零點；第1步，確定函數f(x)的定義域；探究新知練習：判斷下列函數的單調性，并求出單調區間：

（1）f(x)=3x－x3（2）g(x)=x－2lnx（3）h(x)=ex－x（x>2）g(x)與h(x)在(2,+∞)都是單調遞增，它們增長的方式是否一致？導數的正負反映了函數的增減情況，是否可以用導數判斷函數增減的快慢情況呢？探究新知圖象越來越“平緩”圖象越來越“陡峭”圖象越來越“平緩”方法總結

一般地，設函數y=f(x)，在區間(a,b)上：

如果導數的絕對值越小，函數在區間(a,b)上變化得較慢，函數的圖象就比較“平緩”；反之，如果導數的絕對值越大，函數在區間(a,b)上變化得較快，函數的圖象就比較“陡峭”.函數在某個范圍內變化的快慢與導數的關系：典型例題f(x)與

g(x)圖象之間有何關系？探究新知1.利用導數研究函數y=f(x)的單調性的一般步驟：第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性.第2步，求出導數f′(x)的零點；第1步，確定函數f(x)的定義域；

一般地，設函數y=f(x)，在區間(a,b)上：

如果導數的絕對值越小，函數在區間(a,b)上變化得較慢，函數的圖象就比較“平緩”；反之，如果導數的絕對值越大，函數在區間(a,b)上變化得較快，函數的圖象就比較“陡峭”.2.函數增減的快慢與導數的關系作業布置教科書P97習題5.3第2題、教科書P89練習第3題思考：討論三次函數