2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1—.\

1.已知a=(cost/,sine),b=(cos(-a),sin(-a)),那么〃石=o是a=匕7+^(攵eZ)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.如圖，正方體-的棱長為1,動點E在線段4G上，八"分別是AD、CD的中點，則下列

A.FM"A3,B.存在點E,使得平面8所//平面

C.平面D.三棱錐B-CEE的體積為定值

3.已知定義在R上的奇函數f(x)和偶函數g(x)滿足/(x)+g(x)=a*-a'+2(。＞()且。。1),若g(2)=a,則

函數/(一+2耳的單調遞增區間為()

A.(-1,1)B.(F,1)C.(1,-Hx))D.(-1,+℃)

4.已知/3=485(的+9)卜＞0,/＞0,陷＜|^€/?)的部分圖象如圖所示，則/(x)的表達式是()

37t

A.2cos一1+一B.2cosx+—

24I4

3兀

C.2cos2x--D.2cos—x---

I424

5.若向量五=(0,—2),G=(G,1),則與2記+3共線的向量可以是()

A.(73,-1)B.(-1,73)C.(-73,-1)D-(-1,-73)

6.已知/,機是兩條不同的直線，機J■平面a,則“///a"是"/JL/n”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.設函數/(*)的定義域為R,滿足/(x+2)=2/(x),且當xw(0,2］時,f(x)=-x(x-2).若對任意xe(-OO,m],

40

都有f(x)<—,則m的取值范圍是().

91923

-00,—-00,-----C.(-a),7]D.—00,——

433

8.函數/(x)=Asin(的+。)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與/(x)的圖象交于M,N兩點，且M在V軸

上，則下列說法中正確的是

A.函數f(x)的最小正周期是2兀

B.函數/（x）的圖象關于點（g兀,0）成中心對稱

C.函數/（x）在（-=,-芻）單調遞增

36

D.函數/（X）的圖象向右平移二后關于原點成中心對稱

12

9.在復平面內，復數z=三（i為虛數單位）對應的點位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.當輸入的實數xe［2,3O］時，執行如圖所示的程序框圖，則輸出的X不小于103的概率是（）

11.在區間［-11］上隨機取一個實數左，使直線,y=%（x+3）與圓Y+y2=i相交的概率為（）

1172V2

A.-B.-C.—D.—

2424

Q2

12.設正項等差數列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足S6-2/=2,則0?的最小值為

a2

A.8B.16C.24D.36

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某中學數學競賽培訓班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示,

若甲組5名同學成績的平均數為81,乙組5名同學成績的中位數為73,則x-y的值為.

甲乙

7

727oy

6x85

09

14.已知等差數列{《,}的各項均為正數，6=1,且出+4=6,若〃—4=10,則與一4

15.如圖△ABC是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設近=2瓶,

AB=A，則AEDE的面積為.

16.已知集合A={x|x4l,xeZ},8={x|0W2}，則=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

-23"

17.（12分）已知矩陣4=,的一個特征值為4,求矩陣A的逆矩陣A-、

t1

18.（12分）已知點A為圓C：（x—1『+丁=1上的動點，。為坐標原點，過P（（）,4）作直線。4的垂線（當A、O

重合時，直線Q4約定為＞軸），垂足為以。為極點，N軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求點M的軌跡的極坐標方程；

（\OA\

（2）直線/的極坐標方程為psin夕+§=4,連接04并延長交/于3,求蘇的最大值.

19.（12分）已知橢圓后:，+口=1（。＞。＞0）的右焦點為入，過尸2作左軸的垂線交橢圓E于點A（點A在x軸上

ab~

方），斜率為M左＜0）的直線交橢圓E于A,8兩點，過點A作直線AC交橢圓￡于點C,且直線AC交

N軸于點￡＞.

（b2\\

（D設橢圓E的離心率為e,當點8為橢圓E的右頂點時，。的坐標為0,-—,求e的值.

Ia3J

（2）若橢圓E的方程為］+y2=i,且k〈當,是否存在攵使得及|48|=口。|成立？如果存在，求出攵的值;

如果不存在，請說明理由.

20.(12分)將棱長為2的正方體ABC。-44Gq截去三棱錐2-ACO后得到如圖所示幾何體，。為4G的中點?

(1)求證：08〃平面AC2；

(2)求二面角c—A4-G的正弦值.

/、f/(%),x<3

21.(12分)已知/(x)=|x-l|+l,/=:.

[12-3x,x>3

(1)解不等式2x+3；

(2)若方程E(x)=a有三個解，求實數。的取值范圍.

22.(10分)已知拋物線C：y2=2px(〃>0)上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.

(1)求p的值；

(2)設P(面,%)(0</42)為拋物線G上的動點，過尸作圓(1+1)2+^=1的兩條切線分別與3，軸交于4、B

兩點.求|A@的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由￡石=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結論.

【詳解】

解：因為a=（cosa,sinc）,石=（以）5（一。）,5111（一。））且￡石=0

，coso?cos（-a）+sina*sin（-a）=cos2a-sin2a-cos2a=0.

ITIT

2a=Ikjt±—,解得a=Z4±w（Z￡Z）.

IT

:是a=k兀+巴（ksZ）的必要不充分條件.

4

故選：B.

【點睛】

本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

2.B

【解析】

根據平行的傳遞性判斷A；根據面面平行的定義判斷B；根據線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐B-CE尸以三角

形8CR為底，則高和底面積都為定值，判斷D.

【詳解】

在A中，因為分別是AD,CZ）中點，所以用W//AC〃4￡,故A正確；

在B中，由于直線8尸與平面CGR。有交點，所以不存在點￡，使得平面8EF//平面CG9。，故B錯誤；

在C中，由平面幾何得BMLb,根據線面垂直的性質得出，結合線面垂直的判定定理得出80_1平

面CC7,故C正確；

在D中，三棱錐B-CE尸以三角形8b為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐B-CE尸的體積為定值，故D正

確；

故選：B

【點睛】

本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.

3.D

【解析】

根據函數的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，進而求出。，再根據復合函數的單調性，即可求出結論.

【詳解】

依題意有./■(x)+g(x)=a*-a7+2,①

f(-x)+g(-x)=尸-優+2=—f(x)+g(x),②

①一②得f(x)=ax-ax,g(x)=2,又因為g(2)=a,

所以a=2,/(x)=2'-2r,/(x)在R上單調遞增，

所以函數/(f+2x)的單調遞增區間為(—1,+co).

故選:D.

【點睛】

本題考查求函數的解析式、函數的性質，要熟記復合函數單調性判斷方法，屬于中檔題.

4.D

【解析】

71

由圖象求出A以及函數的最小正周期T的值，利用周期公式可求得①的值，然后將點-,2的坐標代入函

67

數y=/(x)的解析式，結合。的取值范圍求出。的值，由此可得出函數y=/(x)的解析式.

【詳解】

2TV3

由圖象可得A=2,函數y=/(x)的最小正周期為T=2x(0=---=

T2

將點依21代入函數y=/(x)的解析式得/闈=23序2+9)=2,得cos,+?

式717171371771c71

??,——<(p<—,：.——<夕+一<—,貝—=0,(p=——,

2244444

因此，/(%)=2C0S^y-^.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用圖象求三角函數解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

5.B

【解析】

先利用向量坐標運算求出向量2沅+“，然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

?.?慶=（0,-2）,弁

2m+n=（6,—3）

卜1,伺=一￥（后,一3）

故選B

【點睛】

本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定，屬于基礎題，在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應，切

不可錯位.

6.A

【解析】

根據充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.

【詳解】

當mJL平面a時，若/〃a"則成立，即充分性成立，

若LLa則/〃a或/ua,即必要性不成立，

則“/〃a”是充分不必要條件，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題

7.B

【解析】

求出/*）在xe（2〃,2〃+2］的解析式，作出函數圖象，數形結合即可得到答案.

【詳解】

當xe(2〃,2"+2]時，X-2MG(0,2],/(%)=2nf(x-2n)=-2"(x-2n)(x-2n-2),

40

/(x)m"=2",X4<—<8,所以，”至少小于7,此時/(x)=-23(x-6)(x—8)，

令/(》)=當，得-23(X-6)(X-8)=R解得或％=§，結合圖象，故屋?

99^35

故選：B.

【點睛】

本題考查不等式恒成立求參數的范圍，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.

8.B

【解析】

根據函數的圖象，求得函數/(x)=Asin(2x+《)，再根據正弦型函數的性質，即可求解，得到答案.

【詳解】

TT1TT7171

根據給定函數的圖象，可得點C的橫坐標為二，所以=(_：)=u，解得T=1，

32362

所以/(x)的最小正周期T=〃，不妨令A>0,0<。<?,由周期7=%，所以。=2,

又/(4]=0,所以0=。，所以/(x)=Asin[2x+g

Arr(d

-0-2x+—=k7r,keZ,解得犬=必^一生，左eZ當攵=3時，》=《-，即函數/(x)的一個對稱中心為辦°

326

即函數/(%)的圖象關于點「辦成中心對稱.故選B.

【點睛】

本題主要考查了由三角函數的圖象求解函數的解析式，以及三角函數的圖象與性質，其中解答中根據函數的圖象求得

三角函數的解析式，再根據三角函數的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及運算與求解能

力，屬于基礎題.

9.C

【解析】

化簡復數為。+6①、OeR)的形式，可以確定z對應的點位于的象限.

【詳解】

解：復數z==="2=-(2i_/)=-l-2i

II

故復數二對應的坐標為(-1,-2)位于第三象限

故選：C.

【點睛】

本題考查復數代數形式的運算，復數和復平面內點的對應關系，屬于基礎題.

10.A

【解析】

根據循環結構的運行，直至不滿足條件退出循環體，求出x的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結論.

【詳解】

程序框圖共運行3次，輸出的x的范圍是[23,247],

747-1031449

所以輸出的X不小于103的概率為——5.

247-2322414

故選:A.

【點睛】

本題考查循環結構輸出結果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.

11.D

【解析】

利用直線y=A：(x+3)與圓x2+>2=i相交求出實數人的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【詳解】

由于直線丁=左(％+3)與圓f+y2=l相交，則盟_<1,解得—也〈上〈也.

收+144

9也

因此，所求概率為D46.

1---------

24

故選：D.

【點睛】

本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數，考查計算能力，屬于基礎題.

12.B

【解析】

方法一：由題意得56-253=(品-53)-53=2,根據等差數列的性質，得SLSOW-SSS成等差數列，設S3=x(x>0),

則S$—&=x+2,S,-S6=X+4,則支=誓=(%+.+丁尸+竺+822、辟+8=16,

。23%4+。2+/S3xXvX

當且僅當x=4時等號成立，從而必1的最小值為16,故選B.

a2

方法二：設正項等差數列｛“〃｝的公差為d,由等差數列的前〃項和公式及§6-2S3=2,化簡可得

6q+^^4-2(34+^^4)=2,即"=，，貝！J3〃8-=3(%+6d)-=3(%+、)=3“十也十口？鼠.也+8=16,當且

229a2%%23%-123%

僅當3%=吃,即4=2時等號成立,從而各的最小值為16,故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-3

【解析】

根據莖葉圖中的數據，結合平均數與中位數的概念，求出x、y的值.

【詳解】

根據莖葉圖中的數據，得：

甲班5名同學成績的平均數為(x(72+77+80+x+86+90)=81,

解得x=0；

又乙班5名同學的中位數為73,貝ljy=3；

x-y=0-3=-3.

故答案為：-3.

【點睛】

本題考查莖葉圖及根據莖葉圖計算中位數、平均數，考查數據分析能力，屬于簡單題.

14.10

【解析】

設等差數列{4}的公差為d>0,根據q=l,且%+4=/，可得2+6d=l+71,解得d,進而得出結論.

【詳解】

設公差為d,

因為%+4=6，

所以q+d+G+5d=%+7d,

所以d=4=1,

所以=(p-q)d=10xl=10

故答案為：10

【點睛】

本題主要考查了等差數列的通項公式、需熟記公式，屬于基礎題.

15.百

【解析】

根據3個全等的三角形，得到4尸=。6,設A尸=x=DB,求得AO=3x,利用余弦定理求得x,再利用三角形的

面積公式，求得三角形EOF的面積.

【詳解】

由于三角形A3C是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，所以=在三角

形ABD中，ZADB=180-60=120.設A尸=x=,則AD=3x.由余弦定理得13=f一6/cos120°,

解得x=l.所以三角形紅中邊長為2,面積為]x2x2xsin60=6.

故答案為：6

【點睛】

本題考查了等邊三角形的面積計算公式、余弦定理、全等三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

16.{0,1}

【解析】

直接根據集合A和集合B求交集即可.

【詳解】

解：A={x|x〈l,xeZ},

8={x[0<2},

所以4口3={0,1}.

故答案為：{0,1}

【點睛】

本題考查集合的交集運算，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

-A-

.22.

【解析】

根據特征多項式可得/(4)=(4-2)(4-1)-3/=0,可得f=2,進而可得矩陣A的逆矩陣A，

【詳解】

因為矩陣A的特征多項式/(田=(丸-2)(；1-1)一3乙所以/(4)=(4一2)(4-1)-31=0,所以，=2.

-23'

因為A=,且2x1—2x3=T0(),

21

.

一1_13

-3-1--

-44

T-4

I一

所以AT=一11

2--

-222

-4V

一

一

【點睛】

本題考查矩陣的特征多項式以及逆矩陣的求解，是基礎題.

18.(1)Q=4sin6；(2)?通.

8

【解析】

(1)設/的極坐標為(Q,。)，在AOPM中，有夕=4sin。，即可得結果；

⑵設射線。4：0=a,圓C的極坐標方程為夕=2cos8,聯立兩個方程，可求出|叫聯立

/sm,+S=4可得依用，則計算可得靄=%m(2￡+?)+手，利用三角函數的性質可得最值.

6=a?'

【詳解】

（1）設M的極坐標為（p,。），在AOPM中，有夕=4sin。,

???點M的軌跡的極坐標方程為P=4sin0:

(2)設射線。4：0=a,as,-2J,圓C的極坐標方程為。=2cose,

由《得：|OA|=/?|=2cosa,

0=a

psinf(9+—|=4|OB|=02=——4

由)得

I3J?sin|I/，

0=a

\OA\_2cosa

一|OB|一4

sin[a+￡|

1.(叫

=—cosa-sina+—

2I3)

1.(.n.70

=—coscrsinsin?cos—+cos<zsin-

2I3二

1.62

=-sinacosad-----cosa

44

="sin2a+g(cos2a+1)

_1/兀、6

——sin2aH—4-----,

4I3)8

Qa，等)

2兀△兀4兀

-----<2aH—<—

3339

???當2a+安，即a*時，儡)2+下）

8，

【點睛】

本題考查極坐標方程的應用，考查三角函數性質的應用，是中檔題.

19.(1)e=~；(2)不存在，理由見解析

2

【解析】

(b2}

(D寫出A4一,根據AD_LAB,斜率乘積為-1,建立等量關系求解離心率;

a

(2)寫出直線A8的方程，根據韋達定理求出點8的坐標，計算出弦長|A8|,根據垂直關系同理可得|AC|,利用等

式及|AB|=|Aq即可得解.

【詳解】

(1)由題可得Ac,—,過點A作直線AC交橢圓￡于點C,且直線AC交>軸于點O.

a

（h21

點B為橢圓E的右頂點時，。的坐標為0,——-a

（a3

ABLAC即AD_LAB,

I

a

kk--11~o

KADKAB_，a3a.a__j

0-cc-a

化簡得：2c2一3。。+。2=（）,

即2/—3e+l=0,解得c或e=l(舍去),

2

所以e=：；

2

(2)橢圓E的方程為與+>2=1,

kx-k+-^-,后

由(1)可得A,AB-.y

22

也

y-kx-k+

2

聯立得：（1+2后2）d-2A:（2jl-&）x+2公一20k-l=O,

X2，,

—+V=1

I2

設B的橫坐標與，根據韋達定理1xXB=2嚴;:祟-1

2k2-2y/2k-\

即4k一旦

1+2公2

所以|AB|=JiTF忖7=一加芯,：片

同理可得|AC|=-?史

1+2I

若存在A使得及|AB|=|AC|成立,

則-密品荷票,

化簡得：/公+左+痣=0，/<0,此方程無解，

所以不存在Z使得0149|=IAC|成立.

【點睛】

此題考查求橢圓離心率，根據直線與橢圓的位置關系解決弦長問題，關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋

達定理在解決解析幾何問題中的應用.

20.(1)見解析；(2)B.

3

【解析】

(D取AC的中點連接8M、DM,連接BQ-證明出四邊形MBOA為平行四邊形，可得出OW/MA，然

后利用線面平行的判定定理可證得結論；

(2)以點4為坐標原點，AA、44、4A所在直線分別為％、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可

求得二面角c-A2-G的余弦值，進而可求得其正弦值.

【詳解】

(1)取AC中點/，連接MO、BM.RM,

?.?AA〃CC|且M=CG，；?四邊形MG。為平行四邊形，.?.4。〃4。|且4。=46,

???0、M分別為4G、4。中點，，4〃〃4。且4知=4。，

則四邊形A410M為平行四邊形，,OM〃AA且。例=AA1，

???A4,HBB\且A4,=84,OMHBB、且OM=BB],

所以，四邊形85QM為平行四邊形，二臺加〃。。且6M=。2，

四邊形MBOB、為平行四邊形，.1OB//D.M,

MD】cz平面ACO|,OBZ平面ACZ）,,OB//平面ACD,

(2)以點4為坐標原點，AD、4與、4A所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系4一孫z,

則。(2,2,2)、4(0,0,2)、C,(2,2,0),D,(2,0,0),

麗=（2,0,—2）,/=（2,2,0）,萌=（0,2,0）,

設平面的法向量為五=(%,y,zj,

m-AC-0戶1+2必=0

傳3—24=0?取玉=1,貝！lx=-1Z1=l,.?.：〃=（1,一1,1）,

海?西'=0

設平面AAG的法向量為7=(9,%,Z2),

2y2=0

n-D{C}=0得鼠g=。'取—°,

由z2=1,=（1,0,1）,

n-AD1=0

-一m-n2V6

cos<m-n>=...=-j=_-j==—,sin<m,n>=Jl-cos2<m,n>=，

|m|-|n|v3x5/23

3

因此，二面角c—AA—G的正弦值為3.