第03講與圓有關的性質—圓周角定理與內接四邊形課程標準學習目標①圓周角的定義②圓周角定理③圓周角定理的推論④圓的內接四邊形掌握圓周角的定義，理解認識圓周角。掌握圓周角定理，并能夠熟練運用圓周角定理解決相應的題目。掌握圓周角定理的推論并對其熟練應用。掌握圓的內接四邊形的性質并樹熟練應用。知識點01圓周角的認識圓周角的認識：如圖，像∠BAC這樣頂點在圓上，且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。題型考點：①圓周角的認識與判斷?！炯磳W即練1】1．如圖，∠APB是圓周角的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、B頂點沒在圓上，C雖然頂點在圓上，但一條邊沒有與圓相交，D符合圓周角的概念，故選：D．知識點02圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，且都等于這條弧所對的圓心角的一半。即：∠BAC＝∠BDC＝∠BEC＝∠BOC題型考點：①圓周角定理的應用?！炯磳W即練1】2．如圖所示，在⊙O中，∠BOD＝30°，OD∥AB，AD，OB相交于點C，那么∠BCD的度數是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：∠A＝∠BOD＝15°，∵OD∥AB，∴∠D＝∠A＝15°，∴∠BCD＝∠BOD+∠D＝45°，故選：C．【即學即練2】3．如圖，△ABC內接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，則BC的長為（）A． B．2 C．2 D．4【解答】解：由圓周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，∴BC＝OC＝2，故選：B．知識點03圓周角定理的推論圓周角定理的推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角（等于90°）。90°的圓周角所對的弦是直徑。題型考點：①圓周角定理推論的應用?！炯磳W即練1】4．如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側的兩點，設∠ABC＝37°，則∠BDC＝（）A．53° B．63° C．43° D．74°【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝37°，∴∠CAB＝53°，∴∠BDC＝∠CAB＝53°，故選：A．【即學即練2】5．如圖，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直徑．若∠D＝36°，則∠BCA的度數是（）A．72° B．54° C．45° D．36°【解答】解：∠B＝∠D＝36°，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠BCA＝90°﹣∠B＝54°，故選：B．知識點04圓的內接四邊形圓的內接四邊形的概念：如圖：四個頂點都在圓上的四邊形叫做圓的內接四邊形。圓的內接四邊形的性質：圓的內接四邊形的對角互補。即∠B＋∠D＝180°，∠C＋∠BAD＝180°。（2）圓的內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）即：∠EAD＝∠C。題型考點：①圓的內接四邊形的性質的應用。【即學即練1】6．如圖，⊙O的內接四邊形ABCD中，∠D＝50°，則∠B為（）A．140° B．130° C．120° D．100°【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故選：B．【即學即練2】7．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠BOD＝100°，則∠BCD＝130°．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°．∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130．【即學即練3】8．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一點，則∠ACB等于（）A．80° B．100° C．120° D．130°【解答】解：如圖：在優弧上取點D，連接AD，BD，∵⊙O中，∠AOB＝100°，∴∠ADB＝∠AOB＝50°，∵四邊形ACBD是⊙O的內接四邊形，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．故選：D．題型01圓周角定理及其推論【典例1】如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，若∠BOC＝78°，則∠A的度數是（）A．39° B．40° C．78° D．100°【解答】解：∵∠BOC與∠A是同弧所對的圓心角與圓周角，∠BOC＝78°，∴∠A＝∠BOC＝39°．故選：A．【典例2】如圖所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，∠CED＝30°，則∠BOD的度數是（）A．55° B．110° C．125° D．150°【解答】解：連接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝25°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝55°，∴∠BOD＝2∠BED＝110°．故選：B．【典例3】如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，⊙O的半徑為r，AB＝r，CD＝r，連接AC、BD，AC與BD交于點H，則∠BHC的度數為（）A．100° B．105° C．110° D．115°【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、BC，則OA＝OB＝OC＝OD＝r，∵AB＝r，CD＝r，∴△AOB是等邊三角形，△OCD是等腰直角三角形，∴∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∠DBC＝∠COD＝45°，∴∠BHC＝180°﹣∠ACB﹣∠DBC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故選：B．【典例4】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數為（）A．25° B．30° C．45° D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝40°，∠∠ABC＝90°﹣∠CAB＝50°，∴∠ADC＝∠ABC＝50°故選：D．【典例5】如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D均在⊙O上，∠ABC＝58°，則∠D為（）A．32° B．42° C．29° D．22°【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝58°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝32°，∴∠D＝∠A＝32°，故選：A．題型02圓的內接四邊形【典例1】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠D＝85°，則∠B的度數為（）A．95° B．105° C．115° D．125°【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝85°，∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．故選：A．【典例2】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝BC，∠BAO＝75°，則∠D＝（）A．60° B．30° C．45° D．無法確定【解答】解：連接OC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∵∠D＝∠AOC，∴∠D＝∠AOB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝75°，∴∠AOB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故選：B．【典例3】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠A＝60°，點E在BC的延長線上，則∠DCE的度數是（）A．60° B．45° C．30° D．無法確定【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠A＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°，故選：A．【典例4】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數是（）A．100° B．128° C．104° D．124°【解答】解：四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，由圓周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，故選：C．1．如圖，AB是⊙O的直徑，∠B＝30°，BC＝3，則AC的長為（）A． B． C．1 D．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3，∴AC＝．故選：A．2．已知四邊形ABCD是圓內接四邊形，∠A＝70°，則∠C的度數為（）A．70° B．80° C．100° D．110°【解答】解：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．故選：D．3．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠DAC＝25°，AD＝CD，則∠BAC的度數是（）A．30° B．35° C．40° D．50°【解答】解：連接BD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠DBC＝25°，∵DA＝DC，∴弧AD＝弧CD，∴∠DBC＝∠ABD＝25°，∴∠ABC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°．故選：C．4．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為上一點，若∠CEA＝28°，則∠ABD的度數為（）A．14° B．28° C．56° D．無法確定【解答】解：∵AB為直徑，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠ABD＝∠CEA＝28°，故選：B．5．如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠BAO＝20°，則∠ACB的大小是（）A．90° B．70° C．60° D．40°【解答】解：∵AO＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∵∠BAO＝20°，∴∠OBA＝20°，即∠AOB＝140°，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠ACB＝70°．故選：B．6．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝100°，點B是弧AC的中點，則∠D的度數是（）A．25° B．30° C．50° D．60°【解答】解：連接OB，∵∠AOC＝100°，點B是弧AC的中點，∴∠AOB＝∠AOC＝50°．∵∠AOB與∠D是同弧所對的圓心角和圓周角，∴∠D＝∠AOB＝25°．故選：A．7．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小為（）A．130° B．100° C．120° D．110°【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，故選：A．8．如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，＝，AD、BC的延長線相交于點E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數為（）A．16° B．24° C．12° D．14°【解答】解：∵AF為圓的直徑，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故選：D．9．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，則∠ACD＝度．【解答】解：如圖，連接OD，∵OA＝OD，∠DAB＝66°，∴∠ODA＝∠OAD＝66°，∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，∴∠ACD＝∠AOD＝24°，故答案為：24．10．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，對角線BD過點O，若∠ABD＝65°，則∠ACB的度數為°．【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠ABD＝65°，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝65°，∵∠ACB+∠ACD＝∠BCD，∴∠ACB＝25°，故答案為：25．11．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠B＝22.5°，CD＝10，則直徑AB的長為．【解答】解：連接OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD＝10，∴CE＝DE＝5，AC＝AD，∴∠B＝∠ACD，∵∠B＝22.5°，∴∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝45°，∴OE＝DE＝5，在Rt△OED中，根據勾股定理可得，∴，∴，故答案為：．12．如圖是以點O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對折，點B落在⊙O上的點D處（不與點A重合），連結CB，CD，AD，設CD與直徑AB交于點E，連結CD、AC．若OD∥AC，∠B＝度；＝．【解答】解：如圖，連接BD，由軸對稱可知，直線CO是線段BD的垂直平分線，即CO⊥BD，又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，∴CO∥AD，又∵OD∥AC，∴四邊形ACOD是平行四邊形，∵OD＝OC，∴四邊形ACOD是菱形，∴AC＝AD＝OC＝OD＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，∠OAC＝60°，∴BC＝AC，即BC＝AD，∴＝，故答案為：30，．13．如圖所示，⊙O的直徑AB為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D．（1）判斷△ADB的形狀，并證明；（2）求BD的長．【解答】解：（1）△ADB是等腰直角三角形，證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形；（2）由（1）得：∠ADB＝90°，AD＝BD，∵AB＝6cm，∴BD＝＝＝3（cm），∴BD的長為3．14．如圖，以AB為直徑的⊙O經過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD，CD．（1）求證：DB＝DE；（2）若，，求BC的長．【解答】（1）證明：由圓周角定理可得：∠CAD＝∠CBD，∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．（2）解：連接OC、OD，OD交BC于點F，由圓周角定理可得：∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝