專(zhuān)題3二次函數(shù)與等腰直角三角形問(wèn)題

方法揭秘.

二次函數(shù)與等腰直角三角形的相結(jié)合的綜合問(wèn)題，是中考數(shù)學(xué)壓軸題中比較常見(jiàn)的一種，涉及到的知識(shí)點(diǎn)

有：等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、斜邊的中線、全等三角形與相似三角形、角平分線、方

程與函數(shù)模型、函數(shù)的基本性質(zhì)等。等腰直角三角形與二次函數(shù)綜合問(wèn)題常見(jiàn)的有三種類(lèi)型：兩定一動(dòng)探

索直角三角形問(wèn)題；一定兩動(dòng)探索等腰直角三角形問(wèn)題；三動(dòng)探索等腰直角三角形問(wèn)題；常見(jiàn)的思路中，

不管是哪種類(lèi)型的等腰直角三角形三角形問(wèn)題，分類(lèi)討論的依據(jù)都是三個(gè)角分別為直角，解決的思路是通

過(guò)構(gòu)造K型全等或相似圖來(lái)列方程解決。

AC

在Rt^ACB和RtaBEF中，若NA=NEBF,則ZXACBSBFE,則一=

BFBEEF'

ACABBC,

若RtAACB和RtABEF是等腰直角三角形,則—=—=~~=1

BFBEEF

典例剖析.

【例1】(2022?棗莊)如圖①，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)”(0,3),B(1,0),過(guò)點(diǎn)/作4C〃x

軸交拋物線于點(diǎn)C,N/OB的平分線交線段ZC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的關(guān)系式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)尸在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)尸E、PO,當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將拋物線L向上平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△(?/后內(nèi)(包括△〃￡；的邊界),

求h的取值范圍；

(4)如圖②，尸是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使4尸。尸成為以點(diǎn)尸為直角頂

點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①圖②

【例2】(2022?東營(yíng))如圖，拋物線、=°/+瓜-3(aWO)與x軸交于點(diǎn)4(-1,0),點(diǎn)、B(3,0),與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)0，使△/C0的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)0的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)"是對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PA/5是以P8為腰的等腰

直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)”的坐標(biāo).

【例3】(2022?吉林)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c(6,c是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,0),

點(diǎn)8(0,3).點(diǎn)尸在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為小

(1)求此拋物線的解析式.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出〃?的取值范圍.

(3)若此拋物線在點(diǎn)尸左側(cè)部分(包括點(diǎn)尸)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2-〃?.

①求〃，的值.

②以以為邊作等腰直角三角形以。，當(dāng)點(diǎn)。在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

1.(2022?石獅市模擬)已知拋物線2ax+a+2與工軸交于B兩點(diǎn)、(4在8的左側(cè))，與y軸正半

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為該拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P為該拋物線頂點(diǎn)時(shí)，△/8P為等腰直角三角形.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)￡,交△N8P的外接圓于點(diǎn)。，求點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；

(3)直線/P,8尸分別與v軸交于M,N兩點(diǎn)，求孚的值.

CM

2.(2022?福建模擬)如圖，已知拋物線yuo?+bx+c與x軸相交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C(2,-4)在拋物線上,

且△/8C是等腰直角三角形.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)。(2,0)的直線與拋物線交于點(diǎn)N,試問(wèn)：以線段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的

3.（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=-『+mx+〃與x軸交于點(diǎn)/,B。在8

的左側(cè)）.

（1）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-3,48=4.求拋物線的表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且與x軸正半軸交于點(diǎn)C,記平移后的拋物線頂

點(diǎn)為尸，若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

y4

-3-

-4-

-5-

4.（2021秋?福清市期末）已知拋物線、="2+加-2經(jīng)過(guò)（2,2）,且頂點(diǎn)在夕軸上.

（1）求拋物線解析式；

（2）直線y=Ax+c與拋物線交于4,8兩點(diǎn).

①點(diǎn)尸在拋物線上，當(dāng)A=0,且△/B尸為等腰直角三角形時(shí)，求c的值；

②設(shè)直線^=履+。交x軸于點(diǎn)M（機(jī)，0）,線段N8的垂直平分線交y軸于點(diǎn)N,當(dāng)c=l,機(jī)>6時(shí)，求點(diǎn)

N縱坐標(biāo)〃的取值范圍.

5.（2022?集美區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線T：y=a（x+4）（x-機(jī)）與x軸交于48兩點(diǎn)，

m>-3,點(diǎn)3在點(diǎn)A的右側(cè)，拋物線T的頂點(diǎn)為記為P.

（1）求點(diǎn)Z和點(diǎn)8的坐標(biāo)；（用含用的代數(shù)式表示）

（2）若°=m+3,且△/B尸為等腰直角三角形，求拋物線7的解析式；

（3）將拋物線7進(jìn)行平移得到拋物線7,拋物線7與x軸交于點(diǎn)B,C（4,0）,拋物線「的頂點(diǎn)記為。.若

0<a<l,且點(diǎn)C在點(diǎn)8的右側(cè)，是否存在直線/P與C0垂直的情形？若存在，求，"的取值范圍；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（2022?城廂區(qū)模擬）拋物線-（w+3）x+3機(jī)與x軸交于/、8兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C（不與點(diǎn)。

重合）.

（1）若點(diǎn)/在x軸的負(fù)半軸上，且△O8C為等腰直角三角形.

①求拋物線的解析式；

②在拋物線上是否存在一點(diǎn)。，使得點(diǎn)。為△88的外心，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

(2)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為-9,將直線PC向下平移"個(gè)單位長(zhǎng)度得到

直線P'C,若直線尸,C與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求△/8C面積的取值范圍.

7.(2022?將樂(lè)縣模擬)拋物線尸爾+bx+c與直線尸-■有唯一的公共點(diǎn)4與直線產(chǎn)卷交于點(diǎn)8,C

(C在5的右側(cè))，且△N5C是等腰直角三角形.過(guò)C作x軸的垂線，垂足為。(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線y=2x與拋物線的交點(diǎn)為P,Q,且尸在0的左側(cè).

(i)求尸，0兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(ii)設(shè)直線y=2x+/?(加＞0)與拋物線的交點(diǎn)為"，N,求證：直線PM,QN,8交于一點(diǎn).

8.(2022?贛州模擬)如圖，二次函數(shù)二=/+瓜-3(xW3)的圖象過(guò)點(diǎn)/(-1,0),B(3,0),C(0,c),

記為L(zhǎng).將L沿直線x=3翻折得到“部分拋物線”K,點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)4,C.

(1)求a,b,c的值；

(2)畫(huà)出“部分拋物線”K的圖象，并求出它的解析式；

(3)某同學(xué)把L和“部分拋物線”K看作一個(gè)整體，記為圖形“％”，若直線^=機(jī)和圖形“少”只有兩個(gè)

交點(diǎn)、M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).

①直接寫(xiě)出w的取值范圍；

②若△A/NB為等腰直角三角形，求m的值.

9.(2022?瓊海二模)如圖1,拋物線卜=??+隊(duì)+3與x軸交于點(diǎn)/(3,0)、8(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)尸為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接我，PF,AF.

(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-4),求出此時(shí)△NEP面積的最大值：

(3)如圖2,是否存在點(diǎn)尸，使得是以N尸為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)尸的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2022?虹口區(qū)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線卜="2+以+6與x軸交于點(diǎn)/(-2,0)

和點(diǎn)8(6,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，聯(lián)結(jié)8c交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/于點(diǎn)￡

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)聯(lián)結(jié)8、BD,點(diǎn)尸是射線。E上的一點(diǎn)，如果SAPOB=SM7?5，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是線段8E上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)稱(chēng)軸/右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果是以￡以為腰的等腰直

11.(2022?順城區(qū)模擬)如圖，拋物線y=-N+fec+c與x軸交于點(diǎn)/和8(5,0),與夕軸交于點(diǎn)C(0,5).

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M,與8c交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于直線8c的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)。在直線8c上方的拋物線上，是否存在以O(shè),P,。為頂點(diǎn)的三角形

是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.(2022?襄城區(qū)模擬)拋物線y=x2-(加+3)x+3加與x軸交于/、8兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖1,若點(diǎn)/在x軸的負(fù)半軸上，△O8C為等腰直角三角形，求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)。(-2,5)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)W為直線8C下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，令四邊

形BDCM的面積為S,求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為-9,作直線PC,將直線PC向下平移〃(n>0)

個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線P'C,若直線PC與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

①直接寫(xiě)出〃關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)機(jī)的取值范圍.

圖1備用圖

13.(2022?山西二模)綜合與探究

如圖，拋物線產(chǎn)?jfx+c與x軸交于1,8兩點(diǎn)(點(diǎn)N在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,且4,8兩點(diǎn)

的坐標(biāo)分別是4(-2,0),B(8,0).點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為"?，過(guò)點(diǎn)尸作直線/

_Lx軸，交直線NC于點(diǎn)G,交直線BC于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)如果點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)C和點(diǎn)。之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一

點(diǎn)N,使得△NG4是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)試探究在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)P,Q,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若

存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.(2022?長(zhǎng)沙模擬)已知拋物線G：+〃與x軸于/,兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,△ABC為等腰直

角三角形，且"=-1.

(1)求拋物線Ci的解析式；

(2)將Ci向上平移一個(gè)單位得到C2,點(diǎn)A/、N為拋物線C2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且NMCW=90°,

連接點(diǎn)M、N,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E.求點(diǎn)￡到夕軸距離的最大值：

(3)如圖，若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-2),直線/分別交線段/尸，8尸(不含端點(diǎn))于G,，兩點(diǎn).若直線/

與拋物線。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為b,點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為a,則a-b是定值嗎？若是，請(qǐng)

求出其定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(2022?永川區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線y=a?+4x+c與直線相交于點(diǎn)/(0,

1)和點(diǎn)B(3,4).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)C為直線48上方的拋物線上一點(diǎn)，連接4C,BC,以/C,8c為鄰邊作平行四邊形/C8P,求四

邊形NC8尸面積的最大值；

(3)將該拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y=a]x2+blX+Cl(alW°)，平移后的拋物線與原拋物

線相交于點(diǎn)。，是否存在點(diǎn)E使得是以/。為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.(2022?興城市一模)如圖，拋物線y=-^x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)8(5,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,

5

-3),連接/C,8C,點(diǎn)E是對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)MBCE=21/BC時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使ABPE是以8E為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.(2021?昆明模擬)已知拋物線：y=ax2-2ax+c(a>0)過(guò)點(diǎn)(-1,0)與(0,-3).直線y=x-6交

x軸、y軸分別于點(diǎn)AB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸是拋物線上的任意一點(diǎn).連接口，P8,使得△R18的面積最小，求△現(xiàn)8的面積最小時(shí)，P

的橫坐標(biāo)；

(3)作直線x=f分別與拋物線y=ax2-2ax+c(a>0)和直線y=x-6交于點(diǎn)E,凡點(diǎn)C是拋物線對(duì)稱(chēng)軸

上的任意點(diǎn)，若4CE尸是以點(diǎn)E或點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo).

18(2021?新泰市一模)如圖，拋物線夕=4/+樂(lè)+2交x軸于點(diǎn)/(-3,0)和點(diǎn)8(1,0),交y軸于點(diǎn)C.已

知點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4尸、PC、CD.

(1)求這個(gè)拋物線的表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形/DC尸面積的最大值.

(3)①點(diǎn)"在平面內(nèi)，當(dāng)是以CM為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求出滿足條件的所有點(diǎn)"的坐

標(biāo)；

②在①的條件下，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)/MNC=45°時(shí)，求出滿足條件的所有點(diǎn)N的坐標(biāo).

19.(2021?廣安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)夕=-/+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸相交于4、B、C三

點(diǎn)，其中4點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),2點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),連接ZC、BC.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，在線段NC上以

每秒白、單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，在線段加上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)

/做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接P。，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(1)求6、c的值.

(2)在尸、。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形8CP0的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△WP0是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在,

請(qǐng)求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(2021?上海)已知拋物線yuH+c(〃/0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(3,0)、Q(1,4).

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點(diǎn)/在直線尸0上，過(guò)點(diǎn)N作軸于點(diǎn)B,以Z8為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形/8C.

①當(dāng)。與“重合時(shí)，求C到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離；

②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo).

典例剖析.

【例1】(2022?棗莊)如圖①，已知拋物線L：yuf+fcc+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,3),B(1,0),過(guò)點(diǎn)/作ZC〃x

軸交拋物線于點(diǎn)C,N/O8的平分線交線段4c于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的關(guān)系式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線0￡下方的拋物線上，連結(jié)尸E、PO,當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△O/E內(nèi)(包括△OZE的邊界)，

求人的取值范圍；

(4)如圖②，尸是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使^P。尸成為以點(diǎn)P為直角頂

點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①圖②

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；

(2)過(guò)P作尸G〃y軸，交OE于點(diǎn)G,設(shè)尸(m,m2-4w+3),根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示

尸G的長(zhǎng)，根據(jù)面積和可得aOPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；

(3)求出原拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱(chēng)軸與OE的交點(diǎn)坐標(biāo)、與工￡的交點(diǎn)坐標(biāo)，用含〃的代數(shù)

式表示平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出不等式組求出h的取值范圍；

(4)存在四種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△。例尸絲△尸NF,根據(jù)10M=1尸2，列方程可得點(diǎn)

P的坐標(biāo)：同理可得其他圖形中點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解析】(1)??,拋物線L：y=f+6x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(0,3),B(1,0),

.Jl+b+c=O,解得］b=-4,

Ic=3Ic=3

拋物線的解析式為：y=x2-4x+3；

(2)如圖，過(guò)尸作PG〃y軸，交OE于點(diǎn)G,

.?.//OE=45°,

...△ZO￡是等腰直角三角形，

J.AE=OA=3,

：.E(3,3),

?,?直線0E的解析式為：y=x,

:?G(m,w),

:?PG=m-(加2-4/W+3)=-m2+5ni-3,

s&OPE=SAOPG+S4EPG

^LpG-AE

2

=AX3X(-m2+5m-3)

2

=--(w2-5m+3)

2

=-2.(〃i-旦)2+21,

228

：一旦＜o(jì),

2

當(dāng)機(jī)=至?時(shí)，△OPE面積最大，

2

此時(shí)，p點(diǎn)坐標(biāo)為(g,-3)；

24

(3)由y=f-4x+3=(x-2)2-1,得拋物線/的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,頂點(diǎn)為(2,-1),

拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度后頂點(diǎn)為F(2,-1+力).

設(shè)直線x=2交于點(diǎn)。M,交AE于點(diǎn)N,則￡(2,3),

?.?直線的解析式為：y=x,

：.M(2,2),

?點(diǎn)尸在△O/E內(nèi)(包括的邊界),

.?.2W-1+Y3,

解得3W/?W4：

(4)設(shè)尸("?，m2-4/?+3),分四種情況:

①當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過(guò)尸作MNLy軸，交y軸于交/于N,

：.NOMP=NPNF=90°,

「△OPE是等腰直角三角形,

：.OP=PF,NOPF=90°,

：.ZOPM+4NPF=ZPFN+ZNPF=90°,

，ZOPM=/PFN,

:./\OMP烏/\PNF（44S）,

：.OM=PN,

?:P（加，m2-4/w+3）,

則-謂+4〃?-3=2-陽(yáng)，

解得：那=_5.技.（舍）或土返，

22

尸的坐標(biāo)為（立返，上近?）；

22

②當(dāng)尸在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在X軸上方時(shí),

同理得：2-m=m2-4〃?+3,

解得：加尸夕'后（舍）或加2=’一75「

22

...P的坐標(biāo)為（三應(yīng)，遙+1）;

22

③當(dāng)尸在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在X軸下方時(shí),

如圖，過(guò)P作仞V_Lx軸于M過(guò)尸作尸例_LMV于A7,

同理得△ONP9APMF,

:.PN=FM,

貝!J-，”+4〃7-3=m-2,

解得：〃“=空叵或"2=生返（舍）；

22

P的坐標(biāo)為（?巫，上恒）；

22

④當(dāng)尸在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在X軸上方時(shí)，如圖,

同理得m2-4m+3=/%-2,

解得：〃?=旦2:叵或昱近_（舍），

22

尸的坐標(biāo)為：（昱恒，娟+1）；

22

+1

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（主逅，上逅）或（3-、底_,VJ）或（史返，上近_）或冷后,

2222222

反）.

2

E（1,-1）是。點(diǎn)（1,0）繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°并且OD縮小2倍得到，

易知直線DE即為對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,且到O點(diǎn)距離縮小我倍的軌跡,

聯(lián)立直線DE和拋物線解析式得x2-4x+3=x-2,

解得xi=-5R5,工2二昱近一，

22

同理可得》3=空叵或欠4=主亞_；

22

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(生近上后)或(生近，近±1.)或(老口叵，上后)或(豆近

2222222

反).

2

【例2】.(2022?東營(yíng))如圖，拋物線y=蘇+云-3(a/0)與x軸交于點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)B(3,0),與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)0,使△/C0的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以P8為腰的等腰

直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)M的坐標(biāo).

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)連接C8交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)。，當(dāng)C、B、0三點(diǎn)共線時(shí)，△/C。的周長(zhǎng)最小，求出直線8c的解析式，再

求。點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)NBPM=90°時(shí)，PM=PB,M點(diǎn)與/點(diǎn)重合，則0)；當(dāng)/PBM=90°

時(shí)，PB=BM,過(guò)點(diǎn)5作x軸的垂線G",過(guò)點(diǎn)P作尸"J_GH交于“，過(guò)點(diǎn)用作MG_L〃G交于G,可證明

△BPHWAMBG(AAS),設(shè)。(1,7),則A/(3--2),求出W點(diǎn)坐標(biāo)為(1--2).

【解析】(1)將點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)8(3,0)代入^=公2+云-3,

.fa-b-3=0

19a+3b-3=0

解得八口，

lb=-2

.".y=x2-2x-3；

(2)連接CB交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q,

"：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

?.】、8關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=l對(duì)稱(chēng)，

:.AQ=BQ,

：.AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ^AC+BC,

當(dāng)C、B、0三點(diǎn)共線時(shí)，△4C0的周長(zhǎng)最小，

VC(0,-3),B(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=h+b,

.fb=-3

,13k+b=0'

解得F=1,

lb=-3

*.y=x-3,

：.Q(1,-2)；

(3)當(dāng)N5PM=90°時(shí)，PM=PB,

???M點(diǎn)與4點(diǎn)重合，

：.M(-1,0)；

當(dāng)NP6M=90°時(shí)，PB=BM,

過(guò)點(diǎn)8作工軸的垂線G”,過(guò)點(diǎn)P作PHLGH交于H,過(guò)點(diǎn)刊作MGJ_〃G交于G,

■:NPBM=90°,

:?/PBH+/MBG=9C,

?:/PBH+/BPH=90°,

：?4MBG=/BPH,

*：BP=BM,

:.△BPHQ/XMBGCAAS),

:.BH=MG,PH=BG=2,

設(shè)尸(1,/),則"(3-r,-2),

??--2=(3-z)2-2(3-r)-3,

解得f=2+&或t=1-五,

：.M（1-V2--2）或（5+&,-2）,

點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，

二〃點(diǎn)坐標(biāo)為（I--2）；

綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-我，-2）或（-1,0）.

【例3】（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c（b,c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)”（1,0）,

點(diǎn)8（0,3）.點(diǎn)尸在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為

（1）求此拋物線的解析式.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出〃?的取值范圍.

（3）若此拋物線在點(diǎn)尸左側(cè)部分（包括點(diǎn)尸）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2-〃?.

①求機(jī)的值.

②以我為邊作等腰直角三角形為。，當(dāng)點(diǎn)。在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】（I）通過(guò)待定系數(shù)法求解.

（2）令y=0,求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象求解.

（3）①分類(lèi)討論點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)及左側(cè)兩種情況，分別求出頂點(diǎn)為最低點(diǎn)和點(diǎn)尸為最低點(diǎn)時(shí)m

的值.

②根據(jù)機(jī)的值，作出等腰直角三角形求解.

【解析】（1）將（1，0）,（0,3）代入y=x2+fer+c得［°=l+b+c,

I3=c

解得［b~4,

,c=3

J.y—x1-4x+3.

（2）令f-4x+3=0,

解得Xl=l,X2=3）

...拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,（3,0）,

?.?拋物線開(kāi)口向上，

1或切>3時(shí)，點(diǎn)尸在x軸上方.

（3）①；y=/-4x+3=（x-2）2-1,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,

當(dāng)m>2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，

/--1=2-,

解得"7=3,

當(dāng)加W2時(shí)，點(diǎn)尸為最低點(diǎn)，

將代入、=/-4x+3得^=加2-4加+3,

/.IYT-4〃?+3=2-m,

解得加1=生叵（舍），加2=3口⑸.

22

'.m=3或機(jī)=殳乂5-.

2

②當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，/尸=2,

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,

二點(diǎn)0坐標(biāo)為（2,-1）或（2,1）符合題意.

x軸于點(diǎn)尸，作。E_LP/于點(diǎn)E,

NQPE+N4PF=ZAPF+ZPAF=90°,

：.ZQPE=ZPAF,

又,：NQEP=/PFA=90°,QP=PA,

:.△QEP^APFA(N/S),

：.QE=PF,即2-〃?=機(jī)2-4〃?+3,

解得加1=38而（舍），他=3一遍

22

：.PF=2-3/位AF=PE=1-生2區(qū)，

22

：.EF=PF+PE=2-3-泥+1-^^-=疾,

22

，點(diǎn)。坐標(biāo)為(2,V5).

綜上所述，點(diǎn)0坐標(biāo)為（2,-1）或（2,1）或（2,y）.

滿分訓(xùn)練.

1.（2022?石獅市模擬）已知拋物線y=ax2-2“x+a+2與x軸交于4B兩點(diǎn)（/在2的左側(cè)），與y軸正半

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為該拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸為該拋物線頂點(diǎn)時(shí)，△48P為等腰直角三角形.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)P作尸。_Lx軸于點(diǎn)E,交△Z8P的外接圓于點(diǎn)。，求點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；

（3）直線月P,8尸分別與y軸交于M,N兩點(diǎn)，求磔的值.

CM

【分析】（1）運(yùn)用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得4

8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）根據(jù)等腰直角三角形△/8P的外接圓可得為直徑，點(diǎn)E為圓心，即可得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；

（3）利用待定系數(shù)法可得直線4P,8P的解析式，分別求出N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由y=-12+戶3得。（0,

22

3）,求出CMCW的值，即可求解.

2

【解析】（1）,.）="2-2ax+a+2=a（x2-2x）+a+2—a（x-1）2+21

，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2）,

如圖：過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)￡,則E（l,0）,

尸為等腰直角三角形，

：.AE=BE=PE=^AB=2,

2

：.A(-1,0),B(3,0),

將8(3,0)代入y=a(x-1)2+2得，

。(3-1)2+2=0,解得〃=-工，

2

???該拋物線的解析式為y=-1(x-1)2+2=-』F+x+3；

222

(2)如圖:

為等腰直角三角形，POl_x軸于點(diǎn)E,

為直徑，點(diǎn)E為圓心，

?.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(I,2),

:.PE=2,

：.DE=2,

：.D(1,-2),

...點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為-2；

(3)設(shè)直線/P的解析式為y=fcr+b,

?.?點(diǎn)(1,2),A(-1,0),

...「k+b=0,解得4=1,

lk+b=2\b=l

???直線AP的解析式為y=x+l,

令x=0,則歹=1,

：.M(0,1),

同理得直線BP的解析式為歹=-x+3,

令x=0,則y=3,

：.N(0,3),

,->=-/y2+x+3與y軸正半軸交于點(diǎn)C,

：.C(0,—),

2

.?.CM=3-1=工，CN=3-3=3,

2222

3_

.CN

**CM

7

2.(2022?福建模擬)如圖，已知拋物線y=af+bx+c與x軸相交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)C(2,-4)在拋物線上,

且△Z8C是等腰直角三角形.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)。(2,0)的直線與拋物線交于點(diǎn)M,N,試問(wèn)：以線段MV為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的

【分析】(1)等腰直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，點(diǎn)的坐標(biāo)，不難求出/、8兩點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)Z、8、C

代入二次函數(shù)解析式，解三元一次方程組就可得到函數(shù)解析式.

(2))通過(guò)設(shè)過(guò)點(diǎn)。(2,0)的直線解析式為y=A(x-2)=kx-2k,得到關(guān)于x、關(guān)于y的方程，利

用跟與系數(shù)的關(guān)系，再得到圓的解析式，待定系數(shù)法確定定點(diǎn)的x、y的值，確定定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】連接ZC、BC,過(guò)點(diǎn)C作CP垂直于x軸于點(diǎn)尸.

在RtZ\C/8中，AC=BC,點(diǎn)C(2,-4),

:.CP=AP=PB=4,OP=2,

：.OA=AP-。尸=4-2=2,OB=OP+PB=4+2=6,

.?.點(diǎn)4(-2,0),點(diǎn)8(6,0),

把點(diǎn)N(-2,0),點(diǎn)8(6,0),點(diǎn)C(2,-4)代入函數(shù)解析式得

0=4a-2b+c

,0=36a+6b+c>

-4=4a+2b+c

1

解得《

b=_]，

c=-3

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)O(2,0)的直線MN解析式為歹=后(x-2)=kx?2k,

聯(lián)立直線與拋物線解析式得關(guān)于x的等式：kx-2人=12-X-3,

4

化簡(jiǎn)得(k+l)x+2k-3=°，

X^I+XM-------(:1，-=4(%+1),XAtXM='2k]W=8,_12....①，

77

聯(lián)立直線與拋物線解析式得關(guān)于y的等式：、=工(工+2)2-(X+2)-3,

4kk

化簡(jiǎn)得上?+(-1-1)y-4=0,

4k2-k

yM+yN=4k1,y^yN=-16M.......②，

線段MN的中點(diǎn)就是圓的圓心，

(XN+XM)—2(K+l),

2

代入直線方程得》。=2后，

.?.圓心坐標(biāo)為(2什2,2"),

直徑”『(乂…黯+?巾/=7<xM+xN)2-43￡?^+<^+^2-4VN'

把①、②代入上式化簡(jiǎn)整理得直徑MN=Q16k4+80k2+64,

設(shè)圓上某一點(diǎn)(x,y)到圓心的距離等于半徑迎，

2

R[x-（2k+2）]2+（y-2k2）2416k4+y2+64,

化簡(jiǎn)整理得16F+12-8A=x2-4kx-4x+f-4丹=-4ylr-Akx+x2-4x+f,

圓過(guò)定點(diǎn)，所以與左值無(wú)關(guān)，看作是關(guān)于人的二次等式，

F、女的系數(shù)，常量對(duì)應(yīng)相等，

得-8=-4x,

x=2,

16=-4y,

y--4,

由以上分析，所以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)（2,-4）.

故答案為：以線段A/N為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)（2,-4）.

3.（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=-苫2+儂+"與x軸交于點(diǎn)/,B在8

的左側(cè)）.

（1）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-3,AB=4.求拋物線的表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且與x軸正半軸交于點(diǎn)C,記平移后的拋物線頂

點(diǎn)為P,若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

y八

5-

4-

3-

2-

1-

II[II11111r

-5-4-3-2-1012345力

—1-

—2-

-3-

—4-

—5一

【分析】(l)先根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)4點(diǎn)8的坐標(biāo)，再將點(diǎn)小點(diǎn)8的坐標(biāo)代入y=-x2+mx+〃，

列方程組求出"?、n的值即可；

(2)設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為,=-/+外，將點(diǎn)P的坐標(biāo)用含b的式子表示，過(guò)該拋物線的頂點(diǎn)尸作

POLx軸于點(diǎn)。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可列方程求出b的值及點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】(1)???拋物線y=+妙+”與x軸交于/、8兩點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-3,

二點(diǎn)4與點(diǎn)8關(guān)于直線乂=-3對(duì)稱(chēng)，

?點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且48=4,

：.A(-5,0),5(-1,0),

把4(-5,0)-,B(-1.0)代入y=-x2+mx+n,

得J-25-5m+n=0

1-l-m+n=0

解得（m=-6,

ln=-5

拋物線的表達(dá)式為y=-/-6x-5.

（2）根據(jù)題意，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),

設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=-F+bx,

當(dāng)歹=0時(shí)，由-/+笈=0得xi=0,X2=b,

：.C⑶0）,

...該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=Lb,

2

當(dāng)》=工。時(shí)，y=-（—6）2+—b2=—b2,

2224

:.P（A/）,工序）；

24

如圖，作PDLx軸于點(diǎn)D,則OD=CD,

「△OCP是等腰直角三角形，

：.ZOPC=90°,

：.PD=1-OC=OD,

2

42

解得加=2,62=0(不符合題意，舍去),

：.P(1,1).

4.（2021秋?福清市期末）已知拋物線歹=加2+歷-2經(jīng)過(guò)（2,2）,且頂點(diǎn)在y軸上.

（1）求拋物線解析式；

（2）直線y=Ax+c與拋物線交于48兩點(diǎn).

①點(diǎn)尸在拋物線上，當(dāng)/=0,且△/B尸為等腰直角三角形時(shí)，求c的值；

②設(shè)直線夕=公葉。交x軸于點(diǎn)M（〃?，0）,線段Z8的垂直平分線交y軸于點(diǎn)N,當(dāng)c=l,"?>6時(shí)，求點(diǎn)

N縱坐標(biāo)N的取值范圍.

【分析】（1）由題意可知b=0，再將（2,2）代入y=a/+6x-2即可求解析式；

（2）①求出/（Vc+2-0）,B（-Vc+2>0），再由2[c+2+（c+2）2]=4（c+2）,即可求c；

（22

②由題意可得m=-工,/<0,再由機(jī)>6,可得-工<%<0,聯(lián)立Jy=X”,得到48的中點(diǎn)為（區(qū),X—+1）,

k6（y=kx+l22

設(shè)的線段垂直平分線所在直線解析式為了=心+6,與x軸的交點(diǎn)P（-斗，0）,與y軸的交點(diǎn)為N（0,

k

b）,由/PVO=N/MO,可得犬="?=-工，則有線段的垂直平分線為y=所以N點(diǎn)縱

kk22

坐標(biāo)為〃=以3,即可求

22272

【解析】（1）???頂點(diǎn)在y軸上，

：.h=0,

?拋物線夕=以2+阮-2經(jīng)過(guò)（2,2）,

：.4a-2=2,

??a=1,

.'.y—x2-2；

（2）①當(dāng)左=0時(shí)，y—c,

聯(lián)立p=c

ly=x2-2

-'-A川c+2,c）.B（-、c+2,c）,

?.?△/8P為等腰直角三角形，

：.P點(diǎn)在AB的垂直平分線上，

點(diǎn)在拋物線的頂點(diǎn)（0,-2）處，

*：AB=27C+2,4P=BP=dc+2+（c+2）2'

，2[c+2+（c+2）2]=4（c+2）,

?**c=0；

②..“l(fā),

.\y=kx+},

??m~~———，

k

由題意可知，kVO,

?.,心6,

，-l-<k<o,

6

f2

聯(lián)立『-1,

Ly=kx+1

Ax2-kx-2=0,

.?.%+見(jiàn)?=晨

：.AB的中點(diǎn)為（區(qū)，K^H）,

22

設(shè)48的線段垂直平分線所在直線解析式為歹=佇什b,

...與x軸的交點(diǎn)尸（-一搟一，0）,與y軸的交點(diǎn)為N（0,h）,

k

*；PN上AB,

:?/PNO=NAMO,

b

?廠_1

??-——>

bm

:?K=m=-—,

k

???y—一_?1^x+"O,

k

...線段"8的垂直平分線為>=-1+KL卜旦，

k22

.?.N點(diǎn)縱坐標(biāo)為n———I--,

22

272

5.(2022?集美區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線T：y=a(x+4)Cx-m)與x軸交于/,8兩點(diǎn),

-3,點(diǎn)8在點(diǎn)力的右側(cè)，拋物線T的頂點(diǎn)為記為P.

(1)求點(diǎn)/和點(diǎn)8的坐標(biāo)；(用含機(jī)的代數(shù)式表示)

(2)若。=〃什3,且△/8P為等腰直角三角形，求拋物線T的解析式；

(3)將拋物線7進(jìn)行平移得到拋物線T,拋物線「與x軸交于點(diǎn)B,C(4,0),拋物線7的頂點(diǎn)記為Q.若

0<?<1,且點(diǎn)C在點(diǎn)8的右側(cè)，是否存在直線4P與C0垂直的情形？若存在，求機(jī)的取值范圍；若不

2一

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)解方程(x+4)(x-ni)=0可求4、8點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求出頂點(diǎn)Pdm-2,(-〃L3)(三畦)2),利用等腰直角三角形斜邊的中線等腰斜邊的一半，求出

22

m即可求解；

(3)分別求出直線/P與直線C。的解析式，通過(guò)聯(lián)立方程組求出這兩條直線的交點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作

軸交于M可得AAMNS^MCN,則(2"〃?2-8")2=(-m+4)(4+w),得到『=—,再由。的取

216-m2

值范圍確定加的范圍即可.

【解析】(1)令y=0,則(x+4)(x-TH)=0,

解得x=-4或工=防，

：.A(-4,0),B(〃?，0)；

(2)*.,a=w+3,

(zn+3)(x+4)(x-/H)=(m+3)(x2+4x-mx-4w),

：.P(上加-2,(-w-3)2),

22

為等腰直角三角形,

,.■48=m+4,

*.—AB=—(加+4)=(陽(yáng)+3)(空里)2,

222

解得m=-2或m=-5,

V/w>-3,

:?m=-2,

二》=?+6工+8：

(3)存在直線Z尸與。。垂直的情形，理由如下:

**y=a(x+4)(x-zw),

：.P(L-2,-a(m+4)2),

24

由題意可知拋物線7的解析式為(x-w)(x-4),

：.Q(HLl,，--4)2),

~24

設(shè)直線AP的解析式為y=kx-^bi

'-4k+b=0

a(I4)2,

J4m-2)k+b=~f

z

解得卜發(fā)"+幻，