復(fù)變函數(shù)第一講2012年.秋學(xué)期課程簡介

課程名稱

復(fù)變函數(shù)教材

《復(fù)變函數(shù)》(第四版)對象

復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)級數(shù)、留數(shù)等。學(xué)習(xí)方法

復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。比如：

1）負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；

2）負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；3）正、余弦函數(shù)的絕對值不能超過1；

……等在復(fù)變函數(shù)中已經(jīng)不復(fù)存在.準(zhǔn)備知識與參考書目1、準(zhǔn)備知識復(fù)數(shù)與多元函數(shù)知識廣義積分與曲線積分微積分與級數(shù)知識2、參考書目①《復(fù)變函數(shù)論》（第二版）鐘玉泉高等教育出版社②《復(fù)變函數(shù)教程》朱靜杭高等教育出版社④《復(fù)變函數(shù)》郭洪芝等天津大學(xué)出版社③

《復(fù)變函數(shù)》（第四版）西安交通大學(xué)高等教育出版社⑤《復(fù)變函數(shù)典型習(xí)題》龔東保西安交通出版社⑥《復(fù)變函數(shù)》李慶忠科學(xué)出版社復(fù)數(shù)的起源與發(fā)展:復(fù)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展是數(shù)學(xué)史中的奇特一章。它不是按現(xiàn)在教科書中所描述的邏輯順序建立起來的，而是從求解方程的實(shí)踐過程中產(chǎn)生的。“復(fù)數(shù)”術(shù)語由高斯于1831年首次給出，在這以前它被稱為“虛數(shù)”或“不可能的數(shù)”.

“虛數(shù)”這個名詞是由十七世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）1637年在《幾何學(xué)》中首創(chuàng)的.“虛數(shù)”代表的意思是“虛假的數(shù)”，“實(shí)際不存在的數(shù)”，后來還有人“論證”虛數(shù)應(yīng)該被排除在數(shù)的世界之外.由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣.

十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler，1707-1783)試圖進(jìn)一步解釋虛數(shù)到底是什么數(shù)，他把虛數(shù)稱之為“幻想中的數(shù)”或“不可能的數(shù)”.他在《對代數(shù)的完整性介紹一書中說：因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)或者比零大，或者比零小，或者等于零，即為有序數(shù).所以很清楚，負(fù)數(shù)的平方根不能包括在可能的有序數(shù)中，就其概念而言它應(yīng)該是一種新的數(shù)，而就其本性來說它是不可能的數(shù).因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾?因而通常叫做虛數(shù)或幻想中的數(shù)，于是Euler首先引入符號i作為虛數(shù)單位.

十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，挪威測量學(xué)家Wessel(威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘(Argand)以及德國的數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)等都對“虛數(shù)”(也稱為“復(fù)數(shù)”)給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用。特別地,在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，即柯西(Cauchy，1789－1857)、維爾斯特拉斯(Weierstrass，1815－1897)、黎曼(Rieman，1826－1866)。柯西和維爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論.

自從有了復(fù)變函數(shù)論，實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的禁區(qū)或不能解釋的問題，比如：

1）負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；

2）負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；

3）指數(shù)函數(shù)無周期性；

4）正、余弦函數(shù)的絕對值不能超過1；

……等已經(jīng)不復(fù)存在.本冊書主要內(nèi)容第一章、復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)第二章、解析函數(shù)第三章、復(fù)變函數(shù)的積分第四章、級數(shù)第五章、留數(shù)

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

第一節(jié)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的概念

2、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算對虛數(shù)單位的規(guī)定:1.1虛單位:一、復(fù)數(shù)的基本概念虛數(shù)單位的特性:……i-虛單位滿足：i2=-1虛部記做：Imz=x實(shí)部記做：Rez=x1.2復(fù)數(shù)的定義:例1解令兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時等于0.說明兩個數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實(shí)數(shù),就不能比較大小,也就是說:設(shè)：z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y2復(fù)數(shù)不能比較大小!!!由此可見,在復(fù)數(shù)中無法定義大小關(guān)系.1.兩復(fù)數(shù)的和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:全體復(fù)數(shù)關(guān)于上述運(yùn)算(對加、減、乘、除運(yùn)算封閉），做成一個數(shù)域.稱為復(fù)數(shù)域，用C表示.定理:二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算2.1復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算:定義實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例解2.2共軛復(fù)數(shù):共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.28例1解29例2解30例3證第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考32一、復(fù)平面1.復(fù)平面的定義332.復(fù)數(shù)的模(或絕對值)顯然下列各式成立343.復(fù)數(shù)的輻角說明輻角不確定.oxy(z)P(x,y)xy

35輻角主值的定義:364.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差兩個復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.375.復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)38利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示39例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解：故三角表示式為解題步驟：

1、求出復(fù)數(shù)的模

r2、求出輻角主值θ指數(shù)表示式為40故三角表示式為指數(shù)表示式為41例2解(三角式)(指數(shù)式)42例3證43兩邊同時開方得44下面例子表明,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.45例5求下列方程所表示的曲線:解46化簡后得47二、復(fù)球面1.南極、北極的定義48球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng),記作

.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大

的幾何表示.球面上的每一個點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.2.復(fù)球面的定義493.擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.對于復(fù)數(shù)

來說,實(shí)部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來.5051三、小結(jié)與思考學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的各種表示法.并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面.注意