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文檔簡介
2024屆六安市重點中學高三第二學期第一次檢測試題數學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《周易》歷來被人們視作儒家群經之首,它表現了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識,是中華人文文化的基礎,它反映出中國古代的二進制計數的思想方法.我們用近代術語解釋為:把陽爻“-”當作數字“1”,把陰爻“--”當作數字“0”,則八卦所代表的數表示如下:卦名符號表示的二進制數表示的十進制數坤0000震0011坎0102兌0113依此類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號“”表示的十進制數是()A.18 B.17 C.16 D.152.設為非零實數,且,則()A. B. C. D.3.命題“”的否定為()A. B.C. D.4.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.25.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.6.已知雙曲線的一個焦點為,且與雙曲線的漸近線相同,則雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.7.設函數定義域為全體實數,令.有以下6個論斷:①是奇函數時,是奇函數;②是偶函數時,是奇函數;③是偶函數時,是偶函數;④是奇函數時,是偶函數⑤是偶函數;⑥對任意的實數,.那么正確論斷的編號是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤8.若實數滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.29.已知是雙曲線的左、右焦點,是的左、右頂點,點在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.10.設正項等比數列的前n項和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.211.根據如圖所示的程序框圖,當輸入的值為3時,輸出的值等于()A.1 B. C. D.12.在四邊形中,,,,,,點在線段的延長線上,且,點在邊所在直線上,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數f(x)=x2﹣xlnx的圖象在x=1處的切線方程為_____.14.已知為雙曲線的左、右焦點,過點作直線與圓相切于點,且與雙曲線的右支相交于點,若是上的一個靠近點的三等分點,且,則四邊形的面積為_______.15.如圖,在正四棱柱中,P是側棱上一點,且.設三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.16.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,為直線上動點,過點作拋物線:的兩條切線,,切點分別為,,為的中點.(1)證明:軸;(2)直線是否恒過定點?若是,求出這個定點的坐標;若不是,請說明理由.18.(12分)在直角坐標系中,圓C的參數方程(為參數),以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓C的極坐標方程;(2)直線l的極坐標方程是,射線與圓C的交點為O、P,與直線l的交點為Q,求線段的長.19.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長度;(2)在線段BC上取一點P(點P與點B,C不重合),從點P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問點P在何處時,α+β最小?21.(12分)已知點為橢圓上任意一點,直線與圓交于,兩點,點為橢圓的左焦點.(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.22.(10分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應的特征向量.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】
由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數字010001,將其轉化為十進制數即可.【題目詳解】由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數字010001,轉化為十進制數的計算為1×20+1×24=1.故選:B.【題目點撥】本題主要考查數制是轉化,新定義知識的應用等,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、C【解題分析】
取,計算知錯誤,根據不等式性質知正確,得到答案.【題目詳解】,故,,故正確;取,計算知錯誤;故選:.【題目點撥】本題考查了不等式性質,意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.3、C【解題分析】
套用命題的否定形式即可.【題目詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【題目點撥】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎題.4、A【解題分析】
根據向量投影的定義,即可求解.【題目詳解】在上的投影為.故選:A【題目點撥】本題考查向量的投影,屬于基礎題.5、B【解題分析】設折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設可得,所以四棱錐的體積,應選答案B.6、B【解題分析】
根據焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程,結合焦點坐標求解.【題目詳解】∵雙曲線與的漸近線相同,且焦點在軸上,∴可設雙曲線的方程為,一個焦點為,∴,∴,故的標準方程為.故選:B【題目點撥】此題考查根據雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程,易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.7、A【解題分析】
根據函數奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性并證明.【題目詳解】當是偶函數,則,所以,所以是偶函數;當是奇函數時,則,所以,所以是偶函數;當為非奇非偶函數時,例如:,則,,此時,故⑥錯誤;故③④正確.故選:A【題目點撥】本題考查了函數的奇偶性定義,掌握奇偶性定義是解題的關鍵,屬于基礎題.8、C【解題分析】
作出可行域,直線目標函數對應的直線,平移該直線可得最優解.【題目詳解】作出可行域,如圖由射線,線段,射線圍成的陰影部分(含邊界),作直線,平移直線,當過點時,取得最大值1.故選:C.【題目點撥】本題考查簡單的線性規劃問題,解題關鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個封閉圖形.9、D【解題分析】
根據為等腰三角形,可求出點P的坐標,又由的斜率為可得出關系,即可求出漸近線斜率得解.【題目詳解】如圖,因為為等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質,屬于中檔題.10、D【解題分析】
由得,又,兩式相除即可解出.【題目詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項等比數列得,∴,故選:D.【題目點撥】本題主要考查等比數列的性質的應用,屬于基礎題.11、C【解題分析】
根據程序圖,當x<0時結束對x的計算,可得y值.【題目詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時x>0繼續運行,x=1-2=-1<0,程序運行結束,得,故選C.【題目點撥】本題考查程序框圖,是基礎題.12、A【解題分析】
依題意,如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系,表示出點的坐標,根據求出的坐標,求出邊所在直線的方程,設,利用坐標表示,根據二次函數的性質求出最大值.【題目詳解】解:依題意,如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系,由,,,,,,,因為點在線段的延長線上,設,解得,所在直線的方程為因為點在邊所在直線上,故設當時故選:【題目點撥】本題考查向量的數量積,關鍵是建立平面直角坐標系,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、x﹣y=0.【解題分析】
先將x=1代入函數式求出切點縱坐標,然后對函數求導數,進一步求出切線斜率,最后利用點斜式寫出切線方程.【題目詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0.故答案為:x﹣y=0.【題目點撥】本題考查利用導數求切線方程的基本方法,利用切點滿足的條件列方程(組)是關鍵.同時也考查了學生的運算能力,屬于基礎題.14、60【解題分析】
根據題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長度,再根據計算求解即可.【題目詳解】如圖所示:設雙曲線的半焦距為.因為,,,所以由勾股定理,得.所以.因為是上一個靠近點的三等分點,是的中點,所以.由雙曲線的定義可知:,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為:60【題目點撥】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法,需要根據雙曲線的定義表示各邊的長度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關系.屬于難題.15、【解題分析】
設正四棱柱的底面邊長,高,再根據柱體、錐體的體積公式計算可得.【題目詳解】解:設正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【題目點撥】本題考查柱體、錐體的體積計算,屬于基礎題.16、【解題分析】
先求角,再用余弦定理找到邊的關系,再用基本不等式求的范圍即可.【題目詳解】解:所以三角形周長故答案為:【題目點撥】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件;基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)直線過定點.【解題分析】
(1)設出兩點的坐標,利用導數求得切線的方程,設出點坐標并代入切線的方程,同理將點坐標代入切線的方程,利用韋達定理求得線段中點的橫坐標,由此判斷出軸.(2)求得點的縱坐標,由此求得點坐標,求得直線的斜率,由此求得直線的方程,化簡后可得直線過定點.【題目詳解】(1)設切點,,,∴切線的斜率為,切線:,設,則有,化簡得,同理可的.∴,是方程的兩根,∴,,,∴軸.(2)∵,∴.∵,∴直線:,即,∴直線過定點.【題目點撥】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查直線過定點問題,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于中檔題.18、(1);(2)2【解題分析】
(1)首先利用對圓C的參數方程(φ為參數)進行消參數運算,化為普通方程,再根據普通方程化極坐標方程的公式得到圓C的極坐標方程.(2)設,聯立直線與圓的極坐標方程,解得;設,聯立直線與直線的極坐標方程,解得,可得.【題目詳解】(1)圓C的普通方程為,又,所以圓C的極坐標方程為.(2)設,則由解得,,得;設,則由解得,,得;所以【題目點撥】本題考查圓的參數方程與普通方程的互化,考查圓的極坐標方程,考查極坐標方程的求解運算,考查了學生的計算能力以及轉化能力,屬于基礎題.19、(1)見解析;(2)【解題分析】
(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標系,求平面的一個法向量與平面的一個法向量,再利用向量數量積運算即可.【題目詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因為,所以平面,又平面,所以.(2)設,,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點,為的中點,所以平行且相等,從而平面,又,所以,,兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標系,,,由平面幾何知識,得.則,,,,所以,,.設平面的法向量為,由,可得,令,則,,所以.同理,平面的一個法向量為.設平面與平面所成角為,則,所以.【題目點撥】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重點考查了空間向量的應用,屬中檔題.20、(1);(2)當BP為cm時,α+β取得最小值.【解題分析】
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設BC=x,根據得到,解得答案.(2)設BP=t,則,故,設,求導得到函數單調性,得到最值.【題目詳解】(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設BC=x,則,化簡得,解之得,或(舍),(2)設BP=t,則,,設,,令f'(t)=0,因為,得,當時,f'(t)<0,f(t)是減函數;當時,f'(t)>0,f(t)是增函數,所以,當時,f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因為恒成立,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因為y=tanx在上是增函數,所以當時,α+β取得最小值.【題目點撥】本題考查了三角恒等變換,利用導數求最值,意在考查學生的計算能力和應用能力.21、(1)證明見解析;(2)是,理由見解析.【解題分析】
(1)根據判別式即可證明.(2)根據向量的數量積和韋達定理即可證明,需要分類討論,【題目詳解】解:(1)當時直線方程為或,直線與橢圓相切.當時,由得,由題知,,即,所以.故直線與橢圓相切.(2)設,,當時,,,,所以,即.當時,由得,則,,.因為.所以,即.故為定值.【題目點撥】本題考查橢圓的
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