3．2.5距離(選學)學習目標核心素養1.掌握向量長度計算公式．(重點)2.會用向量方法求兩點間的距離、點到平面的距離、線面距和面到面的距離．(重點、難點)通過學習空間距離的求解，提升學生的邏輯推理、數學運算素養.1．距離的概念一個圖形內的任一點與另一圖形內的任一點的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離．2．點到平面的距離(1)連接平面外一點與平面內任意一點的所有線段中，垂線段最短．(2)一點到它在一個平面內正射影的距離，叫做點到這個平面的距離．3．直線與它的平行平面的距離(1)如果一條直線平行于平面α，則直線上的各點到平面α所作的垂線段相等，即各點到α的距離相等．(2)一條直線上的任一點，與它平行的平面的距離，叫做直線與這個平面的距離．4．兩個平行平面的距離(1)和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．(2)兩平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離．思考：線面距、面面距與點面距有什么關系？[提示]1．在四面體P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，M是平面ABC內一點，且點M到其他三個平面的距離分別是2,3,6，則點M到頂點P的距離是()A．7B．8C．9D．10A[以P為坐標原點，eq\o(PA,\s\up15(→))，eq\o(PB,\s\up15(→))，eq\o(PC,\s\up15(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)，由題意，得|MP|＝eq\r(22＋32＋62)＝7.]2．設A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，則AB的中點M到點C的距離|CM|等于()A.eq\f(\r(53),4) B.eq\f(53,2)C.eq\f(\r(53),2) D.eq\f(\r(13),2)C[∵M點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))，∴|MC|＝eq\r(2－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋3－02)＝eq\f(\r(53),2).]3．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在α內，則P(－2,1,4)到α的距離為()A．10 B．3C.eq\f(8,3) D.eq\f(10,3)D[eq\o(AP,\s\up15(→))＝(－1，－2,4)，d＝eq\f(|\o(AP,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq\f(10,3).]空間兩點間的距離【例1】如圖所示，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．(1)求MN的長．(2)a為何值時，MN的長最小？[思路探究]建立坐標系，寫出點的坐標，利用兩點間距離公式求解．[解](1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)．因為CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，且四邊形ABCD，ABEF為正方形，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，所以eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a－1))，所以|eq\o(MN,\s\up15(→))|＝eq\r(a2－\r(2)a＋1).(2)由(1)知MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))，所以，當a＝eq\f(\r(2),2)時，MN＝eq\f(\r(2),2).即當a＝eq\f(\r(2),2)時，MN的長最小，最小值為eq\f(\r(2),2).計算兩點間的距離的兩種方法(1)利用|a|2＝a·a，通過向量運算求|a|，如求A，B兩點間的距離，一般用|AB|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up15(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→))))求解．(2)用坐標法求向量的長度(或兩點間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標系時．1．如圖所示，在120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長．[解]∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝0，eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝0，又∵二面角α-AB-β的平面角為120°，∴〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝60°，∴|CD|2＝|eq\o(CD,\s\up15(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→)))2＝eq\o(CA,\s\up15(→))2＋eq\o(AB,\s\up15(→))2＋eq\o(BD,\s\up15(→))2＋2(eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→)))＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.點到直線的距離[探究問題]1．如何理解與認識點到直線的距離？[提示]點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題．(1)點在直線上時，點到直線的距離為0.(2)點在直線外時，點到直線的距離即為此點與過此點向直線作垂線的垂足間的距離．即點到直線的距離可轉化為兩點間的距離．2．如何用向量法求點到直線的距離？[提示]設l是過點P平行于向量s的直線，A是直線l外一定點，向量eq\o(PA,\s\up15(→))在向量s上的射影的大小為|eq\o(PA,\s\up15(→))·s0|，則點A到直線l的距離d＝eq\r(\o(|\o(PA,\s\up15(→))|2－|\o(PA,\s\up15(→))·s0|2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中s0＝\f(s,|s|))).【例2】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1[思路探究]建立坐標系，利用向量法求解．[解]以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直線A1C1的方向向量為eq\o(A1C1,\s\up15(→))＝(－4,3,0)，而eq\o(BC1,\s\up15(→))＝(0,3,1)，所以點B到直線A1C1d＝eq\r(\o(|\o(BC1,\s\up15(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up15(→))·\f(\o(A1C1,\s\up15(→)),|\o(A1C1,\s\up15(→))|)))2))＝eq\r(10－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq\f(13,5).1．(改變問法)本例條件不變，所求問題改為：若M，N分別是A1B1，AC的中點，試求點C1到MN的距離．[解]如本例解法建系(圖略)．則M(2,0,1)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，0))，C1(0,3,1)，所以直線MN的方向向量為eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，－1))，eq\o(MC1,\s\up15(→))＝(－2,3,0)，所以eq\o(MC1,\s\up15(→))在eq\o(MN,\s\up15(→))上的投影為eq\o(MC1,\s\up15(→))·eq\f(\o(MN,\s\up15(→)),|\o(MN,\s\up15(→))|)＝eq\f(9,\r(13))，所以C1到MN的距離為d＝eq\r(|\o(MC1,\s\up15(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MC1,\s\up15(→))·\f(\o(MN,\s\up15(→)),|\o(MN,\s\up15(→))|)))2)＝eq\f(\r(1144),13)＝eq\f(2\r(286),13).2．(變換條件)若將本例中的條件改為“正三棱柱ABC-A1B1C1且所有棱長均為2”，如何求B到A1C[解]以B為原點，分別以BA，過B垂直于BA的直線，BB1為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，eq\r(3)，2)，所以A1C1的方向向量eq\o(A1C1,\s\up15(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，而eq\o(BC1,\s\up15(→))＝(1，eq\r(3)，2)，所以點B到直線A1C1d＝eq\r(\o(|\o(BC1,\s\up15(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up15(→))·\f(\o(A1C1,\s\up15(→)),\o(|A1C1|,\s\up15(→)))))2))＝eq\r(8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋3＋0,2)))2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7).用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點：1不必找點在直線上的垂足以及垂線段；2在直線上可以任意選點，但一般選較易求得坐標的特殊點；3直線的方向向量可以任取，但必須保證計算的準確性.點到平面的距離【例3】如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求點A到平面A1BD的距離．[思路探究]本題可以利用等體積法求解，也可以通過建系利用向量法求解．[解]法一：設點A到平面A1BD的距離為h，則VB-AA1D＝eq\f(1,3)×a×eq\f(1,2)×a×a＝eq\f(1,6)a3，VA-A1BD＝eq\f(1,3)×h×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝eq\f(\r(3),6)a2h，∵VA-A1BD＝VB-AA1D，∴h＝eq\f(\r(3),3)a，∴點A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a.法二：如圖所示，建立空間直角坐標系B1xyz，則A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，則eq\o(BD,\s\up15(→))＝(a，a,0)，eq\o(A1D,\s\up15(→))＝(0，a，a)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－a,0,0)．設平面A1BD的一個法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up15(→))＝0，,n·\o(A1D,\s\up15(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,ay＋az＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋z＝0.))令y＝－1，則x＝z＝1，∴n＝(1，－1,1)．∴eq\o(AB,\s\up15(→))·n＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a.∴點A到平面A1BD的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－a|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.用向量法求點面距的方法與步驟1建坐標系：結合圖形的特點建立恰當的空間直角坐標系；2求向量：在坐標系中求出點到平面內任一點對應的向量eq\o(AB,\s\up15(→))；3求法向量：設出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉化為求解方程組，求出法向量n；4得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)求得答案.提醒：用向量法求點到平面的距離的關鍵是確定平面的法向量.2．如圖所示，已知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分別是SC，AB，BC的中點，求點A到平面SND的距離．[解]建立如圖所示的空間直角坐標系，則N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，∴eq\o(NS,\s\up15(→))＝(0，－2,2)，eq\o(SD,\s\up15(→))＝(－1,4，－2)．設平面SND的法向量為n＝(x，y,1)．∴n·eq\o(NS,\s\up15(→))＝0，n·eq\o(SD,\s\up15(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＋2＝0，,－x＋4y－2＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))∴n＝(2,1,1)，∵eq\o(AS,\s\up15(→))＝(0,0,2)．∴點A到平面SND的距離為eq\f(|n·\o(AS,\s\up15(→))|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).1．思考辨析(1)可以用|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＝eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))，求空間兩點A、B的距離． ()(2)設n是平面α的法向量，AB是平面α的一條斜線，則點B到α的距離為d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|). ()(3)若直線l與平面α平行，直線l上任意一點與平面α內任意一點的距離就是直線l與平面α的距離． ()[提示](1)√(2)√(3)×直線上任意一點到平面α的垂線段的長度．2．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點A(x,3,0)在平面α內，則點P(－2,1,4)到平面α的距離為eq\f(10,3)，則x＝()A．－1 B．－11C．－