2023-2024學年江西省宜春市高安市高安中學數學九年級第一學期期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點在的斜邊上，、交于，若，，則的長為（）A． B． C． D．2．如圖，路燈距離地面8米，若身高1.6米的小明在距離路燈的底部（點O）20米的A處，則小明的影子AM的長為（）A．1.25米 B．5米 C．6米 D．4米3．拋物線與軸交于、兩點，則、兩點的距離是（）A． B． C． D．4．已知拋物線在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結論中，正確的是（）A． B． C． D．5．順次連接菱形各邊中點得到的四邊形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定6．已知是的反比例函數，下表給出了與的一些值，表中“▲”處的數為（）▲A． B． C． D．7．對于反比例函數，下列說法不正確的是A．圖象分布在第二、四象限B．當時，隨的增大而增大C．圖象經過點（1,-2）D．若點，都在圖象上，且，則8．如圖，在矩形中，，垂足為，設，且，則的長為（）A．3 B． C． D．9．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．10．如圖，是坐標原點，菱形頂點的坐標為，頂點在軸的負半軸上，反比例函數的圖象經過頂點，則的值為（）A． B． C． D．11．拋物線與坐標軸的交點個數是（）A．3 B．2 C．1 D．012．在平面直角坐標系xoy中，△OAB各頂點的坐標分別為：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原點O為位似中心，相似比為2，將△OAB放大，若B點的對應點B′的坐標為（﹣6，0），則A點的對應點A′坐標為（）A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）二、填空題（每題4分，共24分）13．正方形ABCD的邊長為4,圓C半徑為1，E為圓C上一點，連接DE，將DE繞D順時針旋轉90°到DE’，F在CD上，且CF=3，連接FE’，當點E在圓C上運動，FE’長的最大值為____.14．如圖，某艦艇上午9時在A處測得燈塔C在其南偏東75°方向上，且該艦艇以每小時10海里的速度沿南偏東15°方向航行，11小時到達B處，在B處測得燈塔C在北偏東75°方向上，則B處到燈塔C的距離為________海里.15．分解因式：．16．已知，那么=______．17．如果一元二次方程經過配方后，得，那么a=________.18．如圖，點A（m，2），B（5，n）在函數（k＞0，x＞0）的圖象上，將該函數圖象向上平移2個單位長度得到一條新的曲線，點A、B的對應點分別為A′、B′．圖中陰影部分的面積為8，則k的值為．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為邊CB上的一個動點（點D不與點B重合），過D作DO⊥AB，垂足為O，點B′在邊AB上，且與點B關于直線DO對稱，連接DB′，AD．（1）求證：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求線段BD的長；（3）當△AB′D為等腰三角形時，求線段BD的長．20．（8分）一次知識競賽中，有甲、乙、丙三名同學名次并列，但獎品只有兩份，誰應該得到獎品呢？他們決定用抽簽的方式來決定：取張大小、質地相同，分別標有數字的卡片，充分混勻后倒扣在桌子上，按甲、乙、丙的順序，每人從中任意抽取一張，取后不放回.規定抽到號或號卡片的人得到獎品.求甲、乙兩人同時得到獎品的概率.21．（8分）如圖所示，要在底邊BC=160cm，高AD=120cm的△ABC鐵皮余料上，截取一個矩形EFGH，使點H在AB上，點G在AC上，點E，F在BC上，AD交HG于點M.(1)設矩形EFGH的長HG=ycm，寬HE=xcm.求y與x的函數關系式；(2)當x為何值時，矩形EFGH的面積S最大?最大值是多少?22．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦EF⊥AB于點C，點D是AB延長線上一點，∠A＝30°，∠D＝30°．（1）求證：FD是⊙O的切線；（2）取BE的中點M，連接MF，若⊙O的半徑為2，求MF的長．23．（10分）如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數與(x＞0，0＜m＜n)的圖象上，對角線BD//y軸，且BD⊥AC于點P．已知點B的橫坐標為1．（1）當m=1，n=20時．①若點P的縱坐標為2，求直線AB的函數表達式．②若點P是BD的中點，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．（2）四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m，n之間的數量關系；若不能，試說明理由．24．（10分）如圖所示，點A（，3）在雙曲線y＝上，點B在雙曲線y＝之上，且AB∥x軸，C，D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，求它的面積．25．（12分）如圖，在中，，，以為原點所在直線為軸建立平面直角坐標系，的頂點在反比例函數的圖象上.（1）求反比例函數的解析式：（2）將向右平移個單位長度，對應得到，當函數的圖象經過一邊的中點時，求的值.26．解方程：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0（2）3x2﹣6x﹣2＝0

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】連接BD，自F點分別作，交AD、BD于G、H點，通過證明，可得，根據勾股定理求出AB的長度，再根據角平分線的性質可得，根據三角形面積公式可得，代入中即可求出BF的值．【詳解】如圖，連接BD，自F點分別作，交AD、BD于G、H點∵和都是等腰直角三角形∴在△ECA和△DCB中在Rt△ADB中，∴DF是∠ADB的角平分線∵△ADF底邊AF上的高h與△BDF底邊BF上的高h相同故答案為：B．【點睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質以及判定定理、勾股定理、角平分線的性質、三角形面積公式是解題的關鍵．2、B【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形對應邊成比例可得出小明的影子AM的長．【詳解】如圖，根據題意，易得△MBA∽△MCO，

根據相似三角形的性質可知，即，

解得AM=5m．

則小明的影子AM的長為5米．

故選：B．【點睛】此題考查相似三角形的應用，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式是解題的關鍵．3、B【分析】令y=0，求出拋物線與x軸交點的橫坐標，再把橫坐標作差即可．【詳解】解：令，即，解得，，∴、兩點的距離為1．故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸交點坐標的求法，兩點之間距離的表示方法．4、D【解析】試題分析：由拋物線開口向上可知a>0，故A錯誤；由對稱軸在軸右側，可知a、b異號，所以b<0，故B錯誤；由圖象知當x=1時，函數值y小于0，即a+b+c<0，故C錯誤；由圖象知當x=-2時，函數值y大于0，即4a-2b+c>0，故D正確；故選D考點：二次函數中和符號5、B【分析】菱形的對角線互相垂直，連接個邊中點可得到四邊形的特征．【詳解】解：是矩形．

證明：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵E，F，G，H是中點，

∴EF∥BD，FG∥AC，

∴EF⊥FG，

同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，

∴四邊形EFGH是矩形．

故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質與判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位線定理．6、D【分析】設出反比例函數解析式，把代入可求得反比例函數的比例系數，當時計算求得表格中未知的值.【詳解】是的反比例函數，，，，，當時，，故選：D.【點睛】本題考查了用待定系數法求反比例函數解析式；點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標適合函數解析式，在同一函數圖象上的點的橫縱坐標的積相等．7、D【分析】根據反比例函數圖象的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A.k=?2<0，∴它的圖象在第二、四象限，故本選項正確；B.k=?2<0，當x>0時，y隨x的增大而增大，故本選項正確；C.∵,∴點(1,?2)在它的圖象上，故本選項正確；D.若點A（x1，y1），B（x2，y2）都在圖象上，,若x1<0<x2,則y2<y1，故本選項錯誤.故選:D.【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質，掌握反比例函數的性質是解題的關鍵.8、C【分析】根據同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．【詳解】解：∵DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠ACD=∠ADE=α，

∵矩形ABCD的對邊AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，∵cosα=，，∴AC=．故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，銳角三角函數的定義，同角的余角相等的性質，熟記各性質并求出BC是解題的關鍵．9、B【分析】根據中心對稱圖形的概念和各圖的性質求解．【詳解】A、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故此選項正確；C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：B．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的概念．要注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．10、C【分析】根據點C的坐標以及菱形的性質求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出k的值即可．【詳解】∵，

∴，∵四邊形OABC是菱形，

∴AO=CB=OC=AB=5，

則點B的橫坐標為，

故B的坐標為：，

將點B的坐標代入得，，

解得：．

故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質以及利用待定系數法求反比例函數解析式，解答本題的關鍵是根據菱形的性質求出點B的坐標．11、A【詳解】解：∵拋物線解析式，令，解得：，∴拋物線與軸的交點為（0，4），令，得到，∴拋物線與軸的交點分別為（，0），（1，0）．綜上，拋物線與坐標軸的交點個數為1．故選A．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，解一元一次、二次方程．12、A【分析】根據相似比為2,B′的坐標為（﹣6，0），判斷A′在第三象限即可解題.【詳解】解：由題可知OA′：OA=2:1,∵B′的坐標為（﹣6，0），∴A′在第三象限,∴A′（﹣2，﹣4）,故選A.【點睛】本題考查了圖形的位似,屬于簡單題,確定A′的象限是解題關鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】先作出FE’最大時的圖形,再利用勾股定理即可求解.【詳解】解：如下圖,過點F作FP⊥AB于P,延長DP到點E’，使PE’=1,此時FE’長最大,由題可知,PF=4,DF=1,∴DP==,∴FE’=,故答案是：【點睛】本題考查了圖形的旋轉,圓的基本性質,勾股定理的應用,中等難度,準確找到點P的位置是解題關鍵.14、20【分析】根據題意得出，，據此即可求解．【詳解】根據題意：(海里)，如圖，根據題意：，，∴，，∴，∴，答：B處到燈塔C的距離為海里．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用－方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關知識有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想．15、．【解析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續分解因式．因此，先提取公因式后繼續應用平方差公式分解即可：．考點：提公因式法和應用公式法因式分解．16、【分析】直接把代入解析式，即可得到答案.【詳解】解：∵，∴當時，有；故答案為：.【點睛】本題考查了求函數值，解題的關鍵是熟練掌握函數的解析式.17、-6【解析】∵，∴，∴a=-6.18、2．【解析】試題分析：∵將該函數圖象向上平移2個單位長度得到一條新的曲線，點A、B的對應點分別為A′、B′，圖中陰影部分的面積為8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A（2，2），∴k=2×2=2．故答案為2．考點：2．反比例函數系數k的幾何意義；2．平移的性質；3．綜合題．三、解答題（共78分）19、（1）證明見試題解析；（2）1；（3）．【解析】試題分析：（1）公共角和直角兩個角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，設BD＝x，CD，BD，BO用x表示出來，所以可得BD長.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD長.試題解析：（1）證明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠ACB＝∠DOB＝90°,又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．（2）∵AD平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,∴DO＝DC,在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,∵△DOB∽△ACB,∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,設BD＝x，則DO＝DC＝x，BO＝x,∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝,1，即：BD＝1．（3）∵點B與點B′關于直線DO對稱，∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,∵∠B為銳角，∴∠OB′D也為銳角，∴∠AB′D為鈍角,∴當△AB′D是等腰三角形時，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O＋BO＝10，∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，∴當△AB′D為等腰三角形時，BD＝.點睛：角平分線問題的輔助線添加及其解題模型.①垂兩邊：如圖（1），已知平分，過點作，，則.②截兩邊：如圖（2），已知平分，點上，在上截取，則≌.③角平分線+平行線→等腰三角形：如圖（3），已知平分，，則；如圖（4），已知平分，，則.(1)(2)(3)(4)④三線合一（利用角平分線+垂線→等腰三角形）：如圖（1），已知平分，且，則，.(1)20、【分析】根據題意畫樹狀圖求概率.【詳解】解：根據題意，畫樹狀圖為：三人抽簽共有種結果，且得到每種結果的可能性相同，其中甲和乙都抽到號或號卡片的結果有兩種。甲、乙兩人同時得到獎品的概率為【點睛】本題考查畫樹狀圖求概率，正確理解題意取后不放回并正確畫出樹狀圖是本題的解題關鍵.21、（1）；（2）當x=60時，S最大，最大為4800cm2.【解析】（1）根據矩形的性質可得△AHG∽△ABC，根據相似三角形的性質即可得答案；（2）利用S=xy，把代入得S關于x的二次函數解析式，根據二次函數的性質求出最大值即可.【詳解】解：(1)∵四辺形EFGH是矩形，∴HG∥BC∴ΔAHG∽ΔABC∴，即∴(2)把帶入S=xy，得=當x=60時，S最大，最大為4800cm2.【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質以及二次函數的性質．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．22、（1）見解析；（2）MF＝.【分析】（1）如圖，連接OE，OF，由垂徑定理可知，根據圓周角定理可求出∠DOF=60°，根據三角形內角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD為⊙O的切線；（2）如圖，連接OM，由中位線的性質可得OM//AE，根據平行線的性質可得∠MOB＝∠A＝30°，根據垂徑定理可得OM⊥BE，根據含30°角的直角三角形的性質可求出BE的長，利用勾股定理可求出OM的長，根據三角形內角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF的長即可.【詳解】（1）如圖，連接OE，OF，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴，∴∠DOF＝∠DOE，∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，∴∠DOF＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OFD＝90°，∴OF⊥FD．∴FD為⊙O的切線.（2）如圖，連接OM，MF，∵O是AB中點，M是BE中點，∴OM∥AE．∴∠MOB＝∠A＝30°．∵OM過圓心，M是BE中點，∴OM⊥BE．∴MB=OB=1，∴OM==，∵∠OFD=90°，∠D=30°，∴∠DOF＝60°，∴∠MOF＝∠DOF+∠MOB=90°，∴MF＝＝＝．【點睛】本題考查切線的判定與性質、垂徑定理、三角形中位線的性質及含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解題關鍵.23、（1）①；②四邊形是菱形，理由見解析；（2）四邊形能是正方形，理由見解析，m+n=32.【分析】（1）①先確定出點A，B坐標，再利用待定系數法即可得出結論；

②先確定出點D坐標，進而確定出點P坐標，進而求出PA，PC，即可得出結論；

（2）先確定出B（1，），D（1，），進而求出點P的坐標，再求出A，C坐標，最后用AC=BD，即可得出結論．【詳解】（1）①如圖1，，反比例函數為，當時，，，當時，，，，設直線的解析式為，，，直線的解析式為；②四邊形是菱形，理由如下：如圖2，由①知，，軸，，點是線段的中點，，當時，由得，，由得，，，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）四邊形能是正方形，理由：當四邊形是正方形，記，的交點為，,當時，，，，，，，，，，.【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，正方形的性質，判斷出四