122.4拉普拉斯變換的應用3主要內容1、線性微分方程2、常系數線性微分方程組4求解線性微分方程解線性微分方程和微分方程組的基本思想：微分方程＋初始條件L變換代數方程像解原解51、常系數線性微分方程根據微分性質：因此求解時注意f(0)678穩定振蕩幅度不變幅度指數衰減9m其他同上10112、解常系數線性微分方程組通過拉普拉斯變換，將微分方程組轉化為代數方程組求解最后通過拉普拉斯逆變換求解出系數1213141516總復習一、復變函數二、積分變換17一、復變函數18主要內容1、復數2、復變函數3、導數4、復函數的積分5、復函數的級數6、留數7、保形映照191、復數兩個復數相等的條件：當且僅當實部與虛部分別相等代數運算：滿足交換律、結合律、分配率共軛復數

201、復數復數的幾何表示復數z=x+iy可以用橫坐標為x，縱坐標為y的點來表示復數z=x+iy可以用模值和幅角表示復數z的三角表達式復數z的指數表達式211復數復數的乘冪與方根乘冪方根數學歸納法22平面點集單連通區域設D為平面上任一區域 若在D內任作一條簡單閉曲線，而曲線所圍部分總屬于D， 則稱D為單連通區域多連通區域不是單連通的區域稱為多連通區域或復連通區域232、復變函數復平面映照z平面

平面復變函數表示了z平面點集D到w平面上的點集G之間的一種變換，即映照24初等函數指數函數對數函數冪函數三角函數單值函數——Lnz的主值25初等函數反三角函數26初等函數雙曲與反雙曲函數27初等函數反雙曲函數283、導數復變函數的極限極限的e-d

定義極限的運算：（1）加減乘除的極限等于極限的加減乘除（2）注意：極限存在要求與z->z0的方式無關，而意味著從四面八方趨于z0

，這與實函數情形時x->x0只有左右兩個方向是不同的29復變函數的連續性連續的判別準則連續的性質（1）連續函數的加減乘除仍連續（2）連續函數的復合仍然連續（3）連續函數必有界，有界函數不一定連續30復變函數的導數定義：導數存在的充分必要條件：導數的運算31微分微分32解析解析的概念：在某點處解析，是指在該點及其鄰域內可導；在某區域內可導與在某區域內解析完全等價解析的判別：（1）實部與虛部可微（導數存在且連續）（2）滿足C－R方程33調和函數調和的概念：（1）具有二階偏導數（2）滿足拉普拉斯方程：共軛調和的概念：（1）實部和虛部是調和函數（2）一階導數滿足C－R方程調和與解析的關系：解析的充分必要條件是虛部是實部的共軛調和函數或者說，負實部是虛部的共軛調和函數344、積分定積分的計算方法：極限和：實部虛部：參數方程：35柯西積分定理柯西積分定理若函數f(z)在單連通域D內處處解析則函數f(z)沿D內的任何一條封閉曲線C的積分為零：36復合閉路定理構成復合閉路37柯西積分公式Cauchy積分公式38高階導數求積分公式

不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.高階導數公式的作用:39定積分的計算Cauchy積分定理原函數的概念復合閉路定理Cauchy積分公式高階導數公式積分公式及計算405、級數復數項級數的判斂（1）首先判別（2）基本判別方法：（3）實部和虛部：（4）絕對收斂：復數項級數的收斂問題兩個實數項級數的收斂問題41函數項級數（1）冪級數部分和斂散性判別：收斂圓和收斂半徑級數必絕對收斂,若級數發散,那末對滿足的級數必發散.的滿足如果級數在收斂,那末對42（2）Taylor級數常見函數的泰勒展開式4344（3）羅朗級數45羅朗級數展開的方法（1）直接法（2）間接法

根據解析函數Laurent級數展開式的唯一性,可運用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開.466、留數孤立奇點孤立奇點的定義：可去奇點：級數沒有負冪項

極點：級數有有限個負冪項

為常數47本性奇點展開式有無窮多個負冪項零點零點的判別48無窮遠點對應于z=0的特殊點49留數留數定義50留數計算留數計算可去奇點：本性奇點：極點：51留數定理留數定理將沿封閉曲線C積分轉化為求被積函數在C內各孤立奇點處的留數.52處留數的計算用1/t替換，更好求時級數展開較方便時求孤立奇點的留數較方便時53用留數計算積分三角有理式的積分2.積分區域的轉化:1.被積函數的轉化:當在變化時,正方向繞行一周.z沿單位圓周54有理函數的無窮積分若有理函數f(x)的分母至少比分子高兩次,并且分母在實軸上無孤立奇點，計算步驟：2.積分區域的轉化:取一條連接區間兩端的按段光滑曲線,使與區間一起構成一條封閉曲線,并使f(z)在其內部除有限孤立奇點外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.被積函數的轉化:(當z在實軸上的區間內變動時,f(z)=f(x))55有理函數與三角函數乘積的積分2.積分區域的轉化:取一條連接區間兩端的按段光滑曲線,使與區間一起構成一條封閉曲線,并使f(z)在其內部除有限孤立奇點外處處解析.1.被積函數的轉化:(當z在實軸上的區間內變動時,f(z)=f(x))f(x)f(z)cos(ax)sin(ax)eiaz567、保形映照導數的幾何意義保角性映射具有保持曲線間夾角的大小與方向不變的性質伸縮率的不變性：即通過z0的任何一條曲線的伸縮率 均為|f(z0)|而與其形狀和方向無關57保形映照定義若函數w=f(z)在D內處處有f’(z)0,那么映射w=f(z)是D內的保形映照判別：58分式線性映照分式線性函數由四種函數復合而成：平移旋轉放大關于實軸的對稱映照關于圓|z|=1的對稱映照59分式線性函數的確定（1）對稱點（2）圓對于擴充z平面上的點z1,z2,z3和擴充w平面上的點w1,w2,w3存在唯一的分式線性函數，把點z1,z2,z3映照成點w1,w2,w3擴充z平面上的任何一個圓，可以用一個分式線性函數映照成擴充w平面上任何一個圓60典型分式線性函數單位圓單位圓61指數函數映照特別的：62冪函數確定的映照冪函數映照的特點把以原點為頂點的角形域映照成以原點為頂點的角形域但張角變成了原來的n倍就采用冪函數帶形區域映照到角形區域(可有割痕），用指數函數角形區域（可有割痕）映照到帶形區域，用指數函數角形區域映照到帶形區域，用對數函數圓映照到角形區域角形區域映照到圓分式線性函數求解角形區域到角形區域的映照，63解析函數導數的幾何意義模值幅角保形映照對應角相等對應邊成比例分式線映照指數函數冪函數上半平面映照為上半平面上半平面映照為單位圓單位圓映照為單位圓水平帶狀區域映射為角形區域角形區域映射為角形區域(頂點在原點，張角為n倍）64第二篇積分變換65主要內容1、傅立葉變換2、拉普拉斯變換661、傅立葉變換傅立葉級數周期函數的頻譜序列該式從物理上可看作是頻率為的振動的疊加67頻譜序列的幅值由系數確定：68非周期函數的傅立葉變換F(w)被稱為頻譜函數f(x)是角頻率為w的振動的疊加69卷積定義卷積運算的性質：交換律：分配律：70傅立葉變換性質一覽線性af(t)+bg(t)aF(w)+bG(w)位移相似微分積分卷積F1(w)F2(w)71d函數的定義工程定義：工程定義：

d函數

d（t-t0)函數72d函數的定義數學定義：

d函數

d（t-t0)函數73d函數的性質（1）篩選性質（2）d函數為偶函數（3）相似性（4）d函數是單位階躍函數的導數74d函數傅立葉變換

d函數的傅立葉變換常