54第12章壓軸題之猜想證明類(lèi)一、單選題1．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，點(diǎn)D，E關(guān)于CB對(duì)稱(chēng)，連接EB并延長(zhǎng)，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接DE，CE．對(duì)于以下結(jié)論：①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．其中正確的是()A．①④ B．②③ C．①③ D．②④2．如圖，過(guò)的對(duì)角線上一點(diǎn)作分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)，那么圖中四邊形的面積與四邊形的面積的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定3．已知的三條邊長(zhǎng)分別為6，8，12，過(guò)任一頂點(diǎn)畫(huà)一條直線，將分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條4．如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是中點(diǎn)，、分別交、于點(diǎn)、．給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿所在直線翻折，得到，連接，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，∠C．當(dāng)時(shí)，D．長(zhǎng)度的最小值是16．如圖，中，，是上一點(diǎn)，且，是上任一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④7．橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)．如圖，一列有規(guī)律的整點(diǎn)，其坐標(biāo)依次為，，，，，，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第個(gè)整點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．如圖，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于點(diǎn)E，BC邊上的中線AD交BE于G，連接DE，則下列結(jié)論正確的是（）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤9．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①的面積的面積；②；③；④．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③10．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作線段EF，使點(diǎn)E點(diǎn)F分別在邊AD，BC上（不與四邊形ABCD頂點(diǎn)重合），連結(jié)EB，EC設(shè)ED＝kAE，下列結(jié)論：①若k＝1，則BE＝CE；②若k＝2，則△EFC與△OBE面積相等：③若△ABE≌△FEC，則EF⊥BD．其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．②③二、填空題11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分線交AC于D．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，交BD于G，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)G作GH∥BC，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四邊形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正確的結(jié)論是__．12．已知：如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC＝10，BD＝8，則MN＝_____．13．如圖，在中，平分，，，與的延長(zhǎng)線交于，連接．過(guò)作于，交于．下列結(jié)論：①；②；③；④中，其中正確的有______（填序號(hào)）．14．如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上(不與重合)，將矩形沿折疊，使點(diǎn)分別落在點(diǎn)處有下列結(jié)論：①與互余；②若平分則③若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)則④若直線交邊分別于當(dāng)為等腰三角形時(shí)，五邊形的周長(zhǎng)為．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________________．15．已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，軸，軸，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)、，交坐標(biāo)軸于、，且，連接.現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①；②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的面積始終不變；③連接，則；④不存在點(diǎn)，使得.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是__________．三、解答題16．已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，，，、的長(zhǎng)滿(mǎn)足關(guān)系式．（1）求、的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也為點(diǎn)．（1）的度數(shù)為_(kāi)_____．（2）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？（3）能否為直角三角形？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的值：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．問(wèn)題提出：（1）同一平面內(nèi)的兩條線段和，已知，，則線段最大值是______；最小值是______．問(wèn)題探究：（2）如圖，四邊形中，，，，且，問(wèn)是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（自行作圖并解決）（3）在中，，，以為一邊作正方形，連接，問(wèn)是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相應(yīng)最值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；（2）問(wèn)題解決：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交，于，兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．20．八年級(jí)數(shù)學(xué)課上，老師出示了如圖框中的題目．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．小華與同桌小明討論后，進(jìn)行了如下解答（1）特殊情況入手探索：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段與的大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：_______（填“”，“”或“”）（2）一般情況進(jìn)行論證：對(duì)原題中的一般情形，二人討論后得出（1）中的結(jié)論仍然成立，并且可以通過(guò)構(gòu)造一個(gè)三角形與全等來(lái)證明．以下是他們的部分證明過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（請(qǐng)完成余下的證明過(guò)程）圖2（3）應(yīng)用結(jié)論解決問(wèn)題：在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)在直線上，．則_______（直接寫(xiě)出結(jié)果）21．（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，則PB_______PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則，請(qǐng)幫小明說(shuō)明原因．（3）應(yīng)用：如圖3，在小區(qū)三條交叉的道路AB，BC，CA上各建一個(gè)菜鳥(niǎo)驛站D，P，E，工作人員每天來(lái)回的路徑為P→D→E→P，①問(wèn)點(diǎn)P應(yīng)選在BC的何處時(shí)，才能使PD+DE+PE最小？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，則PD+DE+PE的最小值是多少？22．如圖，鈍角中，，為上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，．（1）作于，交的延長(zhǎng)線于．①判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．②求證；（2）若，，求的長(zhǎng)．23．在△ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠ACB=90°，點(diǎn)E是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，連接BF，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)CD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系是CD=(BE+BF)，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；提出猜想：（2）如圖2，若∠ACB=60°，點(diǎn)E是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到線段CF，連接BF，猜想線段CD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系是；拓廣探索：（3）若∠ACB=α，CD=k·AB(k為常數(shù))，點(diǎn)E是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到線段CF，連接BF，請(qǐng)你利用上述條件，根據(jù)前面的解答過(guò)程得出類(lèi)似的猜想，并在圖3中畫(huà)出圖形，標(biāo)明字母，不必解答．24．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)G是射線AD上一點(diǎn)．（1）若GE⊥GF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖①所示，容易證明AE+AF＝AD．當(dāng)點(diǎn)G在線段AD外時(shí)，如圖②所示，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，猜想并證明AE，AF與AG存在的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上時(shí)，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α（0°＜α≤90°）．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CD與BE的數(shù)量