PAGEPAGE11機械能守恒定律目標體系構建明確目標·梳理脈絡【學習目標】1．通過機械能守恒定律的學習，初步建立能量觀念，體會守恒思想。2．會用能量觀念分析具體實例中動能與勢能(包括彈性勢能)之間的相互轉化。3．理解機械能守恒定律的推導過程。4．會判斷機械能是否守恒，能用機械能守恒定律解決有關問題。【思維脈絡】課前預習反饋教材梳理·落實新知知識點1追尋守恒量、動能與勢能的相互轉化1．追尋守恒量：伽利略的斜面實驗中，如果空氣阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必將準確地終止于它開始運動時的__高度__，這說明某種“東西”在小球運動的過程中是__不變__的。2．重力勢能可以與__動能__相互轉化。3．彈性勢能可以與__動能__相互轉化。4．機械能：(1)重力勢能、__彈性__勢能與動能都是機械運動中的能量形式，統稱為__機械能__。(2)機械能可以從一種形式__轉化__成另一種形式。知識點2機械能守恒定律1．推導：如圖所示，物體沿光滑曲面滑下。物體在某一時刻處在高度為h1的位置A，這時它的速度是v1。經過一段時間后，物體下落到高度為h2的另一位置B，這時它的速度是v2。用W表示這一過程中重力做的功。由動能定理可得：W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，又W＝__mgh1－mgh2__可得：mgh1－mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，移項后得：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＋mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mgh1，即物體末狀態動能與勢能之和__等于__物體初狀態動能與勢能之和。2．內容在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以__互相轉化__，而總的機械能__保持不變__。3．守恒條件物體系統中只有__重力__或__彈力__做功。思考辨析『判一判』(1)通過重力做功，動能和重力勢能可以相互轉化。(√)(2)物體自由下落時，重力做正功，物體的動能和重力勢能都增加。(×)(3)機械能守恒時，物體一定只受重力和彈力作用。(×)(4)合力做功為零，物體的機械能一定保持不變。(×)(5)合力為零，物體的機械能一定守恒。(×)(6)只有重力做功時，物體的機械能一定守恒。(√)『選一選』(2021·浙江高一月考)“娃娃機”指將商品陳列在一個透明的箱內，其上有一個可控制抓取玩具的機器手臂，使用者要憑自己的技術操控手臂，以取到自己想要的玩具。關于“娃娃機”。下列說法正確的是(B)A．機械爪抓到玩具勻速上升時，玩具機械能守恒B．機械爪抓到玩具加速水平移動時，玩具的機械能增加C．玩具從機械爪掉下時，速度增加，玩具的機械能增加D．機械爪抓到玩具加速上升時，機械爪做的功等于玩具重力勢能變化量解析：機器手臂抓到玩具勻速上升時，動能不變，重力勢能增大，所以玩具的機械能變大，故A錯誤；機器手臂抓到玩具加速水平運動時，玩具的質量不變，速度增大，則動能增大，玩具的機械能增加，故B正確；玩具從機械爪掉下時，在沒有空氣阻力的情況下，玩具從機器手臂處自由落下時，重力勢能轉化為動能，沒有能量的損失，即玩具的機械能守恒；若有空氣阻力的情況下，玩具的機械能減小，故C錯誤；機器手臂抓玩具加速上升時，動能和重力勢能均變大，所以手臂做的功等于玩具重力勢能與動能的增大量之和，故D錯誤。『想一想』下圖是上海“明珠線”某車站的設計方案。由于站臺建得稍高，電車進站時要上坡，出站時要下坡。忽略斜坡的摩擦力，你能分析這種設計的優點嗎？答案：這樣設計的主要優點在于節約電能。解析：電車進站前雖關閉了電動機，但仍具有動能，可使電車爬上斜坡，這是將動能轉化為勢能儲存。出站時，電車可利用斜坡再將勢能轉化成動能。可見，這種設計方案可以節約電能。課內互動探究細研深究·破疑解難探究對機械能守恒定律的理解┃┃情境導入__■如圖所示，過山車由高處在關閉發動機的情況下飛奔而下。(1)過山車受哪些力作用？各做什么功？(2)過山車下滑時，動能和勢能怎么變化？兩種能的和不變嗎？(3)若忽略過山車的摩擦力和空氣阻力，過山車下滑時機械能守恒嗎？提示：(1)過山車受重力，軌道支持力、摩擦力和空氣阻力；重力做正功，軌道支持力不做功，摩擦力和空氣阻力做負功。(2)過山車下滑時，勢能減少動能增加，兩種能的和減少。(3)若忽略過山車的摩擦力和空氣阻力，過山車下滑時機械能守恒。┃┃要點提煉__■1．對機械能守恒條件的理解(1)只有重力做功，只發生動能和重力勢能的相互轉化。(2)只有彈力做功，只發生動能和彈性勢能的相互轉化。(3)只有重力和彈力做功，發生動能、彈性勢能、重力勢能的相互轉化。(4)除受重力或彈力外，其他力也做功，但其他力做功的代數和始終為零。2．判斷機械能是否守恒的方法(1)做功條件分析：只有重力和系統內彈力做功，其他力不做功或做功的代數和始終為零。(2)能量轉化分析：系統內只有動能、重力勢能及彈性勢能的相互轉化，即系統內只有物體間的機械能相互轉移，則機械能守恒。(3)定義判斷法：如物體沿豎直方向或沿斜面勻速運動時，動能不變，勢能變化，機械能不守恒。┃┃典例剖析__■典題1(多選)如圖所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是(CD)A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒C．丙圖中，不計滑輪質量和任何阻力時A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統機械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒思路引導：解答本題時應注意以下三個方面：(1)機械能守恒時力做功的特點；(2)機械能守恒的研究對象；(3)機械能守恒中能量轉化特點。解析：甲圖中重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統機械能守恒，但物體A機械能不守恒，A錯。乙圖中物體B除受重力外，還受彈力，彈力對B做負功，機械能不守恒，但從能量特點看A、B組成的系統機械能守恒，B錯。丙圖中A、B組成的系統只有重力做功，動能和勢能相互轉化，總的機械能守恒，C對。丁圖中動能不變，勢能不變，機械能守恒，D對。總結提升：物體的運動形式有多種，判斷其機械能是否守恒，關鍵看是否只有重力或彈力做功或分析有無其他形式的能與機械能發生轉化。┃┃對點訓練__■1．(2021·重慶市第三十七中學校高一月考)光滑水平面上有A、B兩木塊，A、B之間用一輕彈簧拴接，A靠在墻壁上，用力F向左推B使兩木塊之間的彈簧壓縮并處于靜止狀態，若突然撤去力F，則下列說法中正確的是(C)A．木塊A離開墻壁前，A、B組成的系統機械能守恒B．木塊A離開墻壁后，A、B組成的系統機械能守恒C．木塊A離開墻壁前，A、B及彈簧組成的系統機械能守恒D．木塊A離開墻壁后，A、B及彈簧組成的系統機械能不守恒解析：木塊A離開墻壁前，彈簧的彈力對B做功，則A、B組成的系統機械能不守恒，但是A、B彈簧組成的系統機械能守恒，選項A錯誤，C正確；木塊A離開墻壁后，彈簧的彈力對AB都做功，則A、B組成的系統機械能不守恒，但是A、B及彈簧組成的系統機械能守恒，選項BD錯誤。探究機械能守恒定律的應用┃┃情境導入__■如圖所示，是運動員投擲鉛球的動作，如果忽略鉛球所受空氣的阻力。(1)鉛球在空中運動過程中，機械能是否守恒？(2)若鉛球被拋出時速度大小一定，鉛球落地時的速度大小與運動員將鉛球拋出的方向有關嗎？(3)在求解鉛球落地的速度大小時，可以考慮應用什么規律？提示：(1)由于阻力可以忽略，鉛球在空中運動過程中，只有重力做功，機械能守恒。(2)根據機械能守恒定律，落地時速度的大小與運動員將鉛球拋出的方向無關。(3)可以應用機械能守恒定律，也可以應用動能定理。┃┃要點提煉__■1．機械能守恒的表達式及其意義：表達式物理意義從不同狀態看Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末初狀態的機械能等于末狀態的機械能從轉化角度看Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp過程中動能的增加量等于勢能的減少量從轉移角度看EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB系統只有A、B兩物體時，A增加的機械能等于B減少的機械能2．應用機械能守恒定律解題的步驟3．機械能守恒定律和動能定理的比較兩大規律比較內容機械能守恒定律動能定理應用范圍只有重力和彈力做功時無條件限制物理意義其他力(重力、彈力以外)所做的功是機械能變化的量度合外力對物體做的功是動能變化的量度關注角度守恒的條件和始末狀態機械能的形式及大小動能的變化及改變動能的方式(合外力做功情況)說明－ΔEp＝ΔEk等號右邊表示動能增量時，左邊表示勢能的減少量，“mgh”表示重力勢能(或重力勢能的變化)W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)等號左邊是合外力的功，右邊是動能的增量，“mgh”表示重力的功特別提醒(1)機械能守恒定律是一種“能—能轉化”關系，其守恒是有條件的，因此，應用時首先要對研究對象在所研究的過程中機械能是否守恒做出判斷。(2)由于應用動能定理不需要滿足什么條件，所以涉及功能關系問題時還是優先考慮動能定理。┃┃典例剖析__■典題2如圖所示，豎直平面內的eq\f(3,4)圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為R，A端與圓心O等高，AD為水平面，B點在O的正下方，小球自A點正上方由靜止釋放，自由下落至A點進入管道，當小球到達B點時，管壁對小球的彈力大小為小球重力的9倍。求：(1)釋放點距A的豎直高度；(2)落點C與A的水平距離。思路引導：根據機械能守恒定律、豎直平面內的圓周運動和平拋運動規律，綜合分析求解。解析：(1)設小球到達B點的速度為v1，因為到達B點時管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)又由機械能守恒定律得mg(h＋R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)所以h＝3R。(2)設小球到達最高點的速度為v2，落點C與A的水平距離為x由機械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＋mg2R由平拋運動規律得R＝eq\f(1,2)gt2R＋x＝v2t由此可解得s＝(2eq\r(2)－1)R。答案：(1)3R(2)(2eq\r(2)－1)R┃┃對點訓練__■2．(單個物體的機械能守恒)(2021·沭陽縣修遠中學高一月考)質量為m的物體，以水平速度v0離開桌面，若以桌面為零勢能面，不計空氣阻力，則當它經過離地高度為h的A點時，所具有的機械能是(D)A．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh B．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－mghC．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mg(H－h) D．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解析：物體在運動的過程中，機械能守恒，則A點的機械能等于拋出點的機械能，拋出點的機械能E＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，則A點的機械能等于eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，故D正確，A、B、C錯誤。3．(多物體的機械能守恒)如圖所示，可視為質點的小球A、B用不可伸長的細軟輕繩連接，跨過固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍。當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是(C)A．2R B．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)解析：A、B的質量分別記為2m、m，當A落到地面上時，B恰好運動到與圓柱軸心等高處，以A、B整體為研究對象，則A、B組成的系統機械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v豎直上拋，又上升的高度為h′＝eq\f(v2,2g)，解得h′＝eq\f(1,3)R，此時繩子未繃直，故B上升的最大高度為R＋h′＝eq\f(4,3)R，選項C正確。核心素養提升以題說法·啟智培優非質點類物體的機械能守恒問題1．在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。2．物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。案例如圖所示，總長為L的光滑勻質鐵鏈跨過一個光滑的輕質小滑輪，不計滑輪大小，開始時下端A、B相平齊，當略有擾動時其A端下落，則當鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為多大？(重力加速度為g)解析：方法一取整個鐵鏈為研究對象：設整個鐵鏈的質量為m，初始位置的重心在A點上方eq\f(1,4)L處，末位置的重心在A點，則重力勢能的減少量為：ΔEp＝mg·eq\f(1,4)L，由機械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝mg·eq\f(1,4)L，則v＝eq\r(\f(gl,2))。方法二將鐵鏈看成兩段：鐵鏈由初始狀態到剛離開滑輪時，等效于左側鐵鏈BB′部分移到AA′位置。重力勢能減少量為ΔEp＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)，由機械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)，則v＝eq\r(\f(gL,2))。答案：eq\r(\f(gL,2))課堂達標檢測沙場點兵·名校真題1．(2021·青海西寧市高一月考)如圖所示，下列四個選項的圖中，木塊均在固定的斜面上運動，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的，圖A、B中的F為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運動，圖C中的木塊向上運動，在這四個圖所示的運動過程中機械能守恒的是(C)解析：由A圖可知，力F對物體做正功，機械能增加，不守恒，故A錯誤；由B圖可知，力F做負功，機械能減小，故B錯誤；C圖中物體斜面光滑，運動過程中只有重力做功，只有重力勢能和動能的相互轉化，機械能守恒，故C正確；D圖中斜面粗糙，物體下滑中，摩擦力做負功，機械能減小，不守恒，故D錯誤。2．(2021·江蘇南通市高一月考)如圖所示，質量為m的蘋果從距地面高度為H的樹上由靜止開始下落，樹下有一深度為h的坑。若以地面為零勢能參考平面，則蘋果剛要落到坑底時的機械能為(B)A．－mght B．mgHC．mg(H＋h) D．mg(H－h)解析：以地面為重力勢能的參考平面，蘋果剛下落時的機械能為mgH，下落過程中蘋果只受重力，機械能守恒，則知當蘋果將要落到坑底時，其機械能等于剛下落時的機械能mgH。故選B。3．(2021·安徽省桐城中學高一月考)如圖是為了檢驗某種防護罩承受沖擊能力的裝置的一部分，M為半徑為R＝1.0m、固定于豎直平面內的四分之一光滑圓弧軌道，軌道上端切線