11/11第三講等差數列數列的概念與簡單表示法教學重難點重點：理解數列的概念，認識數列是反映自然規律的基本數學模型，探索并掌握數列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通項公式）；難點：了解數列是一種特殊的函數；發現數列規律找出可能的通項公式。教學過程Ⅰ.課題導入4，5，6，7，8，9，10．①1，，，，，….②1，0.1，0.01，0.001，0.0001，….③1，1.4，1.41，1.414，….④-1，1，-1，1，-1，1，….⑤2，2，2，2，2，….⑥觀察這些例子，看它們有何共同特點？Ⅱ.講授新課⒈數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列.注意：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；⑵定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.⒉數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n項，….例如，上述例子均是數列，其中①中，“4”是這個數列的第1項（或首項），“9”是這個數列中的第6項.⒊數列的一般形式：，或簡記為，其中是數列的第n項結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義.②中，這是一個數列，它的首項是“1”，“”是這個數列的第“3”項，等等下面我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數列與項的定義，從而發現數列的通項公式）對于上面的數列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：項↓↓↓↓↓序號12345這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式：來表示其對應關系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數列相應的各項結合上述其他例子，練習找其對應關系⒋數列的通項公式：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.注意：⑴并不是所有數列都能寫出其通項公式，如上述數列④；⑵一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是，也可以是.⑶數列通項公式的作用：①求數列中任意一項；②檢驗某數是否是該數列中的一項.數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第項，又是這個數列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項．5.數列與函數的關系數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。反過來，對于函數y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意義，那么我們可以得到一個數列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，…6．數列的分類：1）根據數列項數的多少分：有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6。是有窮數列無窮數列：項數無限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6…是無窮數列2）根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列。遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列。常數數列：各項相等的數列。擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列Ⅲ[范例講解]例1根據下面數列的通項公式，寫出前5項：（1）分析：由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數列的前5項例2寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：（1）1，3，5，7；（2）（3）-，，-，.Ⅳ課堂練習根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：(1)3,5,9,17,33,……；(2),,,,,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；(5)2,－6,12,－20,30,－42,…….等差數列教學重難點重點：理解等差數列的概念及其性質，探索并掌握等差數列的通項公式；會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數列與一次函數之間的聯系。難點：概括通項公式推導過程中體現出的數學思想方法。教學過程[探索研究]由學生觀察分析并得出答案：（放投影片）在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，____,____,____,____,……2012年，在倫敦舉行的奧運會上，女子舉重項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（單位：元）組成了數列：10072，10144，10216，10288，10360。思考：同學們觀察一下上面的這四個數列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看這些數列有什么共同特點呢？（由學生討論、分析）引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：對于數列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-2.5；對于數列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于72；由學生歸納和概括出，以上四個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。[等差數列的概念]對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。提問：如果在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿足什么條件？由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。看來，從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q則[等差數列的通項公式]對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。⑴、我們是通過研究數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義，寫出這四組等差數列的通項公式。引導學生根據等差數列的定義進行歸納：（n-1）個等式（n-1）個等式…所以……思考：那么通項公式到底如何表達呢？……得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數列的通項公式為：也就是說，只要我們知道了等差數列的首項和公差d，那么這個等差數列的通項就可以表示出來了。選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導等差數列的通項公式：（迭加法）：是等差數列，所以……兩邊分別相加得所以（迭代法）：是等差數列，則有……所以2.[例題分析]例1、已知是等差數列，,求數列的公差及通項公式。【變式】已知是等差數列，（1）已知：,求（2）已知：,求。例2、已知是等差數列，若,求。【變式1】在等差數列中，已知則等于（）A.40B.42C.43【變式2】等差數列中，已知為（）A.48B.49C.50D.51【變式3】已知等差數列中，，則的值為（）A．15B．30C．31D．3.課后提高：1、已知等差數列中，，，若，則數列的前5項和等于（）A．30 B．45 C．90 2、已知{an}為等差數列，a3+a8=22，a6=7，則a5=____________3、三個數成等差數列，其和為15，其平方和為83，求此三個數．．4、已知a、b、c成等差數列，求證：b＋c，c＋a，a＋b也成等差數列．等差數列前n項和教學重難點重點：探索并掌握等差數列的前n項和公式；學會用公式解決一些實際問題，體會等差數列的前n項和與二次函數之間的聯系。難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數列前n項公式解決一些簡單的有關問題教學過程1.[創設情景]等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數學家之一，被譽為“數學王子”的高斯就曾經上演了迅速求出等差數列這么一出好戲。那時，高斯的數學老師提出了下面的問題：1+2+3+……+100=？當時，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050高斯的算法實際上解決了求等差數列1，2，3，…，n，…前100項的和的問題。今天我們就來學習如何去求等差數列的前n項的和。2.[探索研究]我們先來看看人們由高斯求前100個正整數的方法得到了哪些啟發。人們從高斯那里受到啟發，于是用下面的這個方法計算1，2，3，…，n，…的前n項的和：由1+2+…+n-1+nn+n-1+…+2+1（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法”請同學們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發現了整個數列的第k項與倒數第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規律并且把這個規律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數列的前n項和的。[等差數列求和公式的教學]一般地，稱為數列的前n項的和，用表示，即思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。我們用兩種方法表示：①②由①+②，得由此得到等差數列的前n項和的公式對于這個公式，我們知道：只要知道等差數列首項、尾項和項數就可以求等差數列前n項和了。除此之外，等差數列還有其他方法當然，對于等差數列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如：====這兩個公式是可以相互轉化的。把代入中，就可以得到這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數列的任意的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數列的