北京市東城區第十一中學2023-2024學年高一上數學期末調研模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．已知指數函數（，且），且，則的取值范圍（）A. B.C. D.2．函數，則函數的零點個數為（）A.2個 B.3個C.4個 D.5個3．函數（其中mR）的圖像不可能是（）A. B.C. D.4．已知，點在軸上，，則點的坐標是A. B.C.或 D.5．已知，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.56．已知函數對任意都有，則等于A.2或0 B.-2或0C.0 D.-2或27．已知函數的定義域和值域都是，則（）A. B.C.1 D.8．下列函數中，在定義域內既是單調函數，又是奇函數的是（）A. B.C. D.9．函數（且）與函數在同一個坐標系內的圖象可能是A. B.C. D.10．下列選項中，兩個函數表示同一個函數的是（）A.， B.，C.， D.，11．已知函數的圖象上關于軸對稱的點至少有3對，則實數的取值范圍是A. B.C. D.12．已知，那么下列結論正確的是（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知函數，，若對任意，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為__________.14．已知冪函數的圖象經過點（16，4)，則k-a的值為___________15．某校高中三個年級共有學生2000人，其中高一年級有學生750人，高二年級有學生650人.為了了解學生參加整本書閱讀活動的情況，現采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進行調查，那么在高三年級的學生中應抽取的人數為___________.16．設，則________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．定義在D上的函數，如果滿足：存在常數，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.（1）證明：在上有界函數；（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.18．已知函數的一系列對應值如下表：（1）根據表格提供的數據求函數的一個解析式；（2）根據（1）的結果，若函數周期為，當時，方程恰有兩個不同的解，求實數的取值范圍.19．某大學為了解學生對兩家餐廳的滿意度情況，從在兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行滿意指數打分（滿意指數是指學生對餐廳滿意度情況的打分，分數設置為分.根據打分結果按，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中餐廳滿意指數在中有30人.（1）求餐廳滿意指數頻率分布直方圖中的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計餐廳滿意指數和餐廳滿意指數的平均數及方差（同一組中的數據用該組區間中點值作代表）；參考公式：，其中為的平均數，分別為對應的頻率.（3）如果一名新來同學打算從兩家餐廳中選擇一個用餐，你建議選擇哪個餐廳？說明理由.20．已知函數，，g(x)與f(x)互為反函數.（1）若函數在區間內有最小值，求實數m的取值范圍；（2）若函數y=h(g(x))在區間(1，2)內有唯一零點，求實數m的取值范圍.21．已知函數.（1）判斷并證明的奇偶性；（2）求函數在區間上的最小值和最大值.22．如圖，在平面直角坐標系中，為單位圓上一點，射線繞點按逆時針方向旋轉后交單位圓于點，點的橫坐標為（1）求的表達式，并求（2）若，求的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、A【解析】根據指數函數的單調性可解決此題【詳解】解：由指數函數（，且），且根據指數函數單調性可知所以，故選：A2、D【解析】函數h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數?函數f（x）與函數y=log4x的圖象交點個數．畫出函數f（x）與函數y=log4x的圖象（如上圖），其中=的圖像可以看出來，當x增加個單位，函數值變為原來的一半，即往右移個單位，函數值變為原來的一半；依次類推；根據圖象可得函數f（x）與函數y=log4x的圖象交點為5個∴函數h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數為5個．故選D3、C【解析】對m分類討論，利用對勾函數的單調性，逐一進行判斷圖像即可.【詳解】易見，①當時，圖像如A選項；②當時，時，易見在遞增，得在遞增；時，令，得為對勾函數，所以在遞增，遞減，所以根據復合函數單調性得在遞減，遞增，圖像為D；③當時，時，易見在遞減，故在遞減；時為對勾函數，所以在遞減，遞增，圖像為B.因此，圖像不可能是C.故選：C.【點睛】本題考查了利用對勾函數單調性來判斷函數的圖像，屬于中檔題.4、C【解析】依題意設，根據，解得，所以選.5、A【解析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：A6、D【解析】分析：由條件可得，函數f（x）的圖象關于直線x=對稱，故f（）等于函數的最值，從而得出結論詳解：由題意可得，函數f（x）的圖象關于直線x=對稱，故f（）=±2，故答案為±2點睛：本題考查了函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．一般函數的對稱軸為a，函數的對稱中心為（a,0）.7、A【解析】分和，利用指數函數的單調性列方程組求解.【詳解】當時，，方程組無解當時，，解得故選：A.8、A【解析】根據解析式可直接判斷出單調性和奇偶性.【詳解】對于A：為奇函數且在上單調遞增，滿足題意；對于B：為非奇非偶函數，不合題意；對于C：為非奇非偶函數，不合題意；對于D：在整個定義域內不具有單調性，不合題意.故選：A.9、C【解析】利用指數函數和二次函數的性質對各個選項一一進行判斷可得答案.【詳解】解：兩個函數分別為指數函數和二次函數，其中二次函數的圖象過點，故排除A，D；二次函數的對稱軸為直線，當時，指數函數遞減，，C符合題意；當時，指數函數遞增，，B不合題意，故選C【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查指數函數、二次函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.10、C【解析】根據函數的定義域，即可判斷選項A的兩個函數不是同一個函數，根據函數解析式不同，即可判斷選項B，D的兩函數都不是同一個函數，從而為同一個函數的只能選C【詳解】A.的定義域為{x|x≠0}，y=1的定義域為R，定義域不同，不是同一個函數；B.和y=|x|的解析式不同，不是同一函數；C．y=x的定義域為R，y=lnex=x的定義域為R，定義域和解析式都相同，是同一個函數；D.=|x-1|,=x-1,解析式不同，不是同一個函數故選C【點睛】本題考查同一函數的定義，判斷兩函數是否為同一個函數的方法：看定義域和解析式是否都相同11、D【解析】本題首先可以求出函數關于軸對稱的函數的解析式，然后根據題意得出函數與函數的圖像至少有3個交點，最后根據圖像計算得出結果【詳解】若，則，因為時，，所以，所以若關于軸對稱，則有，即，設，畫出函數的圖像，結合函數的單調性和函數圖像的凹凸性可知對數函數與三角函數在點處相交為臨界情況，即要使與的圖像至少有3個交點，需要且滿足，即，解得，故選D【點睛】本題考查的是函數的對稱性、對數函數以及三角函數的相關性質，主要考查如何根據函數對稱性來求出函數解析式，考查學生對對數函數以及三角函數的圖像的理解，考查推理能力，考查數形結合思想，是難題12、B【解析】根據不等式的性質可直接判斷出結果.【詳解】，，知A錯誤，B正確；當時，，C錯誤；當時，，D錯誤.故選：B.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】由題分析若對任意,總存在,使得成立,則的最大值小于等于的最大值,進而求解即可【詳解】由題,因為,對于函數,則當時,是單調遞增的一次函數,則；當時,在上單調遞增,在上單調遞減,則,所以的最大值為4；對于函數,,因為,所以,所以；所以,即,故,故答案為：【點睛】本題考查函數恒成立問題,考查分段函數的最值,考查正弦型函數的最值,考查轉化思想14、【解析】根據冪函數的定義得到，代入點，得到的值，從而得到答案.【詳解】因為為冪函數，所以，即代入點，得，即，所以，所以.故答案為：.15、60【解析】求出高三年級的學生人數，再根據分層抽樣的方法計算即可.【詳解】高三年級有學生2000-750-650=600人，用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本，應抽取高三年級學生的人數為200×600故答案為：6016、2【解析】先求出，再求的值即可【詳解】解：由題意得，，所以，故答案為：2三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據，利用求解單調性求解；（2）根據在上是以3為上界的有界函數，令，則，轉化，在時恒成立求解.【小問1詳解】解：，則在上是嚴格增函數，故，即，故，故是有界函數；【小問2詳解】因為在上是以3為上界的有界函數，所以在上恒成立，令，則，所以在時恒成立，所以，在時恒成立，函數在上嚴格遞減，所以；函數在上嚴格遞增，所以.所以實數a的取值范圍是.18、（1）（2）【解析】（1）根據表格提供的數據畫出函數圖象，求出、和、的值，寫出的解析式即可；（2）由函數的最小正周期求出的值，再利用換元法，令，結合函數的圖象求出方程恰有兩個不同的解時的取值范圍【詳解】解：(1)繪制函數圖象如圖所示：設的最小正周期為，得．由得又解得,令，即，，據此可得：，又，令可得所以函數的解析式為(2)因為函數的周期為，又，所以令，因為，所以在上有兩個不同的解，等價于函數與的圖象有兩個不同的交點，，所以方程在時恰好有兩個不同的解的條件是，即實數的取值范圍是【點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了函數與方程的應用問題，屬于中檔題19、（1），（2）餐廳滿意指數的平均數和方差分別為，；餐廳滿意指數的平均數和方差分別為，（3）答案見解析【解析】（1）根據頻率的含義和性質列方程，即可解得：，；（2）根據平均數和方差的定義，然后運算即可；（3）平均數和方差在實際生活中的應用，平均滿意度越高，就越會受到歡迎.【小問1詳解】因為餐廳滿意指數在中有30人，則有：解得：根據總的頻率和為1，則有：解得：綜上可得：，【小問2詳解】設餐廳滿意指數的平均數和方差分別為餐廳滿意指數的平均數和方差分別為，則有：，，，，綜上可得：餐廳滿意指數的平均數和方差分別為，；餐廳滿意指數的平均數和方差分別，【小問3詳解】答案一：餐廳滿意指數的平均數為，方差為，餐廳滿意指數的平均數為，方差為，因為，所以推薦餐廳；答案二：餐廳滿意指數在的頻率為，在的頻率為，餐廳滿意指數在和的頻率都為，所以推薦餐廳；（答案不唯一，符合實際情況即可）20、（1）；（2）.【解析】（1）根據二次函數的性質研究情況下的單調性和值域，根據對數復合函數的單調性及其開區間最值，列不等式求參數范圍.（2）將問題化為在內有唯一零點，利用二次函數的性質求參數范圍即可.【小問1詳解】由題設，，，所以在定義域上遞增，在上遞減，在上遞增，又在內有最小值，當，即時，在上遞減，上遞增，此時的值域為，則；所以，可得；當，即時，在上遞減，上遞增，此時是值域上的一個子區間，則；所以開區間上不存在最值.綜上，.【小問2詳解】由，則，要使在(1，2)內有唯一零點，所以在內有唯一零點，又開口向上且對稱軸為，所以，可得.21、（1）奇函數，證明見解析；（2）最小值為，最大值為.【解析】（1）利用函數奇偶性的定義證明即可；（2）設，可知函數為增函數，由，可得出，且有，將問題轉化為二次函數在上的最值問題，利用二次函數的基本性質求解即可.【詳解】（1）