中點四邊形類型一與菱形有關的中點四邊形

1．在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖②，若AC＝BD，則四邊形EFGH的形狀是．【答案】（1）連AC，BD，∵矩形ABCD中，E，F，G，H分別是AD，AB，BC，CD的中點，∴AC＝BD，∵EF為△ABD的中位線，∴EF＝

，EF∥BD，又GH為△BCD的中位線，∴GH=

，GH∥BD，同理FG為△ABC的中位線，∴FG＝

，FG∥AC，EH為△ACD的中位線，∴EH＝

，EH∥AC，∴EF＝GH＝FG＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．（2）菱形．類型二與矩形有關的中點四邊形

2．在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點（1）如圖①，若四邊形ABCD是菱形，求證：四邊形EFGH是矩形；（2）如圖②，若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是______．【答案】（1）連AC，BD，則AC⊥BD，∵F，E是AB和AD的中點，即EF是△ABD的中位線，∴BD∥EF，同理可得：EH∥AC，HG∥BD，FG∥AC，

∴EH∥FG，且EF∥HG．∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EH⊥HG，

即∠EHG＝90°，∴平行四邊形EFGH是矩形．

（2）矩形．類型三與正方形有關的中點四邊形

3．在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點（1）如圖①，若四邊形ABCD是正方形，則四邊形EFGH的形狀是____；（2）如圖②，若AC＝BD，AC⊥BD，求證：四邊形EFGH為正方形．【答案】（1）正方形．（2）∵E，F分別是邊AB，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線．∴EF∥AC，EF＝

．同理HG∥AC，HG＝

．∴EF∥HG，EF＝HG．∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵AC＝BD，EH＝

，∴EF＝EH．∵AC⊥BD，EH∥BD，∴EF⊥EH．∴四邊形EFGH是正方形．類型四與中點四邊形有關的綜合性問題4．如圖所示，點E為AB上一點，以AE，BE為邊在AB同側作等邊△AED

和等邊△BEC，點P，Q，M，N分別是AB，BC，CD，DA的中點．（1）判斷四邊形PNMQ的形狀，并證明；【答案】（1）四邊形PNMQ為菱形．證明如下：連接AC，BD，且AC，BD交于點O．在△AEC與△DEB中，∴△AEC≌△DEB(SAS)．∴AC＝DB，

∵AB，BC，CD，DA的中點分別為P，Q，M，N，∴PQ＝MN＝12AC，PQ∥MN∥AC，∴四邊形PNMQ為平行四邊形，同理MQ＝12BD，∴MQ＝PQ，∴四邊形PNMQ為菱形；

類型四與中點四邊形有關的綜合性問題4．如圖所示，點E為AB上一點，以AE，BE為邊在AB同側作等邊△AED

和等邊△BEC，點P，Q，M，N分別是AB，BC，CD，DA的中點．（2）求∠NPQ的度數．【答案】（2）△ACE≌△DBE，∠CAE＝∠BDE，