1994年普通高等學校招生全國統一考試數學(理工農醫類)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．共150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共65分)一、選擇題：本大題共15小題；第(1)—(10)題每小題4分，第(11)—(15)題每小題5分，共65分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1)設全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，則 ()(A){0}(B){0，1}(C){0，1，4}(D){0，1，2，3，4}(2)如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是 ()(A)(0，+∞)(B)(0，2)(C)(1，+∞)(D)(0，1)(3)極坐標方程所表示的曲線是 ()(A)雙曲線(B)橢圓(C)拋物線(D)圓(4)設θ是第二象限的角，則必有 ()(A)(B)(C)(D)(5)某種細菌在培養過程中，每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個)．經過3小時，這種細菌由1個可繁殖成 ()(A)511個(B)512個(C)1023個(D)1024個(6)在下列函數中，以為周期的函數是 ()(A)y=sin2x+cos4x(B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sin2xcos2x(7)已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為 ()(A)32(B)28(C)24(D)20(8)設F1和F2為雙曲線－y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是 ()(A)1(B)(C)2(D)(9)如果復數z滿足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值是 ()(A)1(B)(C)2(D)(10)有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔．從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法共有 ()(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種(11)對于直線m、n和平面α、β，α⊥β的一個充分條件是 ()(A)m⊥n，m∥α，n∥β(B)m⊥n，α∩β=m，nα(C)m∥n，n⊥β，mα(D)m∥n，m⊥α，n⊥β(12)設函數f(x)=1－(－1≤x≤0)，則函數y=f－1(x)的圖像是 ()(13)已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是 ()(A)π(B)π(C)4π(D)π(14)函數y=arccos(sinx)的值域是 ()(A)(B)(C)(D)(15)定義在(－∞，+∞)上的任意函數f(x)都可以表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1)，x∈(－∞，+∞)，那么 ()已知函數f(x)=tgx，x∈(0，)．若x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，證明[f(x1)+f(x2)]>f()(23)(本小題滿分12分)如圖，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中點．(1)證明AB1∥平面DBC1；(2)假設AB1⊥BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角α的度數．(24)(本小題滿分12分)已知直線l過坐標原點，拋物線C頂點在原點，焦點在x軸正半軸上．若點和點B(0，8)關于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程．(25)(本小題滿分14分)設{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．(1)寫出數列{an}的前3項；(2)求數列{an}的通項公式(寫出推證過程)；(3)令，求1994年普通高等學校招生全國統一考試數學試題(理工農醫類)參考解答一、選擇題(本題考查基本知識和基本運算)1．C2．D3．D4．A5．B6．D7．B8．A9．A10．C11．C12．B13．D14．B15．C二、填空題(本題考查基本知識和基本運算)16．－18917．x=3，(x－2)2+y2=118．19．20．三、解答題21．本小題考查共軛復數、復數的三角形式等基礎知識及運算能力．解：(1)由z＝1+i，有ω=z2+3－4=(1+i)2+3－4=2i+3(1－i)－4=－1－i，ω的三角形式是．(2)由z=1+i，有=由題設條件知(a+2)－(a+b)i=1－i．根據復數相等的定義，得解得22．本小題考查三角函數基礎知識、三角函數性質及推理能力．證明：tgx1+tgx2=∵x1，x2∈(0，)，x1≠x2，∴2sin(x1+x2)>0，cosx1cosx2>0，且0<cos(x1－x2)<1，從而有0<cos(x1+x2)+cos(x1－x2)<1+cos(x1+x2)，由此得tgx1+tgx2>，∴(tgx1+tgx2)>tg，即[f(x1)+f(x2)]>f()23．本小題考查空間線面關系、正棱柱的性質、空間想象能力和邏輯推理能力．(1)證明：∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四邊形B1BCC1是矩形．連結B1C交BC1于E，則B1E=EC．連結DE．在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．(2)解：作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥面B1BCC1，連結EF，則EF是ED在平面B1BCC1上的射影．∵AB1⊥BC1，由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，則BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．設AC=1，則DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，DF=DC·sinC=，CF=DC·cosC=．取BC中點G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，EF2=BF·GF，又BF=BC－FC=，GF=，∴EF2=·，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．故二面角α為45°．24．本小題考查直線與拋物線的基本概念和性質，解析幾何的基本思想方法以及綜合運用知識解決問題的能力．解法一：依題設拋物線C的方程可寫為y2=2px(p>0)，且x軸和y軸不是所求直線，又l過原點，因而可設l的方程為y=kx(k≠0)． ①設A'、B'分別是A、B關于l的對稱點，因而A'A⊥l，直線A'A的方程為 ②由①、②聯立解得AA'與l的交點M的坐標為．又M為AA'的中點，從而點A'的坐標為xA'=，yA'=．③同理得點B'的坐標為xB'=，yB'=．④又A'、B'均在拋物線y2=2px(p>0)上，由③得，由此知k≠±1，即⑤同理由④得．即．從而=，整理得k2－k－1=0．解得但當時，由③知，這與A'在拋物線y2=2px(p>0)上矛盾，故舍去．設，則直線l的方程為．將代入⑤，求得．所以直線方程為．拋物線方程為．解法二：設點A、B關于l的對稱點分別為A'(x1、y1)、B'(x2，y2)，則|OA'|=|OA|=1，|OB'|=|OB|=8．設由x軸正向到OB'的轉角為α，則x2=8cosα，y2=8sinα． ①因為A'、B'為A、B關于直線l的對稱點，而∠BOA為直角，故∠B'OA'為直角，因此x1=cos=sinα，y1=sin=－cosα，②由題意知x1>0，x2>0，故α為第一象限角．因為A'、B'都在拋物線y2=2px上，將①、②代入得cos2α=2p·sinα，64sin2α=2p·8cosα．∴8sin3α=cos3α，∴2sinα=cosα，解得．將代入cos2α=2psinα得，∴拋物線C的方程為．因為直線l平分∠B'OB，故l的斜率∴直線l的方程為．25．本小題考查等差數列、等比數列、數列極限等基礎知識考查邏輯推理能力和分析問題與解決問題的能力．解：(1)由題意，當n=1時有，S1=a1，∴，解得 a1=2．當n=2時有，S2=a1+a2，a1=2代入，整理得(a2－2)2=16．由a2>0，解得a2=6．當n=3時有，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64．由a3>0，解得a3=10．故該數列的前3項為2，6，10．(2)解法一：由(1)猜想數列{an}有通項公式an=4n－2．下面用數學歸納法證明數列{an}的通項公式是an=4n－2(n∈N)．①當n=1時，因為4×1－2=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結論成立．②假設n=k時結論成立，即有ak=4k－2．由題意，有，將ak=4k－2代入上式，得2k=，解得Sk=2k2．由題意，有，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入，得=2(ak+1+2k2)，整理得－4ak+1+4－16k2=0．由ak+1>0，解得ak+1=2+4k．所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2．這就是說，當n=k+1時，上述結論成立．根據①、②，上述結論對所有的自然數n成立．解法二：由題意，有，整理得Sn=(an+2)2，由此得Sn+1=(an