專題五FIX

電場與磁場

【專題定位】本專題主要是綜合應用動力學方法和功能關系解決

帶電粒子在電場和磁場中的運動問題.這部分的題目覆蓋的內容多，

物理過程多，且情景復雜，綜合性強，常作為理綜試卷的壓軸題.高

考對本專題考查的重點有以下幾個方面：①對電場力的性質和能的性

質的理解；②帶電粒子在電場中的加速和偏轉問題；③帶電粒子在磁

場中的勻速圓周運動問題；④帶電粒子在電場和磁場的組合場中的運

動問題；⑤帶電粒子在電場和磁場的疊加場中的運動問題；⑥帶電粒

子在電場和磁場中運動的臨界問題.

【應考策略】針對本專題的特點，應“抓住兩條主線、明確兩類

運動、運用兩種方法”解決有關問題.兩條主線是指電場力的性質（物

理量——電場強度）和能的性質（物理量——電勢和電勢能）；兩類運動

是指類平拋運動和勻速圓周運動；兩種方法是指動力學方法和功能關

系.

第1課時電場與磁場的理解

知識方法聚焦填填更有底

知識回扣

1.對電場強度的三個公式的理解

（1）石=，是電場強度的定義式，適用于任何電場.電場中某點的場

強是確定值，其大小和方向與試探電荷4無關.試探電荷9充當“測

量工具”的作用.

(2*=任是真空中點電荷所形成的電場的決定式.E由場源電荷Q

和場源電荷到某點的距離r決定.

(3)E=》是場強與電勢差的關系式，只適用于勻強電場,注意：式

中d為兩點間沿電場方向的距離.

2.電場能的性質

(1)電勢與電勢能：

(2)電勢差與電場力做功：UAB=*=(PA—(PB.

(3)電場力做功與電勢能的變化：W=~\E?.

3.等勢面與電場線的關系

(1)電場線總是與等勢面垂直，且從高電勢的等勢面指向低電勢的

等勢面.

(2)電場線越密的地方，等差等勢面也越密.

(3)沿等勢面移動電荷，電場力不做功,沿電場線移動電荷，電場

力一定做功.

4.帶電粒子在磁場中的受力情況

⑴磁場只對運動電荷有力的作用,對靜止電荷無力的作用.磁場

對運動電荷的作用力叫洛倫茲力.

(2)洛倫茲力的大小和方向：其大小為尸=鐘康由仇注意：8為o

與3的夾角.一的方向仍由左手定則判定,但四指的指向應為正電

荷運動的方向或負電荷運動方向的反方向.

5.洛倫茲力做功的特點

由于洛倫茲力始終和速度方向垂直，所以洛倫茲力永不做功，但洛

倫茲力的分力可以做功.

X規律方法

1.本部分內容的主要研究方法有：(1)理想化模型.如點電荷、電場

線、等勢面；⑵比值定義法.電場強度、電勢的定義方法是定義

物理量的一種重要方法；(3)類比的方法.電場和重力場的比較；

電場力做功與重力做功的比較；帶電粒子在勻強電場中的運動和

平拋運動的類比.

2.靜電力做功的求解方法：(1)由功的定義式W=Acosa來求；(2)

利用結論“電場力做功等于電荷電勢能增量的負值”來求，即W

=-AE;(3)利用叱w=也坐來求.

3.研究帶電粒子在電場中的曲線運動時，采用運動合成與分解的思

想方法；帶電粒子在組合場中的運動實際是類平拋運動和勻速圓

周運動的組合，類平拋運動的末速度就是勻速圓周運動的線速直

熱點題型例析做做有感悟

題型1對電場性質的理解

【例1】如圖1所示，真空中M、N處放置兩等量異種E「?

a6------?c

■?

為M----1---------，N

從

電場中的三點，實線產。為M、N連線的中垂線，a、“一幺、、八」

MN

對稱，a、c兩點關于PQ對稱.已知一帶正電的試探電荷從a點移

動

到c點時，試探電荷的電勢能增加，則以下判斷正確的是

()

A.a點的電勢高于c點的電勢

圖1

B.。點的場強與c點的場強完全相同

C.M點處放置的是正電荷

D.若將帶正電的試探電荷沿直線由Q點移動到。點，則電場力先

做正功，后做負功

解析帶正電的試探電荷由。點移動到c點，電勢f交不《）

做負功，是逆著電場線運動，因此M處電荷應為負

錯誤；等量異種點電荷周圍電場線的分布如圖所示，老必

線方向電勢降低，可知。點電勢低于c點電勢，選項A錯誤；。點

和c點場強大小相等、方向不同，選項B錯誤；將帶正電的試探電

荷沿直線由a點移到b點，電場力先做正功后做負功，選項D正確.

答案D

【以題說法】1.在點電荷形成的電場中，通常利用電場線和等勢面的

兩個關系分析電場的性質：一是二者一定處處垂直；二是電場線密

的地方，等勢面也密，且電場線由電勢較高的等勢面指向電勢較低

的等勢面.

2.在分析電場性質時，要特別注意應用點電荷形成電場的對稱性

來分析電場的性質.

針對調縹L如圖2所示，電場中的一簇電場線關于J

。點是坐標原點，M.N、尸、。是以0為圓心的-

個點，其中M、N在y軸上，。點在％軸上，則“

A.M點電勢比P點電勢高卜

B.0M間的電勢差等于NO間的電勢差

C.一正電荷在O點的電勢能小于在。點的電勢能

圖2

D.將一負電荷從M點移到P點，電場力做正功

答案D

解析如題圖所示的電場為帶正電的點電荷形成的電場，所有電場

線反向延長的交點即為該點電荷所在的位置，尸點離該點電荷的距

離比M點更近，所以P點的電勢比M點電勢高，選項A錯誤；NO

之間的電場線比0M之間的電場線密，所以NO之間的場強大，電

勢差也大，選項B錯誤；。點到該點電荷的距離比。點近，。點電

勢高，正電荷在電勢高的位置電勢能大，故正電荷在。點的電勢能

比在。點大，選項C錯誤；P點的電勢比M點電勢高，》專負電荷

由電勢低的位置移動到電勢高的位置電場力做正功，選項D正確.

題型2電場矢量合成問題

........J

【例2】(2013?新課標H?18)如圖3,在光滑絕緣水平面上，三今\/

球。、

和c分別位于邊長為/的正三角形的三個頂點上；。帶正電，電

荷量均為q,

c帶負電.整個系統置于方向水平的勻強電場中.已知靜電力常量

為左若三個圖3

小球均處于靜止狀態，則勻強電場場強的大小為

()

事kq口小kq

A.3/B.R

「3kq口2小kq

c.D.?

【審題突破】。、人對c的靜電力的合力方向如何？勻強電場場強的

方向能確定嗎？

解析因為。、力小球對C的靜電力的合力方向垂直和，卓....”

上，

又因C帶負電，所以勻強電場的場強方向為垂直于。、連線向上.

分析a球受力：匕對a的排斥力Fl、c對。的吸引力尸2和勻強電場

對。的電場力產3=qE根據受力平衡可知，a受力情況如圖所示

利用正交分解法：

772cos60°=Fi=^-

F2sin600=F3=qE.

解得E=華.

答案B

【以題說法】1.熟練掌握常見電場的電場線和等勢面的畫法.

2.對于復雜的電場場強、電場力合成時要用平行四邊形定則.

3.電勢的高低可以根據“沿電場線方向電勢降低”或者由離正、

負場源電荷的關系來確定.c

針對避縹2.如圖4所示，真空中同一水平線上固定兩L

電荷A、B,其中A帶負電、3帶正電.C、D、。意分布在覬翅

線的垂線上的三個點，且AO＞BO.下列判斷正確的是（）

A.C、。兩點的電勢相等圖

B.C、。兩點的電場強度的方向均水平向左

C.同一帶負電的試探電荷在。點的電勢能小于在。點的電勢能

D.同一試探電荷在C點受到的電場力比在D點受到的電場力小

答案D

解析由等量異種點電荷的電場線和等勢面分布可知，（pd＞（pD＞（pc,

選項A錯誤；在AB連線中垂線上的各點電場強度方向水平向左，

&和5的方向斜向左上，選項B錯誤；負電荷在電勢低處電勢能

大，所以Epc>EpD,選項C錯誤；EC<ED,所以同一試探電荷在C

點受到的電場力比在D點受到的電場力小，選項D正確.

題型3帶電粒子在有界磁場中的臨界、極值問題

【例3】（18分）如圖5所示，在一個直角三角形區域4'段」

久

垂直于紙面向里、磁感應強度為3的勻強磁場，AEX\

B-----------x

磁場邊界，AC邊長為3/,N4=53。.一質量為〃2、電荷量為+q的

粒子從AB邊上距A點為/的。點垂直于磁場邊界AB射入勻強磁

場.圖5

取sin530=0.8,cos53°=0.6,求：

（1）要使粒子從3c邊射出磁場區域，粒子速率應滿足的條件；

（2）粒子能從邊射出磁場區域，其在磁場中最短的運動時間.

【審題突破】粒子速率較小時會從哪個邊界射出？若速度很大又會

從哪個邊界射出？粒子能經過。點嗎？

解析（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，則

mv2、

有qoB=~^-（2分）

設粒子速率為歷時運動軌跡與8C邊相切，如圖所示，由幾何關系

可得

cos53o+/?l+/=cos53°,解得凡/

則。尸母

設粒子速率為時運動軌跡與AC邊相切，則切點為C點，由幾何

關系可得

R2=BC=BD=4l（3分、

解得。2=誓

因此粒子從8C邊射出時速率滿足的條件是

\5qBl一4c/引

mm(1

分）

（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，其周期為

T—=-2-7-1-n-l

1qB（2分）

由粒子運動軌跡可知，粒子從C點射出磁場所用時間最短，最短時

間

37e

/=3607（2分）

31Tlm

解得/=

180強（1

分）

1.5qBlAqBl377r“2

答案⑴但＜仄加⑵180處

【以題說法】1.解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題，關鍵在于運

用動態思維，尋找臨界點，確定臨界狀態，根據粒子的速度方向找

出半徑方向，同時由磁場邊界和題設條件畫好軌跡，定好圓心，建

立幾何關系.

2.粒子射出或不射出磁場的臨界狀態是粒子運動軌跡與磁場邊界

相切.

回心如圖6所示，邊界OA與OC之間分布fxx

/B

,xXX

向里的勻強磁場，邊界04上有一粒子源￡某一/XXX

紙面向各個方向發射出大量帶正電的同種粒子2/xxxx

/XXXXX

及粒子間的相互作用），所有粒子的初速度大小用。疝乂一￥」」一4

時間有大量粒子從邊界OC射出磁場.已知NAOC=60。，從邊

界OC射出的粒子在磁場中運動的最短時間等于氐丁為粒子在

圖6

磁場中運動的周期），則從邊界OC射出的粒子在磁場中運動的最

長時間為（）

TT25

A.B.2C.ZTD.&T

答案B

解析由于從0。邊界射出的粒子在磁場中運動的最短時間為彳

其軌跡圓弧的圓心角為60。，則其弦與SO的夾角為30。，弦的兩端

與圓心構成等邊三角形，軌跡圓半徑為r=

OScos30°=2OS,又過S點的垂線與OC的交點到垂足S的距離

為d=OStan6（T=小OS,恰等于軌跡圓的直徑，所以，沿SA方向

發出的粒子在磁場中做半個圓周運動后從OC邊射出，在磁場中運

動時間最長，等于亨，選項B正確.

讀題審題解題題題有秘訣

8.帶電粒子在勻強磁場中的多過程運動

【審題示例】7

（2013?山東23）（18分）如圖7所示，在坐標系％0y白、

限內存在相同的勻強磁場，磁場方向垂直于％Oy斗

o\~IQ-.

象限內有沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小T

為+外質量為機的粒子，自y軸上的P點沿％軸wj尸」；八r

四象限，經％軸上的。點進入第一象限，隨即撤去電場，以后僅

保留磁場.已知OP=d,0。=2d.不計粒子重力.

圖7

（1）求粒子過。點時速度的大小和方向.

（2）若磁感應強度的大小為一確定值為，粒子將以垂直y軸的方向進

入第二象限，求國.

(3)若磁感應強度的大小為另一確定值，經過一段時間后粒子將再次

經過。點，且速度與第一次過。點時相同，求該粒子相鄰兩次經

過。點所用的時間.

【審題模板】

、可推知粒

第四象限有沿y軸正方向的勻強電場子在第四

粒子自P點沿x軸正方向射入第四象限燧野里葷

平拋運動

(1)中過。點的速度方向

題眼突可確定圓心

(2)中粒子以垂直y軸的

\方向進入第二象限

'(3)中粒子再次經過。點時速度方向與第一次時

相同，可確定由y軸射出第三象限的速度方向

萬史、一電場中類平拋運動的規律

蟠竺人粒子在磁場中做圓周運動的動力學方程的樂:喏

2

,由P到Q,d=^-at0>2d=vottanO=呆

^(2)中：在第一象限中確定圓心，求出半徑&=24d

賽贏彭23)中：由過。點的速度方向與珊正方向夾角為45。

、一,得知由y軸射出第三象限時速度與y軸正方向夾角為

45°,進而推知整個運動過程可能關于原點。對稱

【答題模板】

(1)設粒子在電場中運動的時間為to,加速度的大小為a,粒子的初

速度為內,過。點時速度的大小為。，沿y軸方向分速度的大小為

vy,速度與％軸正方向間的夾角為。，由牛頓第二定律得qEu/na

①（1分）

由運動學公式得

1=呼/()2②

2d=Voto③（1

分)

Vy=Clt（）

④（1分）

⑤（1分）

⑥（1分）

聯立①②③④⑤⑥式得。=2

⑦

6=45°

⑧(1分)

(2)設粒子做圓周運動的半徑為凡，粒子在第一象限的運動軌跡如圖

所示，Oi為圓心，由幾何關系可知△OiOQ為

Ri=2jd

由牛頓第二定律得

⑩（2分）

聯立⑦⑨⑩式得

(1分)

(3)設粒子做圓周運動的半徑為&,由幾何分析知，粒子運動的軌跡

如圖所示，。2、。2’是粒子做圓周運動的圓心，。、F、G、”是軌

跡與兩坐標軸的交點，連接。2、。2’，由幾何關系知，O2FGO2'

和O2QHO2'均為矩形，進而知產。、G”均為直徑，Q尸也是矩

形，丸FH1GQ,可知G”是正方形，△Q0尸為等腰直角三角

形.可知，粒子在第一、第三象限的軌跡均為半圓，得

2&=2用?crx

粒子在第二、第四象限的軌跡為長度相等的線3

FG=HQ=2R2?(1

設粒子相鄰兩次經過。點所用的時間為r,則市

FG+HQ+2HR2

?（2分）

V

聯立⑦???式得

t=（2+:t）?（2分）

答案見解析

【點睛之筆】解決帶電粒子在勻強磁場中的多過程運動問題，首先要

熟練掌握粒子進出不同邊界（比如直線邊界、圓形邊界等）磁場時圓

發射一質量為加，電荷量為+q,速度大小為（73/7根的粒子.求：

（1）若粒子能進入磁場發生偏轉，則該粒子第一次到達磁場小圓邊

界時，粒子速度相對于初始方向偏轉的角度；

圖8

（2）若粒子每次到達磁場大圓邊界時都未從磁場中射出，那么至少經

過多長時間該粒子能夠回到出發點A

小0（4兀+35）加

答案（1）120。⑵1-盂J

解析（1）如圖所示，粒子做勻速圓周運動，設初速度為列，軌跡半

徑為R=*=r

C[D

如圖粒子將沿著48弧（圓心在Oi）運動，交內邊界于8點.AOOiB

為等邊三角形，則NBO]O=60。

粒子的軌跡A3弧對應的圓心角為N3aA=120。

則速度偏轉角為120°

(2)粒子從B點進入中間小圓區域沿直線3c運動，又進入磁場區域,

經偏轉與外邊界相切于。點，在磁場中運動的軌跡如圖所示，粒子

4

在磁場區域運動的時間：/i=3X--T=2T

Bq

每通過一次無磁場區域，粒子在該區域運動的距離

Z=2rcos30。=小r

3/

粒子在無磁場區域運動的總時間h=~

則粒子回到A點所用的總時間:

（4兀+3小）/%

“+'2=Bq

專題突破練

(限時：50分鐘)

1.（2013?江蘇-3）下列選項中的各（圓環大小相同，所帶電荷量已在圖

中標出，且電荷均勻分布，各;圓環間彼此絕緣.坐標原點O處

電場強度最大的是（）

答案B

解析設;圓環的電荷在原點O產生的電場強度為瓦，根據電場強

度疊加原理，在坐標原點O處，A圖場強為E0,B圖場強為尤瓦,

C圖場強為瓦，D圖場強為0,因此本題答案為B.，妙”

/、

2.（2013?安徽?15）圖1中。、氏c、d為四根與紙面垂度皈?。%,

、zb

、z

其橫截面位于正方形的四個頂點上，導線中通有大4，

方向如圖所示.一帶正電的粒子從正方形中心o點沿垂直于紙面

的方向向外運動，它所受洛倫茲力的方向是（）

A.向上B.向下圖1

C.向左D.向右

答案B

解析據題意，由安培定則可知，b.d兩通電直導線在O點產生

的磁場抵消，a、C兩通電直導線在O點產生的磁場方向均向左，

所以四條通電直導線在O點產生的合磁場方向向左.由左手定則

可判斷帶電粒子所受洛倫茲力的方向向下.本題正確選項為B.

3.P、。兩電荷形成的電場的電場線分布如圖2所飛

d為電場中的四個點.一個離子從。運動到仇小

跡如圖中虛線所示.則下列判斷正確的是

A.離子帶正電

B.c點電勢高于d點電勢圖2

C.離子在Q點時的加速度小于在。點時的加速度

D.離子在［點時的電勢能大于在匕點時的電勢能

答案B

解析根據圖中電場線方向可以判斷出，P電荷帶正電，。電荷帶

負電，由做曲線運動的物體受到的合力指向曲線的內側，可以判斷

離子從a運動到b,受到的電場力與電場線方向相反，離子帶負電，

選項A錯誤；沿著電場線方向電勢降低，c點電勢高于d點電勢，

選項B正確；a點的電場線比〃點的電場線密，所以離子在a點受

到的電場力大于在。點受到的電場力，則離子在a點的加速度大于

在b點的加速度，選項C錯誤；離子從。點運動到h點，電場力

做負功，電勢能增大，在a點時的電勢能小于在8點時的電勢能，

選項D錯誤.

4.如圖3所示，P、。處固定放置兩等量異種電；

在P、。的連線上，e、。為兩點電荷連線的七①一上一1___...

pbceQ

且ab=eO,bc—cO,ab^bO,ae^eO,貝！J、J

A.a點電勢等于點電勢

B.b點場強小于e點場強圖3

C.電子在。點的電勢能大于電子在。點的電勢能

D.從c間電勢差大于c、。間電勢差

答案D

解析等量異種點電荷周圍的電場線分布情況如

和。點不在同一個等勢面上，電勢不相等，選頊

電場線的疏密情況，可得b點的場強大于e點的

錯誤；。點的電勢大于零，。點的電勢等于零，電子帶負電，

在高電勢處電勢能小，選項C錯誤；AC間的電場線比C、0間的

電場線密，場強大，電勢降低得快，所以。、c間的電勢差大于c、

0間的電勢差，選項D正確.

5.如圖4所示，Med為一正方形邊界的勻強磁場區域大b

/女x'\

/女XXX、、、

長a/xXXXXX\c

\XXXXXX/

\xXXx/'

為L,三個粒子以相同的速度從a點沿對角線方向'y/

d1

從

8點射出，粒子2從c點射出，粒子3從cd邊垂直射出，不考慮

粒

子的重力和粒子間的相互作用.根據以上信息，可以確定

()

A.粒子1帶正電，粒子2不帶電，粒子3帶負電

圖4

B.粒子1和粒子3的比荷之比為1：2

C.粒子1和粒子2在磁場中的運動時間之比為4：1

D.粒子3的射出位置與d點相距與

答案A

解析三個粒子運動軌跡如圖所示.由左手定則可

正電、粒子2不帶電，粒子3帶負電，A正確；粒

由幾何關系可知片=呼，粒子3從cd邊垂直

出，

何關系可知r3=虛"又r=器，則詈等4兩粒子的比荷

m\

之比與軌跡半徑之比成反比，故B錯誤；粒子1的軌跡圓心角為

90°,則粒子1運動時間為人=等1=唔匕粒子2做勻速直線運

動，時間為力=呼，則"：力=兀：4,C錯誤；粒子3的射出位置

與d點相距（地一1）L,D錯誤.

6.圓形區域內有如圖5所示的勻強磁場，一束相同荷質/卞、弋工

/XXX'

子對

準圓心。射入，分別從Q、。兩點射出，則從。點射出的粒子（）

A.帶正電

運動半徑較小

C.速率較小

D.在磁場中的運動時間較長

答案A

解析根據題意作出帶電粒子在勻強磁場中做圓周運廠'［、并

出圓心，如圖所示，根據左手定則，兩個帶電粒子都.一頁

正確；根據圖象，從8點射出的粒子的運動半徑較大，選項B錯

mv

洛倫茲力充當向心力qvB=m~,癡，兩個粒子荷質比相同，軌

半徑大的粒子速度大，所以8點射出的粒子速度大，選項C錯誤;

4元227tm

根據quB=nv^r,可得兩粒子在磁場中做圓周運動的周期（T=1及

是相同的，從a點射出的粒子的圓心角為鈍角，從Z?點射出的粒子

的圓心角為銳角，帶電粒子的運動時間為t=^~T,圓心角越大運

動時間越長，則從8點射出的粒子的運動時間短，選項D錯誤.

7.如圖6所示為顯像管的原理示意圖，當沒有磁場時電子束將打在

熒光屏正中的。點.安裝在管徑上的偏轉線圈可以產生磁場，使

電子束發生偏轉.設垂直紙面向里的磁場方向為正方向，如果要

使電子束打在熒光屏上的位置由。點逐漸移動到b點，下列圖中

變化的磁場能夠使電子發生上述偏轉的是

()

答案A

解析要使電子束打在熒光屏上的位置由a點逐漸移動到h點，根

據左手定則，能夠使電子發生上述偏轉的變化的磁場是圖A.

8.如圖7所示，直角坐標平面內有一條直線4

0與x軸成45。夾角，在。4與％軸負半軸之間。：：'口^/*

直％Oy平面向外的勻強磁場囪，在OC與％軸正/不卜L

域內存在垂直xOy平面向外的勻強磁場昆.現有一/貝里ZJm、而

電量為q(q>0)的帶電粒子以速度。從位于直線AC上、坐標為

(3為的P點豎直向下射出，經測量發現，此帶電粒子每經過

圖7

mv

相同的時間T,將會再回到尸點，已知磁感應強度&=萬CiL.（不計

粒子重力）

（1）請在圖中畫出帶電粒子的運動軌跡，并求出勻強磁場囪與昆

的比值；（3、星磁場足夠大）

（2）求出帶電粒子相鄰兩次經過P點的時間間隔T.

答案（1）運動軌跡見解析圖乎⑵（8+3兀昔位磯

解析（1）帶電粒子從。點勻速運動到。點，然尸人*以*-

*mo

qvB2=R?=~￡~=L的勻速圓周運動，運動

A2qt）2

速度方向與AC垂直，從“點勻速運動到。點走

運動到P點.根據幾何知識可知：P0=OD=

形POQOi為棱形，Q為圓心，則帶電粒子在勻強磁場田中

做勻速圓周運動時的半徑Hi為地L,根據"8=/"后,

得「密邛民，噎邛

⑵設帶電粒子由P到。、。到H、H到D、D到P所用的時間分

別為九、打、打、〃，則7=%+叁+%3+以

L33立

，2=口=而，

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