專題27.7相似三角形的八大經(jīng)典模型【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字型】 2【題型2“8”字形】 3【題型3AX字型】 4【題型4子母型】 6【題型5雙垂直型】 8【題型6一線三等角型】 10【題型7手拉手型】 13【題型8三角形內(nèi)接矩形型】 16【基本模型1-A字型】①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【題型1A字型】【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點O，作OM⊥BC于點M，點E是BD的中點，EF⊥BC于點G，交AC于點F，若AB=4，CD=6，則OM-EF值為（

）

A．75 B．125 C．35【變式1-1】（2023春·四川成都·九年級校考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC．已知△ABC的面積為9，則陰影部分的面積為．

【變式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）在等邊三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的動點，F(xiàn)是AB上的動點，且BF=BD=EC=2，連接FE，S△DEFS【變式1-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的頂點D在AB上，頂點F、G都在AC上，射線AF交BC邊于點H，則CH長為．

【基本模型2-“8”字形】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【題型2“8”字形】【例2】（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，AE=2ED，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則BGGFA．23 B．12 C．13 D【變式2-1】（2023春·廣東深圳·九年級校考開學(xué)考試）如圖，已知BD與CE相交于點A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC=6，則AE=

【變式2-2】（2023春·陜西寶雞·九年級校考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD上，AE=3，連接BE交AC于點F，過點F作FG∥BC，交CD于點G．求FG的長．

【變式2-3】（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)為矩形ABCD內(nèi)兩點，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分別為E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，則BD=（

）A．103 B．5 C．53 D【基本模型3-AX字型】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【題型3AX字型】【例3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線AC上的一點，射線BM與AD交于點F，與CD的延長線交于點H．

(1)圖中相似三角形有______對；(2)若AD2=AC?CM,∠BMA=72°【變式3-1】（2023春·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥AC，若S

【變式3-2】（2023春·重慶巴南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，過C作CE⊥BD于E點，交AB于F點，連接AE.若F是AB中點，且BC=8，則AE的長為．

【變式3-3】（2023春·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，在?ABCD中，點E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于點F，過點F作FG∥AB

(1)求FG:AE的值．(2)若AB:AC=3①求證：∠AEF=∠ACB．②求證：DF【基本模型4-子母型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當(dāng)時，，則有．【題型4子母型】【例4】（2023春·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且ABAC=ADCE，∠BAD（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求CEAC【變式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年級校考期中）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA【變式4-2】（2023春·安徽合肥·九年級校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點E為BD的中點，連接AE并延長交BC于點F，且有AF=CF，過F點作FH⊥AC于點H．（1）求證：△ADE∽△CDB；（2）求證：AE=（3）若FH=3，求【變式4-3】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖1，AB=AC=2CD，DC∥AB，將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△FCE，使點D落在AC的點E處，AB與CF相交于點O，AB與EF相交于點G，連接BF．(1)求證：△ABE≌(2)求證：AC∥(3)若點D，E，F(xiàn)在同一條直線上，如圖2，求ABBC【基本模型5-雙垂直型】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．【題型5雙垂直型】【例5】（2023春·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E在邊BC上，CE=2，若點P、Q分別為邊CD與AB上兩個動點，線段PQ始終滿足與AE垂直且垂足為F，則AP+QE的最小值為．【變式5-1】（2023春·福建莆田·九年級校考期末）【問題情境】（1）古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．射影定理是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理．其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：（1）AC2=AB·AD；(2)BC2=AB·BD；(3)CD2=AD·BD；請你證明定理中的結(jié)論（1）AC2=AB·AD．【結(jié)論運用】（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為3，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，①求證：△BOF∽△BED；②若BE=10，求OF【變式5-2】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【變式5-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片ABCD，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中線段AE與線段BF的關(guān)系．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB:AD=m:n，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F，請求出線段AE與BF的關(guān)系，并說明理由．

(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，動點E由點A向終點D做勻速運動，動點F由點D向終點C做勻速運動，動點E、F同時開始運動，且速度相同，連接AF、BE，交于點G，連接GD，則線段GD長度的最小值為______，點G的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

【基本模型6一線三等角型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形【題型6一線三等角型】【例6】（2023春·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的頂點分別在△BCD，△ACD的三邊上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求兩矩形的相似比的是（

A．ABAC B．BDCD C．CDCH【變式6-1】（2023春·山東日照·九年級校考期中）已知等邊三角形ABC的邊長為4．(1)如圖，在邊BC上有一個動點P，在邊AC上有一個動點D，滿足∠APD=60°，求證：△ABP∽△PCD；

(2)如圖，若點P在射線BC上運動，點D在直線AC上，滿足∠APD=120°，當(dāng)PC=2時，求AD的長；

(3)在（2）的條件下，將點D繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°到點D'，求△【變式6-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，點P是線段AB上與點A，點B不重合的任意一點，在AB的同側(cè)分別以A，P，B為頂點作∠1=∠2=∠3，其中∠1與∠3的一邊分別是射線AB和射線BA，∠2的兩邊不在直線AB上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點P為等聯(lián)點，線段AB為等聯(lián)線．

(1)如圖2，在5×3個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，AB為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段AB為等聯(lián)線、某格點P為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延長AP至點B，使AB=AC，作∠A的等聯(lián)角∠CPD和∠PBD．將△APC沿PC折疊，使點A落在點M處，得到△MPC，再延長PM交BD的延長線于E，連接CE并延長交PD的延長線于①確定△PCF的形狀，并說明理由；②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等聯(lián)線【變式6-3】（2023春·重慶萬州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E為CD的中點，F(xiàn)為BC上一點，BF<FC，且AF⊥FE．對角線AC與EF交于點G，則GC的長為．

【基本模型7-手拉手型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．【題型7手拉手型】【例7】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）背景材料：在學(xué)習(xí)全等三角形知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型，它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們知道這種模型稱為手拉手模型．例如：如圖1，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰長看作是小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是手拉手模型，在這個模型中易得到△ABD≌△ACE．學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究：（1）如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，請作出一個手拉手圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并連接BE，CD，證明BE＝CD；（2）小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，將三角形ADE旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖3），連接CE和BD，證明△ABD∽△ACE．學(xué)以致用：（3）如圖4，四邊形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝34，CD＝5，AD＝12．請在圖中構(gòu)造小剛發(fā)現(xiàn)的手拉手模型求BD【變式7-1】（2023春·安徽六安·九年級校考階段練習(xí)）［問題發(fā)現(xiàn)］(1)如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E與點A重合，已知ΔACF∽ΔBCE．請直接寫出線段BE［實驗研究］(2)在（1）的條件下，將正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接BE，CE，AF．請猜想線段BE和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；［結(jié)論運用］(3)在（1）（2）的條件下，若ΔABC的面積為8，當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點共線時，請求出線段AF【變式7-2】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）綜合與實踐綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“手拉手圖形”為主題開展數(shù)學(xué)活動兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)操作判斷

已知點C為△ABC和△CDE的公共頂點，將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α0°<a<360°，連接BD，AE，如圖1，若△ABC和△CDE①線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是________；②直線BD與直線AE相交所夾銳角的度數(shù)是________；(2)遷移探究

如圖2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請說明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，當(dāng)點B，D，E三點共線時，請直接寫出BD【變式7-3】（2023春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α=60°時，BDCP的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是（