一種微弱正反射式混沌檢測方法

1.混沌信號的提取近幾十年來，混合理論的應用研究逐漸深入醫學、生態學、信息披露和電子對抗等領域。虛弱信號檢測一直是數據處理領域的中心問題和優先事項之一。將混合理論應用于弱信號檢測也是混合控制和混淆使用的內容。1992年，birx做了一些工作，但只顯示了一些試驗結果，并沒有深入研究這一原則。1995年，hayiki使用人工神經網絡方法研究了混合噪聲背景下目標信號的提取。1996年，leuk使用mpsv方法研究了混合噪聲模型的參數估計。1997年，short使用混合信號的短期預測功能研究了混合通信系統中的信號提取，并取得了良好的效果。1999年，王等人通過混合測量系統在噪聲背景下測量了噪聲因子最小達到66db的正常信號。2001年，基于混合動力學理論，w等人將混合干擾應用于局部區域，并在接收到的流形位上將混合干擾投影到具有擴散性質的局部區域。濾波器信號留在加工空間的補充空間中，成功提取波形信號。2002年，王等人提出并成功分離混合噪聲的信號類型。上述方法對背景噪聲的類型有一定的限制。當信號非常微弱（最小到達額波的最大數量）且背景噪聲分布在任何分布的噪聲中時，沒有有效的測量方法。混沌系統對參量的極端敏感性是其主要特性之一.本文所提出的混沌檢測方法通過對特定狀態下的混沌系統施加周期攝動力,對混沌狀態進行微擾,使系統由混沌狀態突變到大尺度周期狀態,從而根據系統相平面軌跡的變化進行微弱信號檢測.仿真實驗結果表明,在任意零均值色噪聲背景下,即使對于信噪比低達約-111.46dB的正弦信號,該方法仍具有良好的檢測性能.本文方法對于一定畸變的正弦信號檢測仍然適用.2.briot-bouquet變換的幾何描述選擇一個對正弦信號敏感的混沌系統作為檢測系統,使該系統處于特定的混沌狀態,微弱正弦信號的出現可以使系統狀態立刻發生相變.根據系統從混沌狀態到大尺度周期狀態的相變將深陷在噪聲中的微弱正弦信號檢測出來.考慮下述正弦信號的混沌檢測模型:¨x+εk˙x-x3+x5=εfcos(ωt)+ε(input),(1)x¨+εkx˙?x3+x5=εfcos(ωt)+ε(input),(1)k為阻尼比,(-x3+x5)為非線性恢復力,fcos(ωt)為內置信號,(input)為待測信號,其等價系統為{˙x=y,˙y=x3-x5-εky+εfcos(ωt)+ε(input).(2){x˙=y,y˙=x3?x5?εky+εfcos(ωt)+ε(input).(2)當ε=0時,方程(1)為哈密頓系統,其哈密頓量為Η=12y2-14x4+16x6=h.(3)H=12y2?14x4+16x6=h.(3)當ε=0,且{˙x=y=0,˙y=x3-x5=0{x˙=y=0,y˙=x3?x5=0時,解得三個不動點為(0,0),(1,0),(-1,0).假設系統的特征根為λ,則系統的特征方程為|0-λ13x2-5x40-λ|=0,λ2=3x2-5x4.∣∣∣0?λ3x2?5x410?λ∣∣∣=0,λ2=3x2?5x4.當不動點為(±1,0)時,λ=±√2iλ=±2√i,所以(±1,0)為中心.當不動點為(0,0)時,λ=0,討論(0,0)屬于何種奇點.作Briot-Bouquet變換,y=ηx,將(x,y)平面上的復雜奇點分解成(x,η)平面上的較簡單奇點.當ε=0時,方程組(2)可化成如下形式:{˙x=y,˙y=x3-x5.(4){x˙=y,y˙=x3?x5.(4)因為表達式(x3-x5)中不包含因子y,所以(0,0)為孤立奇點,(4)式可以寫成{˙x=y,˙y=anx3(1-x2).(5){x˙=y,y˙=anx3(1?x2).(5)假定an=1,h(x)=-x2,n=3,則(0,0)的性質由n決定.因為n=3=2×1+1,根據Briot-Bouquet引理可知,當a2×1+1>0時,奇點(0,0)為鞍點.由上述分析可知,當h=0時,存在兩條連結鞍點的同宿軌道,其表達式為{x0(t)=±√63t2+4,y0(t)=?3√6t(3t2+4)3/2.(6)?????x0(t)=±63t2+4????√,y0(t)=?36√t(3t2+4)3/2.(6)計算Melnikov函數Μ(t0)=∫∞-∞f(q0(t))∧g(q0(t),t+t0)dt,M(t0)=∫∞?∞f(q0(t))∧g(q0(t),t+t0)dt,由方程(2)f(x)=[y-x3+x5],g(x)=[0-ky+fcos(ωt)]?f(x)=[y?x3+x5],g(x)=[0?ky+fcos(ωt)]?所以Μ(t0)=-3√3π32k±f12√6ωπ2(3π2+16ω2)3/2sin(ωt0).(7)M(t0)=?33√π32k±f126√ωπ2(3π2+16ω2)3/2sin(ωt0).(7)令M(t0)=0,得3√3πk32=f12√6ωπ2(3π2+16ω2)3/2sin(ωt0),解得sin(ωt0)=√2πk(3π2+16ω2)3/2256ωπf.由于|sin(ωt0)|≤1,所以|√2k(3π2+16ω2)3/2256ωπf|≤1.(8)又因為dΜ(t0)dt0=f12√6ω2π2(3π2+16ω2)3/2cos(ωt0),若使dΜ(t0)dt0≠0,則必須cos(ωt0)≠0,所以sin(ωt0)≠1.(9)由(8)和(9)式得|√2k(3π2+16ω2)3/2256ωπf|<1.(10)由Melnikov方法,對于充分小的ε,系統(1)相應的Poincarō映射中,穩定不變流形與不穩定不變流形二者必然相交,即此時必然出現橫截同宿點,系統出現混沌解.閥值為R(ω)=fk=|√2(3π2+16ω2)3/2256ωπ|.(11)可見,無論k取何值,由(11)式總存在一個閥值fc,當f超過fc時,系統進入混沌狀態,這一過程隨f的變化非常迅速.f在很大范圍內,系統都處于混沌狀態.直到大于另一閥值fd時,系統進入大尺度周期運動.可通過實驗由計算機預先確定fd和k的關系.fd/k的解析解為一常數,實驗結果證實k的取值范圍為0.2\_0.5,fd/k近似為一常數1.45.選定k,調整參數f到臨界信號幅值fd,當信號幅度值f小于fd時,系統處于混沌態;當信號幅度值f大于fd時,系統變為大尺度周期狀態.利用系統相平面軌跡由混沌運動狀態到大尺度周期運動狀態的相變將被測正弦信號檢測出來,同時由系統的臨界幅值fd確定出待測信號的幅值.3.各變量帶乘子法系統由混沌狀態躍遷到穩定的周期運動狀態,在沒有噪聲的情況下,周期軌道應該是一理想的環,但由于噪聲的影響,該環的邊界顯得有些粗糙.我們應用隨機微分方程理論,分析噪聲對混沌檢測的影響.用Δx(t)表示噪聲對x(t)的小擾動,從而得出在噪聲存在的情況下系統的微分方程為(¨x+Δ¨x)+k(˙x+Δ˙x)-(x+Δx)3+(x+Δx)5=fcos(ωt)+n(t),(12)其中n(t)為噪聲,E{n(t)}=0,(12)式減去(1)式,由于Δx很小,可以略去Δx的高階項,得Δ¨x+kΔ˙x+3x2Δx-5x4Δx=n(t),并令c(t)=5x4-3x2,得Δ¨x+kΔ˙x-c(t)Δx=n(t).(13)將(13)式寫成矢量微分方程的形式˙X(t)=A(t)X(t)+Ν(t),(14)其中X(t)=[x1x2]=[Δx(t)Δ˙x(t)],A(t)=[01c(t)-k]?Ν(t)=[0n(t)].它的解為X(t)=Φ(t,t0)X0+t∫t0Φ(t,u)Ν(u)du,其中Φ為系統的狀態轉移矩陣.由于第一項為暫態解,將很快衰減為零,故只須考慮第二項,因此得X(t)=t∫t0Φ(t,u)Ν(u)du,(15)E{X(t)}=t∫t0Φ(t,u)E{Ν(u)}du=0.(16)可見,在統計的意義下,任何零均值色噪聲都不會改變系統原有運行軌跡,僅僅會使系統的運行軌跡變得粗糙些,在理想軌跡附近擺動.注意到上述推導沒有涉及到噪聲分布性質,因此該方法對任意分布的零均值噪聲同樣適用.4.混沌檢測限、信噪比分析考慮如下混沌檢測系統:其中k為阻尼比,fcos(ωt)為系統內置信號,Acos(ωt)為待測周期正弦信號,Bs(ωt)為待測方波信號(作為畸變的正弦信號),μA,μB為放大器增益,zs為噪聲.首先調整f=fd,系統處于混沌臨界狀態(由混沌態變至周期態的邊界).待測正弦信號輸入該混沌檢測系統,根據系統相軌跡的變化,判斷輸入的信號是純粹的噪聲還是帶有微弱的正弦信號.實驗1正弦信號Acos(ωt)混有Gauss白噪聲zs令正弦信號放大器增益μA=0,方波信號放大器增益μB=0,調整系統內置信號幅值為fd=0.72561712V時,系統進入混沌臨界狀態,如圖1所示.此時不加任何外部信號,只將zs作為Gauss白噪聲并入系統,不斷調大zs的功率,系統仍然處于混沌狀態不變(此時Gauss白噪聲zs的功率為7×10-8W).可見噪聲雖然強烈,但是奇怪吸引子仍能將相點束縛在軌道內,說明混沌系統對噪聲有一定免疫力.令f=0,調整正弦信號放大器增益μA,使μAAΔ=fd,則待測正弦信號幅值AΔ=fdμA≈10-9V.令正弦信號放大器增益μA=1,使A=fd+AΔ=0.72561712+10-9V,發現系統相軌跡立刻發生變化,由混沌狀態躍遷到大尺度周期狀態(圖2).可見對正弦信號的檢測下限為AΔ=10-9V,此時噪聲功率為7×10-8W.所以該混沌檢測系統最低檢測下限為20lg(10-9)=-180dB,檢測信噪比下限為SΝR=10lg(周期信號功率噪聲功率)≈-111.46dB.實驗2正弦信號Acos(ωt)中混有Gauss色噪聲zs我們用方差為1的Gauss白噪聲通過一個四階帶通濾波器產生Gauss色噪聲.該濾波器的傳遞函數為Η(z)=0.0201(1-2z-2+z-4)1-1.637z-1+2.237z-2-1.307z-3+0.641z-4,濾波器的上限截止頻率為0.2Hz,下限截止頻率為0.15Hz(均為歸一化頻率).首先令正弦信號放大器增益μA=0,周期方波信號放大器增益μB=0,不加入任何外部信號,調整系統內置信號幅度f=fd,計算機判斷系統處于混沌臨界狀態,然后將Gauss色噪聲并入系統,發現系統相軌跡仍處于混沌狀態(此時噪聲功率為7×10-8W).令系統內置信號f=0,調整待測正弦信號放大器增益μA,使μAAΔ=fd,則待測正弦信號幅值AΔ=fdμA≈10-9V.可見該混沌系統在背景噪聲為Gauss色噪聲時,檢測下限也可以達到1nV,且信噪比基本不變(與加白噪聲相比).實驗3畸變的正弦信號中混有non-Gauss色噪聲我們用方差為1的non-Gauss白噪聲通過一個四階帶通濾波器產生non-Gauss色噪聲.該濾波器的傳遞函數為Η(z)=0.0201(1+2z-2-1.23z-4)1-2.981z-1+2.037z-2-3.192z-3+0.0145z-4,濾波器的上限截止頻率為0.21Hz,下限截止頻率為0.23Hz(均為歸一化頻率).這里將方波信號作為畸變的正弦信號進行檢測,首先令正弦信號放大器增益μA=0,周期方波信號放大器增益μB=0,調整系統內置正弦信號幅度f=fd,使系統的相軌跡為混沌臨界狀態.然后將zs=7×10-8W作為non-Gauss色噪聲并