第一講 同級運算中的巧算一、知識要點：我們知道，運用運算定律、運算性質可以到達計算正確而快捷的目的。對于同級運算，我們可以讓數帶著符號“搬家〞，或者通過添括號、去括號來進行巧算：同級運算中，數帶著它前面的運算符號“搬家〞，計算結果不變；加減混合運算，添〔去〕括號法那么：括號前是加號，添〔去〕括號不變號；括號前是減號，添〔去〕括號要變號。乘除混合運算，添〔去〕括號法那么：括號前是乘號，添〔去〕括號不變號；括號前是除號，添〔去〕括號要變號。二、精選例題：例1：計算：〔1〕823＋92－23 〔2〕4952－267－652 〔3〕96×144÷48 〔4〕570×16÷30解題指引：根據數的特點，讓數帶著符號“搬家〞，以改變原有的計算順序，實現簡算。例2：計算：〔1〕2023－77－23 〔2〕4000÷125÷8 〔3〕660÷121×11 〔4〕56×144÷7÷12解題指引：括號有改變運算順序的作用。要改變原有運算順序，可以添加括號，但要遵循添括號法那么。例3：計算：〔1〕1308－〔308－247〕 〔2〕537－〔543－163〕－57 〔3〕〔91×48×75〕÷〔25×13×16〕解題指引：是按既有順序計算還是適當改變運算順序，使計算簡捷，取決于對各數特點的把握。去括號同樣要遵守其規那么。例4：計算：〔1〕2003－2002＋2001－2000＋1999－1998＋1997〔廣東省“育苗杯〞數學通訊賽試題〕〔2〕1÷〔2÷3〕÷〔3÷4〕÷〔4÷5〕÷〔5÷6〕〔第二屆華羅庚金杯數學邀請賽試題〕解題指引：依據數的特點綜合運用“數搬家〞、去括號、添括號，可使計算簡便。例5：計算：〔1〕29＋299＋2999＋29999＋299999 〔2〕6347－2997－998〔3〕64×25×87×125×5解題指引：對于〔1〕〔2〕兩小題，可以按湊整法，給每個加數、減數補上一個數，使其成為整十、整百、整千……的數，依據和不變或差不變的規律，要注意“多加要減〞、“多減要加〞。對于第〔3〕題，可先把64改寫成2×4×8，再分別與5、25、125結合。為了使計算快捷，我們有必要記住和靈活使用算式：2×5=10、4×25=100、8×125=1000三、精選練習：計算：〔1〕908－〔308－159〕〔2〕200÷〔25÷4〕 〔3〕5600÷〔25×7〕〔4〕372÷90×30 〔5〕745＋〔672－545〕－572 〔6〕4567－3456＋1056－167〔7〕60000÷2÷125÷5÷8 〔8〕28÷3×26×15÷26÷14 〔9〕25×96×125四、精選作業：計算：〔1〕6300÷25 〔2〕3333×2222÷6666〔3〕5÷〔7÷11〕÷〔11÷16〕÷〔16÷35〕第二講 等差數列一、知識要點：我們把1，3，5，7，9，……這樣按一定次序排列的一列數叫做數列。數列中的數稱為項，第一個數叫第一項，又叫首項；第二個數叫第二項……最后一個數稱為末項。如果一個數列從第二項開始，每一項與它前面一項的差都相等，那么這個數列就叫做等差數列，這個相等的差叫做這個等差數列的公差。在等差數列中有如下規律：項數=〔末項－首項〕÷公差＋1末項=首項＋〔項數－1〕×公差等差數列的和=〔首項＋末項〕×項數÷2二、精選例題：例1：寫出數列1，3，5，7，9，……中的第40個數。解題指引：首先要弄清這列數的排列規律，判斷其是否屬于等差數列，在此根底上選擇恰當的計算公式進行計算。例2：一列數：2，5，8，11，14，…，80，…問：80是這列數中的第幾個數？解題指引：這是一個公差為3的等差數列，“80是這列數中的第幾個數〞可看作“從首項2開始到80止一共有多少個數〞。我們要選擇哪一計算公式呢？例3：計算〔1〕1＋2＋3＋4＋……＋78＋79＋80〔2〕2＋5＋8＋……＋23＋26＋29〔3〕1－2＋3－4＋5－6＋……＋2023－2023＋2023解題指引：這里是求等差數列各項和的問題，在利用公式“等差數列的和=〔首項＋末項〕×項數÷2〞時，要先計算出項數。而對于第〔3〕小題，顯然需要將所有加數結合成一組，所有減數結合成一組，分別計算。當然，此小題還可依據算式特點將相鄰的兩個數結合成一組進行簡算。例4：某體育館西側看臺有30排座位，后面一排都比前面一排多2個座位，最后一排有132個座位。體育館西側看臺共有多少個座位？解題指引：從題意可知，每排的座位數構成了一個等差數，求一共有多少個座位，其實質就是等差數列求和。根據求和公式，想想我們需要先解決什么問題？例5：學校進行乒乓球選拔賽，每個參賽選手都要和其他所有選手賽1場。假設有20人參賽，那么一共要進行多少場選拔賽？假設一共進行了78場比賽，有多少人參加了選拔賽？解題指引：如果將20位參賽選手排成一隊，第一位選手需與其他19位選手共賽19場，第二位選手因與第一位選手已賽過，只需與另外18位選手賽18場，同樣，第三位選手只需與剩下的17位選手賽17場，……依此類推，比賽場數分別是19，18，17，……，3，2，1，這樣求解也就不難了。當然，此題也可這樣思考：每一位選手都賽了19場，如此一來，20人要賽380場，但每一場比賽都被計算了兩次，因此，我們就找到了一種快捷的計算方法。依據這一思路，我們很容易找到第〔2〕小題的答案。三、精選練習：1、等差數列5，10，15，20，……，205，這個等差數列共有多少項？2、等差數列2，5，8，11，14，……，問47是其中第幾項？下面一列數是按一定的規律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，……，求：〔1〕第12個數是多少？ 〔2〕912是第幾個數？5、計算：〔1〕6＋11＋16＋……＋76 〔2〕880－3－6－9－……－57〔3〕1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋9－10－11＋12＋……＋1997－1998－1999＋20006、下面的算式是按一定的規律的，那么第100個算式的得數是〔〕。 2＋3，3＋6，4＋9，5＋12，……7、有12個同學聚會，如果見面時每個人都和其余的人握手1次，那么一共握手多少次？8、時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，依此類推，12點鐘敲12下，半點時敲1下。〔1〕從1點至5點共敲多少下？ 〔2〕一晝夜共敲多少下？四、精選作業：1、1至100各數，所有不是9的倍數的自然數的和是〔〕。2、把一堆蘋果分給8個小朋友，要使每個人都能拿到蘋果，而且每個人拿到蘋果個數都不同的話，這堆蘋果至少有〔〕個。3、一串數按下面的規律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……問：從左面第一個數起，前105個數的和是多少？第三講 數圖形一、知識要點：我們已經認識了線段、角、三角形、長方形等根本圖形，當這些圖形有多個重疊在一起時，要想準確地數出其中某一根本圖形的個數，就要仔細觀察，找到圖形的排列規律，然后按照一定的順序去計數。數的過程中為了防止多數或少數的情況，往往要用到分類計數的方法。圖1二、精選例題：圖1例1：數一數：圖1中有_______條線段；解題指引：按照一定的順序〔如從左往右〕先逐一數出以每一個點為端點的線段條數，然后再求和。這里，以左邊第一個點為端點的線段有5條，以第二個點為端點的線段有4條，……依此類推，最后可求出共有15條線段。圖2例2：數一數：圖2中有_______個角。圖2解題指引：除了按上面的方法數以外，可以這樣思考：每一條射線與其它5條射線都可以組成5個角，考慮重復計算的因素，最后通過6×5÷2計算出角的總數。圖3圖3例3：數一數：圖3中有_______個三角形。解題指引：我們可按照分類的思想計算三角形的個數。圖中的三角形可分為五類：由1個小三角形組成的三角形；由2個相鄰的小三角形組成的三角形；由3個相鄰的小三角形組成的三角形……把每類的個數相加就是所有三角形的個數。例4：數一數：圖中共有_______個長方形。解題指引：我們可以按照例3所介紹的分類的思想來計數，也可以這樣來思考：長方形是由長和寬決定的。大長方形的“長〞上有多少條線段，一行就有多少個長方形〔為什么？〕；大長方形的“寬〞上有多少條線段，就有這樣的幾行，通過計算就可得到長方形的總個數。例5：數一數：圖4中有_______個三角形；圖5中有_______個三角形；圖6中有_______個長方形。假設每一小格均為正方形，圖6共有________個正方形。解題指引：圖4，我們可以把它分成三類分別來計數；圖5，仍然以分類計數的方法，對于過于復雜的圖形，我們可給每一個小三角形做上標記，這樣可防止重復或遺漏；圖6中數正方形，我們可這樣想：最小的正方形有幾個？2×2的正方形有幾個？……這些問題解決了，正方形的總數也隨之可求。圖4圖5圖4圖5圖6三、精選練習：1、6個不共線的點，兩兩連線可以得出________條線段。2、如果線段AB上共有8個點〔包括端點在內〕，那么共有_______條線段。OA1OA1A2A3A8A9A104、如右圖，從頂點O引出10條射線，該圖中共有_________個銳角。5、圖8中有______個三角形。圖8圖圖8圖76、圖9是一個窗戶的圖形，這個圖形中共有__________個長方形。圖11圖圖11圖10圖97、圖10中有________個正方形。8、如圖11，是由許多小正方體拼成的大正方體，如果在正方體的6個面上涂上顏色，那么沒有涂色的小正方體有______個；只有一個面被涂上顏色的小正方體有_______個；恰好有兩個面被涂上顏色的小正方體有_______個；有三個面被涂上顏色的小正方體有________個。四、精選作業：1、圖12中有_______條線段，有________個三角形。2、數一數，圖13中有______個長方形〔包括正方形〕圖13圖圖13圖12第四講 和差倍問題一、知識要點：兩個數的和與差、和與倍數、差與倍數，要求這兩個數是多少，這樣的問題分別稱為和差問題、和倍問題、差倍問題，統稱為和差倍問題。其根本數量關系有以下3組：1、和倍問題：大小兩個數的和及它們的倍數關系，求這兩個數。和÷〔倍數+1〕=小數；小數×倍數=大數。2、差倍問題：大小兩個數的差和它們的倍數關系，求這兩個數。差÷〔倍數-1〕=小數；小數×倍數=大數。3、和差問題：大小兩個數的和與兩個數的差，求這兩個數。〔和+差〕÷2=大數；〔和-差〕÷2=小數。解答這類問題有著根本的思路和方法，而更多時候是需要我們靈活運用轉化的思想把復雜的和差倍問題化為簡單的和差倍問題來進行解答。二、精選例題：例1：某汽車公司共有小汽車和卡車720輛，其中小汽車的數量是卡車的3倍。求小汽車和卡車各有多少輛？解題指引：這是一道典型的和倍問題，把卡車的輛數看作1倍量，那么小汽車的輛數為3倍量，合起來就是4倍，這樣問題就很容易得到解決。例2：四、五年級共有學生165人，四年級學生比五年級學生人數的2倍還少6人，四、五年級學生各有多少人？〔杭州市上城區小學數學競賽試題〕解題指引：題目中的“和〞與兩個量的“倍數和〞不對應，需要先進行轉化再解答。我們可以這樣想：四年級人數怎樣變化后就恰好是五年級的2倍？而兩個年級人數的總和跟著怎樣變呢？例3：小強和小紅為希望工程捐款，小強比小紅少捐30元，小紅捐的款是小強的3倍，小強和小紅各捐款多少元？解題指引：這是一道典型的差倍問題，依據和倍問題的解題思路，先求出1倍量。例4：山坡上有一群羊，其中有綿羊和山羊。綿羊比山羊的3倍多55只，綿羊比山羊多345只，兩種羊各有多少只？〔邢臺市小學數學邀請賽試題〕解題指引：如果綿羊只數減少55只，綿羊的只數正好是山羊的3倍，這樣綿羊與山羊還相差多少只呢？據此，問題得解。例5：小強每天早上圍差一塊長方形的草坪跑步鍛煉身體，長方形的長比寬多50米，每天跑4圈，共跑了1200米。問這塊草坪的長和寬各是多少米？解題指引：這是一道和差問題。關鍵是求出長與寬兩數之和。三、精選練習：1、一個車間，女工比男工少35人，男女工各調出17人后，男工人數是女工的2倍。原有男工、女工各多少人？〔鶴壁市小學數學競賽試題〕2、兩個數的和是682，其中一個加數的個位是0，假設把這個0去掉，那么與另一個數相同。這兩個數各是多少？〔天津市“我愛數學〞邀請賽試題〕3、學校圖書室有故事書和文藝書843本，其中故事書的本數比文藝書的4倍還多28本。問故事書和文藝書各有多少本？4、甲、乙兩人共儲蓄2000元，甲取出150元，乙又存入230元，這時甲儲蓄的錢數比乙儲蓄的2倍少20元。原來甲、乙兩人各儲蓄多少元？甲倉庫存糧104噸，乙倉庫存糧140噸，要使甲倉庫的存糧是乙倉庫的3倍，那么必須從乙倉庫運出多少噸放入甲倉庫？〔長春市南關區小學數學競賽試題〕6、甲、乙兩個倉庫共存大米60噸，如果從甲倉庫運6噸大米到乙倉庫，兩個倉庫的大米噸數正好相等，求原來兩個倉庫各有大米多少噸？〔烏魯木齊市小學數學競賽試題〕7、甲數是乙數的3倍，丙數是乙數的4倍，丁數是丙數的一半，四個數的和是1040，丁數是多少？〔福州市鼓樓區小學四年級數學競賽試題〕8、一班與二班共有78人，如果一班人數的3倍與二班人數的5倍之和是318人，那么一班原有多少人？〔天津市數學學科競賽試題〕四、精選作業：1、甲、乙兩車間共有393名工人，把甲車間的16名工人調到乙車間后，甲車間比乙車間還多5名。甲、乙車間原各有工人多少名？〔北京市海淀區奧校試題〕2、兩個數相除商是4，余數是10，被除數、除數、商和余數的和是144，求被除數和除數。3、少先隊員提一籃蘋果和梨子到敬老院去慰問。每次從籃里取出2個梨、5個蘋果送給老人，最后剩下11個蘋果，梨子正好分完，這時他們才想起原來蘋果數是梨子的3倍，敬老院共有多少老人？第五講 年齡問題一、知識要點：所謂年齡問題，就是與年齡有關的問題。年齡問題有以下特點：1、隨著年齡的增長，兩人的年齡差是不變的；2、隨著年齡的增長，兩人的年齡會同時增加同樣的歲數；3、兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長隨時發生變化。抓住“年齡差不變〞進行思考分析是解答年齡問題的根本思路。可借助線段圖理解題意，分析題中的數量關系，結合和差倍問題的解題方法，靈活解題。二、精選例題：例1：小紅、小明兩人的年齡和是27歲。5年后，小紅比小明大5歲，小紅、小明今年分別多少歲？解題指引：兩人的年齡差始終是5歲，這樣原問題就變為了一個和差問題。例2：爸爸15前的年齡相當于兒子12年后的年齡。當爸爸的年齡是兒子的4倍時，爸爸多少歲？〔青島市數學競賽試題〕解題指引：題目雖沒有直接給出父子兩人的年齡差，但我們從“爸爸15前的年齡相當于兒子12年后的年齡〞這一條件可先求出年齡差，再依據差倍問題的解題思路解答。例3：一家四口，爸爸、媽媽、兒子、女兒，他們的年齡和是73歲。爸爸比媽媽大3歲，女兒比兒子大2歲，4年前全家的年齡之和是58，現在他們分別有多少歲？解題指引：一家四口現在的年齡和是73歲，4年前年齡和按理應是73-4×4=57歲，為什么題目中給出的是“4年前全家的年齡之和是58〞？以此為突破口，可將問題簡化。例4：父親的年齡是兒子的3倍，12年后兒子的年齡是父親的一半，問現在父子倆各是多少歲？解題指引：“12年后兒子的年齡是父親的一半〞，可知，12年后父親的年齡是他們年齡差的2倍，而年齡差又是兒子現在年齡的2倍，從而得到12年后父親的年齡是兒子現在年齡的4倍。過了12年，父親的年齡由“是兒子的3倍〞變成為是兒子年齡的4倍，故可求出兒子現在的年齡。畫線段圖可幫助理解。例5：亮亮問老師有多少歲，老師說：“當我像你這么大時，你才3歲，當你長到我這么大時，我已經39歲了。〞請問老師有多少歲？解題指引：首先