專題03與角平分線有關的輔助線的三種考法類型一、角平分線上的點向兩邊作垂線例1．如圖，已知，P是的平分線上的任意一點，交于點D，于點E，如果，求的長．【變式訓練1】如圖，中，，點分別在邊，上，，．求證：平分．【變式訓練2】圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)連接AM，求證：AM平分∠EMF．【變式訓練3】已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．(1)如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；(2)如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關系；(3)如圖3，在(2)的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．類型二、過邊上的點向角平分線作垂線構造等腰三角形例1.如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．【變式訓練1】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD＝4，則CE＝________．【變式訓練2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF類型三、利用角平分線的性質，在角兩邊截長補短例1.已知：如圖，，，分別平分和，點E在上．用等式表示線段、、三者之間的數量關系，并證明．【變式訓練1】如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當∠ABC＝90°時，且AO＝3OD(如圖2)，判斷線段AE，CD，AC之間的數量關系，并加以證明．【變式訓練2】如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．(提示：過點E作EF⊥AD，垂足為F．)【變式訓練3】如圖所示，已知B(﹣2，0)，C(2，0)，A為y軸正半軸上的一點，點D為第二象限一動點，點E在BD的延長線上，CD交AB于點F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點運動的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數．【變式訓練4】已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(點E不與點A，點D重合)，滿足．(1)如圖2，若，且，則________，_______．(2)求證：．(3)如圖3，若，請直接寫出和的數量關系．課后訓練1．如圖①，是四邊形的一個外角，//，，點在的延長線上，，，垂足為．(1)求證：①平分；②．(2)如圖②，若，，．求的度數．2．已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點E，．(1)求證：；(2)如圖2，過點B作，交DC于點F，交AC于點G，若，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，若，求線段GF的長．3．如圖1，正方形ABCD中，點E是BC延長線上一點，連接DE，過點B作BF⊥DE于點F，交CD于點G．(1)求證：CG=CE；(2)如圖2，連接FC，AC．若BF平分∠DBE，求證：CF平分∠ACE；(3)如圖3，若G為DC中點，AB=2，求EF的長．4．已知：在四邊形中，于E，且．(1)如圖1，求的度數；(2)如圖2，平分交于F，點G在上，連接，且．求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，，過點F作，且，若，求線段的長．5．如圖，的和的平分線，相交于點，．(1)求的度數；(2)如圖，連接，求證：平分；(3)如圖，在⑵的條件下，在上取點，使得，且，，求的周長．6．如圖所示，是的高，點H為的垂直平分線與的交點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)在(2)的條件下，若，，求的長．7．教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容．請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．定理應用：(1)如圖②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于