第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析方法13.1典型輸入信號(hào)和時(shí)域分析法時(shí)域分析法是根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，直接求解出在某種典型輸入作用下系統(tǒng)輸出隨時(shí)間t變化的表達(dá)式或其它相應(yīng)的描述曲線來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。一、典型的輸入信號(hào)概念：系統(tǒng)的輸出取決于兩個(gè)因素：輸入信號(hào)的形式和系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。為了方便對(duì)各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較，需要規(guī)定一些具有代表性的信號(hào)，這些信號(hào)就稱(chēng)為典型輸入信號(hào)。1.階躍信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式當(dāng)A=1時(shí)，稱(chēng)為單位階躍信號(hào)22.斜坡信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式當(dāng)A=1時(shí)，稱(chēng)為單位斜坡信號(hào)3.拋物線信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式當(dāng)A=1時(shí)，稱(chēng)為單位拋物線信號(hào)34.脈沖信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式當(dāng)A=1時(shí)，稱(chēng)為單位理想脈沖信號(hào)5.正弦信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式4二、時(shí)域性能指標(biāo)圍所需要的最小時(shí)間。：系統(tǒng)在響應(yīng)過(guò)程中，輸出量的最大值超過(guò)穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。為

時(shí)的輸出值。（2）穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)用穩(wěn)態(tài)誤差ess來(lái)描述，是系統(tǒng)抗干擾精度或抗干擾能力的一種量度。（以單位階躍信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出為主要研究對(duì)象）（1）動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)上升時(shí)間tr：響應(yīng)曲線從零到第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。峰值時(shí)間tp：響應(yīng)曲線從零到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。應(yīng)快速性調(diào)節(jié)時(shí)間ts：響應(yīng)曲線從零到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的

或

誤差范最重要超調(diào)量5時(shí)域性能指標(biāo)63.2一階系統(tǒng)分析一、一階系統(tǒng)用一階微分方程描述的系統(tǒng)。二、一階系統(tǒng)典型的數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)三、典型輸入響應(yīng)1.單位階躍響應(yīng)7y(t)的特點(diǎn)：由動(dòng)態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量?jī)刹糠纸M成。是一單調(diào)上升的指數(shù)曲線。當(dāng)t=T時(shí)，y=0.632。曲線的初始斜率為1/T。性能分析：超調(diào)量

不存在。（2）ts=3T或4T。2.單位斜坡響應(yīng)8y(t)的特點(diǎn)：由動(dòng)態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量?jī)刹糠纸M成。輸入與輸出之間存在跟蹤誤差，且誤差值等于系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)“T”。

3.單位拋物線響應(yīng)y(t)的特點(diǎn)：輸入與輸出之間存在誤差為無(wú)窮大，這意味著一階系統(tǒng)是不能跟蹤單位拋物線輸入信號(hào)的。4.單位脈沖響應(yīng)y(t)的特點(diǎn)：

當(dāng)

時(shí)，。9對(duì)一階系統(tǒng)典型輸入響應(yīng)的兩點(diǎn)說(shuō)明：當(dāng)輸入信號(hào)為單位拋物線信號(hào)時(shí)，輸出無(wú)法跟蹤輸入。三種響應(yīng)之間的關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)微分（積分）的響應(yīng)，就等于該輸入信號(hào)響應(yīng)的微分（積分）。103.3二階系統(tǒng)分析一、二階系統(tǒng)用二階微分方程描述的系統(tǒng)。二、二階系統(tǒng)典型的數(shù)學(xué)模型（位置隨動(dòng)系統(tǒng)）例：對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：對(duì)應(yīng)的微分方程：11二階系統(tǒng)典型的數(shù)學(xué)模型：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在初始條件為0下，輸入單位階躍信號(hào)時(shí)特征方程：特征方程的根：（根的性質(zhì)與阻尼比有關(guān)）12和

兩個(gè)參數(shù)，在

不變情況下取決于

。二階系統(tǒng)響應(yīng)特性取決于1.過(guò)阻尼（

>1）的情況特征根及分布情況：階躍響應(yīng)：t0y響應(yīng)曲線：1132.欠阻尼（

<1）的情況特征根及分布情況：階躍響應(yīng)：響應(yīng)曲線：t14ξ=0.3ξ=0.50y(t)13.臨界阻尼

（

=1）的情況特征根及分布情況：階躍響應(yīng)：4.無(wú)阻尼

（

=0）的情況特征根及分布情況：階躍響應(yīng)：結(jié)論：1、不同阻尼比有不同的響應(yīng)，決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。2、實(shí)際工程系統(tǒng)只有在

才具有現(xiàn)實(shí)意義。0ty(t)10ty(t)115三、二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為：當(dāng)阻尼比為時(shí)，則系統(tǒng)響應(yīng)如圖：t0y(t)trtpts161.上升時(shí)間

：在暫態(tài)過(guò)程中第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。對(duì)于二階系統(tǒng)，假定情況

下，暫態(tài)響應(yīng)：令

時(shí)，則經(jīng)整理得：暫態(tài)過(guò)程中被控量的最大數(shù)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。2.峰值時(shí)間和超調(diào)量即，叫

峰值時(shí)間。最大超調(diào)量發(fā)生在第一個(gè)周期中時(shí)刻在

時(shí)刻對(duì)

求導(dǎo)，令其等于零。經(jīng)整理得將其代入超調(diào)量公式得173.調(diào)節(jié)時(shí)間

：輸出量

與穩(wěn)態(tài)值

之間的偏差達(dá)到允許范圍（

），并維持在允許范圍內(nèi)所需要的時(shí)間。結(jié)論：若使二階系統(tǒng)具有滿(mǎn)意的性能指標(biāo)，必須選合適的

。為了降低超調(diào)量，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，需增大阻尼比，可以通過(guò)降低開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K實(shí)現(xiàn),但降低K值又會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大。18例有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中K=4。求該系統(tǒng)的自然振蕩角頻率和阻尼比；求該系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間；若要阻尼比等于0.707，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng) 放大倍數(shù)K？解（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式可知19（2）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間（3）要求時(shí)，四、提高二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的方法1.比例——微分（PD）串聯(lián)校正未加校正網(wǎng)絡(luò)前：20加校正網(wǎng)絡(luò)后：校正后的等效阻尼系數(shù)（校正后開(kāi)環(huán)放大系數(shù)未變，閉環(huán)傳遞函數(shù)分母s一次項(xiàng)的系數(shù)增加了一項(xiàng)

，校正后阻尼系數(shù)值增加，使系統(tǒng)的超調(diào)量下降，提高了動(dòng)態(tài)性能）2.輸出量微分負(fù)反饋并聯(lián)校正未加校正網(wǎng)絡(luò)前：21加校正網(wǎng)絡(luò)后：校正后的等效阻尼系數(shù)：兩種校正方法校正后等效阻尼系數(shù)：由于可得由于阻尼系數(shù)上升，超調(diào)量下降，從而提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。223.4高階系統(tǒng)分析一、高階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為三階或三階以上的系統(tǒng)。二、高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型其中

~

閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)；q為實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)；r為共軛極點(diǎn)對(duì)數(shù)；閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)。三、單位階躍響應(yīng)作拉氏反變換后得23結(jié)論：若所有實(shí)數(shù)極點(diǎn)為負(fù)值，所有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都分布在s平面的左半邊，那么

時(shí)，動(dòng)態(tài)分量趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為1，等于輸入量。這時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。動(dòng)態(tài)響應(yīng)各分量衰減的快慢取決于指數(shù)衰減常數(shù)。閉環(huán)極點(diǎn)的負(fù)或負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，響應(yīng)分量衰減得越迅速。分量的幅值與閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)。四、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念：距離虛軸最近，又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，在系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程中起主導(dǎo)作用，這個(gè)極點(diǎn)稱(chēng)為主導(dǎo)極點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)若以共軛形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成二階系統(tǒng)；若以實(shí)數(shù)形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成一階系統(tǒng)。243.5穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)一、穩(wěn)定的概念及條件：⒈穩(wěn)定概念：如果系統(tǒng)受擾動(dòng)后，偏離了原來(lái)的工作狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)又能逐漸恢復(fù)到原來(lái)的工作狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。⒉穩(wěn)定條件：系統(tǒng)特征方程式所有的根都位于ｓ平面的左半平面。二、判定系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：⒈一、二階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正。⒉高階系統(tǒng)應(yīng)用勞斯判據(jù)和胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。25三、勞斯判據(jù)系統(tǒng)特征方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)可能穩(wěn)定，可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件：特征方程所有系數(shù)組成勞斯表，其第一列元素必須為正。列勞斯表：26例四階系統(tǒng)特征方程式：試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說(shuō)明特征根中具有正部根的個(gè)數(shù)。列勞斯表：因?yàn)榈谝涣性刂挡粷M(mǎn)足全部為正。所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，其符號(hào)改變兩次，所以特征方程有兩個(gè)具有正實(shí)部的根。勞斯表中第一列元素符號(hào)改變次數(shù)，等于特征根中具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。27三：補(bǔ)充28兩種特殊情況：某行的第一列為0，而其余各項(xiàng)不為0，或不全為0。處理方法：可以用因子（s+a)乘以原特征方程，a為任意正數(shù)，再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)，由新勞斯表來(lái)判斷。出現(xiàn)全零行（表明特征根中有一些絕對(duì)值相同但符號(hào)相反的特征根，例如，兩個(gè)大小相等但符號(hào)相反的實(shí)根或一對(duì)共軛純虛根，或者是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根）處理方法：用全零行上行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程F(S)=0，并將F(S)對(duì)s求導(dǎo)，用所得導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代全零行的元，便可將勞斯判據(jù)繼續(xù)運(yùn)行下去，F(xiàn)(S)=0的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同但符號(hào)相反的根的數(shù)目。四、勞斯判據(jù)的其它應(yīng)用1.分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響例系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列勞斯表系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿(mǎn)足所以292.確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕量：系統(tǒng)離穩(wěn)定的邊界有多少余量。也就是實(shí)部最大的特征根與虛軸的距離。若要求系統(tǒng)有（1）用的穩(wěn)定裕量，則代入特征方程；（2）將z看作新坐標(biāo)，用勞斯判據(jù)再次判穩(wěn)。303.6穩(wěn)態(tài)誤差分析及計(jì)算一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差概念定義1．誤差：（2種定義）輸入端定義輸出端定義兩者之間的關(guān)系31322．穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值。3．穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算公式：終值定理二、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算1.在給定輸入信號(hào)作用下的分析：令33的關(guān)系。考慮R(s)不同時(shí)，

與設(shè)其中K——開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)V——無(wú)差度階數(shù)a.單位階躍輸入下的其中稱(chēng)為位置誤差系數(shù)34b.單位斜坡輸入下的其中稱(chēng)為速度誤差系數(shù)35c.單位拋物線輸入下的其中稱(chēng)為加速度誤差系數(shù)36d.典型信號(hào)合成輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差可用疊加原理求出，即分別求出系統(tǒng)對(duì)階躍、斜坡和拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，然后將其結(jié)果疊加。37結(jié)論：要消除或減小

，必須針對(duì)不同的輸入量來(lái)選擇不同的系統(tǒng)，并且選擇較大的K值。但K值必須滿(mǎn)足穩(wěn)定性的要求。2.在擾動(dòng)輸入信號(hào)作用下的分析：令νr(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t201/(1+K)∞∞101/K∞2001/K383.給定輸入、擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下的例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，當(dāng)r(t)=n(t)=1時(shí)，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。N(s)39+-R(s)Y(s)解：1.判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)因?yàn)橄到y(tǒng)第一列元