遼寧省北票市桃園中學2024屆高三第一次摸底數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設i是虛數單位，若復數是純虛數，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．2．設函數（，）是上的奇函數，若的圖象關于直線對稱，且在區間上是單調函數，則（）A． B． C． D．3．設等比數列的前項和為，若，則的值為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為()A． B． C． D．5．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．6．已知等差數列的前項和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．407．已知，，，則（）A． B．C． D．8．已知,則()A． B． C． D．9．如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，異面直線SC與OE所成角的正切值為（）A． B． C． D．10．已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是A． B． C． D．12．的展開式中含的項的系數為（）A． B．60 C．70 D．80二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.14．設，則“”是“”的__________條件.15．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為．16．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級。參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數區間，得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分，該學科C+等級的原始分分布區間為58～69，則該同學化學學科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉換分區間為61～70，那么該同學化學學科的轉換分為：設該同學化學科的轉換等級分為x，69-6565-58=70-x四舍五入后該同學化學學科賦分成績為67.（1）某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布ξ～N(60,12（i）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為B+，其所在原始分分布區間為82～93，求小明轉換后的物理成績；（ii）求物理原始分在區間(72,84)的人數；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記X表示這4人中等級成績在區間[61,80]的人數，求X的分布列和數學期望.（附：若隨機變量ξ～N(μ,σ2)，則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68218．（12分）某精密儀器生產車間每天生產個零件，質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據多年的生產數據和經驗，這些零件的長度服從正態分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數為，求及的數學期望；（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機變量服從正態分布，則．19．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.21．（12分）如圖，已知拋物線：與圓：（）相交于，，，四個點，（1）求的取值范圍；（2）設四邊形的面積為，當最大時，求直線與直線的交點的坐標.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

整理復數為的形式,由復數為純虛數可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【題目詳解】由題,,因為純虛數,所以,則,故選:D【題目點撥】本題考查已知復數的類型求參數范圍,考查復數的除法運算.2、D【解題分析】

根據函數為上的奇函數可得，由函數的對稱軸及單調性即可確定的值，進而確定函數的解析式，即可求得的值.【題目詳解】函數（，）是上的奇函數，則，所以.又的圖象關于直線對稱可得，，即，，由函數的單調區間知，，即，綜上，則，.故選：D【題目點撥】本題考查了三角函數的圖象與性質的綜合應用，由對稱軸、奇偶性及單調性確定參數，屬于中檔題.3、C【解題分析】

求得等比數列的公比，然后利用等比數列的求和公式可求得的值.【題目詳解】設等比數列的公比為，，，，因此，.故選：C.【題目點撥】本題考查等比數列求和公式的應用，解答的關鍵就是求出等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.4、B【解題分析】

根據焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結合焦點坐標求解.【題目詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標準方程為.故選：B【題目點撥】此題考查根據雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.5、D【解題分析】

利用函數的單調性、不等式的基本性質即可得出.【題目詳解】∵，∴，，，.故選：D.【題目點撥】本小題主要考查利用函數的單調性比較大小，考查不等式的性質，屬于基礎題.6、C【解題分析】

設出等差數列的首項和公差，即可根據題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得．【題目詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式的求法和應用，涉及等差數列的前項和公式的應用，屬于容易題．7、C【解題分析】

利用二倍角公式,和同角三角函數的商數關系式,化簡可得,即可求得結果.【題目詳解】，所以，即.故選:C.【題目點撥】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數,難度較易.8、B【解題分析】

利用誘導公式以及同角三角函數基本關系式化簡求解即可．【題目詳解】，本題正確選項：【題目點撥】本題考查誘導公式的應用，同角三角函數基本關系式的應用，考查計算能力．9、D【解題分析】

可過點S作SF∥OE，交AB于點F，并連接CF，從而可得出∠CSF（或補角）為異面直線SC與OE所成的角，根據條件即可求出，這樣即可得出tan∠CSF的值.【題目詳解】如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF（或補角）即為異面直線SC與OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故選：D.【題目點撥】本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角的關系，平行線分線段成比例的定理，考查了計算能力，屬于基礎題.10、A【解題分析】

根據指數型函數所過的定點，確定，再根據條件，利用基本不等式求的最小值.【題目詳解】定點為,，當且僅當時等號成立，即時取得最小值.故選：A【題目點撥】本題考查指數型函數的性質，以及基本不等式求最值，意在考查轉化與變形，基本計算能力，屬于基礎題型.11、B【解題分析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據三視圖進行調整.12、B【解題分析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【題目詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數為．故選：B【題目點撥】本題考查了二項式系數的求解，考查了學生綜合分析，數學運算的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據雙曲線方程，設及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結合平面向量數量積的坐標運算化簡，即可求得的值，進而求得離心率即可.【題目詳解】設點，，則，即，∵，，，當時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【題目點撥】本題考查了雙曲線與向量的綜合應用，由平面向量數量積的最值求離心率，屬于中檔題.14、充分必要【解題分析】

根據充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關系.【題目詳解】當時，有，故“”是“”的充分條件.當時，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來判斷，也可以根據兩個條件構成命題及逆命題的真假來判斷，還可以利用兩個條件對應的集合的包含關系來判斷，本題屬于容易題.15、【解題分析】由已知，即，取雙曲線頂點及漸近線，則頂點到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.16、2【解題分析】

作出可行域，平移基準直線到處，求得的最小值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準直線到處時，取得最小值為.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查線性規劃求最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)（i）83.;（ii）272.(2)見解析.【解題分析】

（1）根據原始分數分布區間及轉換分區間，結合所給示例，即可求得小明轉換后的物理成績；根據正態分布滿足N60,122（2）根據各等級人數所占比例可知在區間61,80內的概率為25，由二項分布即可求得X【題目詳解】（1）（i）設小明轉換后的物理等級分為x，93-8484-82求得x≈82.64.小明轉換后的物理成績為83分；（ii）因為物理考試原始分基本服從正態分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在區間72,84的人數為2000×0.136=272（人）；（2）由題意得，隨機抽取1人，其等級成績在區間61,80內的概率為25隨機抽取4人，則X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列為X01234P812162169616數學期望EX【題目點撥】本題考查了統計的綜合應用，正態分布下求某區間概率的方法，分布列及數學期望的求法，文字多，數據多，需要細心的分析和理解，屬于中檔題。18、（1）見解析（2）需要，見解析【解題分析】

（1）由零件的長度服從正態分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【題目詳解】（1）,由于滿足二項分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【題目點撥】本題考查正態分布的應用,考查二項分布的期望,考查補集思想的應用,考查分析能力與數據處理能力.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正方形的性質得出，由平面得出，進而可推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【題目詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，在中，，，，、、、，設平面的一個法向量，，，由，得，令，則，，.設平面的一個法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）取中點連接，得，可得，可證，可得，進而平面，即可證明結論；（2）設分別為邊的中點，連，可得，，可得（或補角）是異面直線與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設，求解，即可得出結論.【題目詳解】（1）證明:取中點連接，由則，則，故，，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設分別為邊的中點，則，（或補角）是異面直線與所成的角.設為邊的中點，則，由知.又由（1）有平面，平面，所以為二面角的平面角，，設則在中，從而在中，，又，從而在中，因，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點作交于點由（1）易知兩兩垂直，以為原點，射線分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系.不妨設，由，易知點的坐標分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為，設，則設平面的法向量為，則令，則由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【題目點撥】本題考查空間點、線、面位置關系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空間角對應的平面角是解題的關鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.21、（1）（2）點的坐標為【