專題1.31全等三角形（全章分層練習）（基礎練）一、單選題1．下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖AD是∠BAC的平分線，EF∥AC交AB于點E，交AD于點F，∠1＝30°，∠BAD的度數（）A．20° B．30° C．60° D．120°3．如圖的正方形網格中，點均為格點，，點在同一直線上，則下列結論不正確的是（

）

A． B．C． D．4．如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分線DE交AC于點E,連接BE，若∠A=35°,則∠CBE的度數是(

)A．15° B．20° C．30° D．45°5．已知．下面是“作一個角等于已知角，即作”的尺規作圖痕跡．該尺規作圖的依據是（

）A． B． C． D．6．已知是的邊上一點，交于點，，，若，，則的長為（）A．1 B．3 C．5 D．77．如圖，和是的高，交于點，且，，則的長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．68．如圖，，的平分線與的平分線相交于點P，作于點E，若，則點P到與的距離之和為（

）

A．4 B．6 C．8 D．109．在中，，是上的一點，且，過作交于，如果，則等于（

）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm10．如圖，在長方形中，，，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿向點B勻速運動，點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿向點C勻速運動，點R從點C出發，以每秒a個單位長度的速度沿向點D運動，連接，．三點同時開始運動，當某一點運動到終點時，其它點也停止運動，若在某一時刻，與全等，則a的值為（

）

A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或二、填空題11．已知圖中的兩個三角形全等，則°12．如圖，中，，是邊上的中線，的平分線交于點，于點，若，則的長度為．13．如圖∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，若PD＝1，則PC等于．14．如圖，D是△ABC的邊BC延長線上一點，BD＝BC＋AC，則C點在線段的垂直平分線上．15．如圖，在由6個相同的小正方形拼成的網格中，∠2﹣∠1＝°．16．如圖，直線，點，分別在直線，上，且，直線交線段于點，交直線于點，是射線上一點，連接，．若，，，是等腰直角三角形，則的值為．17．如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC，固定住長木棍，轉動短木棍，得到△ABD．（1）能直觀看出△ABC與△ABD的形狀與大小均不相同，說明這兩個三角形不；（2）這個實驗說明．18．如圖，是的中線，延長至，使得，連接，，點在的平分線上，且．設，則（用含、的式子表示）三、解答題19．如圖，在四邊形中，，點E是的中點，．求證：．證明：∵，∴，（）∵，∴

∴∠___________=∠___________．∵E為中點，∴在和中．∴（）∴（）

20．如圖，線段AD上有兩點E，B，且AE＝DB，分別以AB，DE為直角邊在線段AD同側作Rt△ABC和Rt△DEF，∠A＝∠D＝90°，BC＝EF．求證：∠AEG＝∠DBG．21．已知，且三點在同一直線上，與在直線的同一側，與交于點，圖中還有全等三角形嗎？請寫出來，并說明理由．

22．根據下列語句用圓規和直尺作圖，保留作圖痕跡，并完成證明．已知：如圖，．求作：，使．（1）以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）畫一條射線，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點；（3）以點為圓心，長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點；（4）作射線．則即為所求．證明：連接，．在與中∴（________）．∴________（________）．即．23．已知△ABC與△DEF，現給出四個條件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC邊上中線與DF邊上中線相等；④△ABC的面積與△DEF的面積相等．（1）請你以其中的三個條件作為命題的已知條件，以“△ABC≌△DEF”作為命題的結論，將一個真命題寫在橫線上．（2）請你以其中的三個條件（其中一個必須是條件④，另兩個自選）作為命題的已知條件，以“△ABC≌△DEF”作為命題的結論，將一個假命題寫在橫線上并舉一反例說明．24．【定義新概念】把一個兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．【操作與發現】已知（如圖）．（1）尺規作圖求作四邊形，且，．（保留作圖痕跡，不寫作法，）（2）以上所得四邊形是平行四邊形，請說明理由．【探索與延伸】如上圖，連結，記交點為，觀察、分析，在該平行四邊形中，辨析以下結論：①平行四邊形的兩組對角分別相等（，）；②平行四邊形的兩條對角線互相平分（，）；③平行四邊形中連結兩條對角線，圖中全等的三角形是2對；④和的面積相等；其中正確的有______（填寫序號）．參考答案1．B【分析】根據全等圖形的概念判斷即可．解：A、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項不符合題意；B、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，故本選項符合題意；C、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項不符合題意；D、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題主要考查全等圖形的定義，熟練掌握“能完全重合的兩個圖形是全等圖形”是解題的關鍵．2．B【分析】先根據平行線的性質得到，再根據角平分線即可得到∠BAD的度數．解：∵EF∥AC，∴∵AD是∠BAC的平分線∴，故選：B．【點撥】本題主要考查了角平分線及平行線的性質，熟練掌握相關性質定理是解決本題的關鍵．3．D【分析】由，可得，，，而，可得，可得，，從而可得答案．解：∵，∴，．，故A不符合題意，D符合題意；∵，∴，∴，，故B不符合題意；∴，∴，故C不符合題意；故選D【點撥】本題考查的是全等三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，熟記全等三角形的對應邊相等，對應角相等是解本題的關鍵．4．B【分析】由AB的垂直平分線DE交AC于點E，可得AE=BE，繼而求得∠ABE的度數，然后由Rt△ABC中，∠C=90°，求得∠ABC的度數，繼而求得答案．解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE=35°，∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=35°，∴∠ABC=55°，∴∠CBE=∠ABC?∠ABE=20°.故選擇B.【點撥】本題考查線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質.5．B【分析】根據“作一個角等于已知角，即作”的尺規作圖痕跡，結合兩個三角形全等的判定定理即可確定答案．解：由題意可知，“作一個角等于已知角，即作”的尺規作圖的依據是，故選：B．【點撥】本題考查尺規作圖“作兩角相等”以及兩個三角形全等的判定定理，掌握尺規作圖及兩個三角形全等的判定定理是解決問題的關鍵．6．D【分析】利用ASA證明和全等，進而得出，即可求出的長．解：，．，，（ASA）．．又，，故選：D．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質；利用全等三角形來得出簡單的線段相等是解此類題的常用方法．7．A【分析】欲求的長，需求得的長，觀測圖中可放在中，而可放在中，結合已知條件可證兩三角形全等，問題迎刃而解．解：∵和是的高，∴，，∴．在與中，∴．∴，則．故選：A．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是找準全等三角形的對應邊角．8．C【分析】如圖所示，過點P作與F，延長交于G，先證明，由角平分線的定義得到，進而證明得到，同理可得，則，由此即可得到答案．解：如圖所示，過點P作與F，延長交于G，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴，∴點P到與的距離之和為8，故選C．

【點撥】本題主要考查了平行線的性質，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，平行線間的距離等等，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．9．A【分析】利用“”得到，利用全等三角形對應邊相等得到，最后根據，等量代換即可確定出的長．解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故選A．【點撥】本題考查三角形全等的判定和性質．熟練掌握三角形全等的判定定理及性質定理是解題關鍵．10．D【分析】設t秒后，與全等，表示出相應邊長，再分，兩種情況，根據對應邊相等列出方程，解之即可．解：設t秒后，與全等，由題意可得：，，，，∵與全等，，∴當時，，，∴，，∴，；當時，，，∴，，∴，；∴a的值為2或，故選D．【點撥】本題考查了全等三角形綜合問題，解題的關鍵是注意分類討論，利用對應邊相等列方程求解．11．【分析】三角形全等，有對應邊相等，對應角相等，找到的對應角即可．解：如圖，是邊和的夾角，左圖是，故【點撥】本題考查了全等三角形的性質，全等三角形的對應角相等．12．【分析】根據等腰三角形三線合一，確定AD⊥BC，又因為EF⊥AB，然后根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證出結論．解：是邊上的中線平分且【點撥】本題考查角平分線的性質和等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握角平分線的性質和等腰三角形的性質.13．2【分析】作PE⊥OB于E，根據角平分線的性質得到PD＝PE＝1，根據平行線的性質求出∠PCB＝∠AOB＝30°，根據含30°角的直角三角形的性質計算即可．解：作PE⊥OB于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝1，∵∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OA，∴∠PCB＝∠AOB＝30°，∴PC＝2PE＝2．故答案為2．【點撥】本題考查角平分線的性質，含30°角的直角三角形的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．14．AD【分析】由，，得到，根據到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上即可結論.解：，而，，點在的垂直平分線上.故答案為.【點撥】本題考查了線段的垂直平分線的性質：到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上.15．90【分析】如圖（見分析），先根據三角形全等的判定定理證出，再根據全等三角形的性質可得，然后根據三角形的外角性質即可得．解：如圖，由題意得：，，，，，，故答案為：90．【點撥】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、三角形的外角性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．16．/【分析】根據平行，和垂直證明，從而證明，由此得出，即可求解．解：∵，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在，中，，，，是等腰直角三角形，，∴，∴，，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查平行線與三角形全等的判定的綜合，掌握平行的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．17．全等如果兩個三角形的兩邊和其中一邊的對角對應相等，那么這兩個三角形不全等【分析】（1）根據全等三角形的定義得出即可；（2）根據圖形得出∠B=∠B，AB=AB，AC=AD，再根據全等三角形的判定得出即可．解：（1）∵△ABC與△ABD的形狀與大小均不相同，∴這兩個三角形不全等，故答案為：全等；（2）這個實驗說明：如果兩個三角形的兩邊和其中一邊的對角對應相等，那么這兩個三角形不全等，故答案為：如果兩個三角形的兩邊和其中一邊的對角對應相等，那么這兩個三角形不全等．【點撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL，②具備條件SSA和AAA時，兩三角形不全等．18．或【分析】先證明△BDC≌△EDA（SAS），可得∠C＝∠EAD，根據三角形的內角和定理表示出∠AFB，再分射線BF在∠DBC內部，射線BF在∠DBC外部，分別表示出∠DBF，即可表示出∠AFB的度數．解：∵BD是△ABC的中線，∴AD＝DC，∵在△BDC和△EDA中，∴△BDC≌△EDA（SAS），∴∠C＝∠EAD，∵點F在∠DAE的平分線上，∴∠FAD＝∠EAD＝∠C，∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，∴∠C＝α?β，∠DAB＋∠DBA＝180°?α，∴∠FAD＝（α?β），∴∠AFB＝180°?∠FAB?∠FBA＝180°?∠DAB?∠DBA?∠FAD?∠FBD＝180°?（180°?α）?（α?β）?∠FBD＝α＋β?∠FBD∵∠FBC＝∠DBC＝β，當射線BF在∠DBC內部時，∴∠FBD＝β，∴∠AFB＝α＋β?β＝α；當射線BF在∠DBC外部時，則∠FBD＝β，∴∠AFB＝α＋β?β＝α?β，綜上，∠AFB＝α或α?β，故答案為：α或α?β．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義等，熟練掌握這些知識是解題的關鍵，本題綜合性較強，難度較大．19．見分析【分析】根據平行線的性質和等腰三角形的性質以及等量代換可得，進而可利用邊角邊證明，再根據全等三角形的性質即可得出結論．解：∵，∴，（兩直線平行，內錯角相等），∵，∴，∴．∵E為中點，∴，在和中．∴（）∴（全等三角形的對應角相等）．【點撥】本題考查了平行線的性質和全等三角形的判定和性質，正確得出判定三角形全等的條件是解題的關鍵．20．見分析【分析】先證明再證明Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，再證明∠ABC=∠DEF，再利用等角的補角相等可得答案.解：證明：∵AE=DB∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE∵∠A=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∴∠ABC=∠DEF∴∠AEG=∠DBG【點撥】本題考查的是直角三角形全等的判定與性質，等角的補角相等，掌握“斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”是解題的關鍵.21．，詳見分析【分析】根據可得，，從而得到，進而得到，再由即可證明全等．解：還有，理由如下：，，，，，在和中，，．【點撥】本題主要考查三角形全等的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握三角形全等的判定與性質，平行線的性質，是解題的關鍵．22．作圖見分析；；；；；全等三角形對應角相等【分析】根據題目中的語句按步驟作圖即可；根據“”證明，即可得出，即可得出答案．解：即為所求，如圖所示：證明：連接，，∵在與中，∴，∴（全等三角形對應角相等），即．故答案為：；；；；全等三角形對應角相等．【點撥】本題主要考查了作一個角等于已知角，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．23．真命題為如果AC＝DF，AB＝DE，AC邊上中線與DF邊上中線相等，那么△ABC≌△DEF，證明見詳解；（2）【分析】（1）真命題為如果AC＝DF，AB＝DE，AC邊上中線與DF邊上中線相等，那么△ABC≌△DEF；可先證明△ABM≌△DEN，得到∠A=∠D，即可求解；（2）假命題為如果AB=DE，AC邊上中線與DF邊上中線相等，△ABC的面積與△DEF的面積相等，那么△ABC≌△DEF；例如，如圖，若AC=DF=4，中線BP=EQ=4，△ABC的面積與△DEF的面積為6，且∠A=90°，則AB=3，DF邊上的高EG為3，則DE＞EG，所以DE＞AB，即△ABC不與△DEF全等，即可求解．解：（1）真命題為如果AC＝DF，AB＝DE，AC邊上中線與DF邊上中線相等，那么△ABC≌△DEF，證明：如圖，根據題意得