基于隨機性的金融資產損失評估方法

一、傳統保證金進展法未考慮到已經決議賬款的基礎數據和已經制通常，會計在評估準備錢時使用已決損失數據或請求的返還數據，但該方法存在一些缺陷。一方面,對于歷史數據中所包含的已決賠款數據和已報案賠款數據之間的關系并未有效使用,也就是未充分利用有關信息;另一方面,在實務操作中,基于兩類數據得到的最終損失存在較大差異,導致精算師對于已決賠款數據和已報案賠款數據的選擇產生困惑。傳統的準備金進展法已經考慮到了兩類數據的關系。在確定性準備金進展法中,已決賠款和已發生已報案未決賠款準備金數據的統計可以采用兩種形式,即按報案年統計和按事故年統計。相應地,準備金進展法也就分為報案年準備金進展法和事故年準備金進展法。但是,由于報案年準備金進展法無法評估已發生未報案未決賠款準備金(純IBNR),因此下面只對事故年準備金進展法進行介紹。二、準備金融啟動法(一)試驗結果見表1如果按事故年統計數據,則總會有新的索賠數據不斷進入統計范圍,這就給準備金進展法的應用造成了一定困難。在應用事故年準備金進展法時,要假設IBNR索賠與已報案索賠之間具有穩定的關系。對于大多數報案較快的險種來說,在事故年的初期可以積累大量賠案數據,這就為評估IBNR提供了一個穩定的基礎。假設事故年和進展年的年數都為n。以Pi,j表示事故年i在第j個進展年的累計已決賠款流量三角形,XPi,j表示事故年i在第j個進展年的增量已決賠款流量三角形,Ii,j表示事故年i在第j個進展年的累計已報案賠款流量三角形,XIi,j表示事故年i在第j個進展年的增量已報案賠款流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。事故年i在第j個進展年的已發生已報案未決賠款準備金流量三角形記為RVi,j=Ii,j-Pi,j(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。準備金進展法的基本思想是考察已報案未決賠款準備金的進展情況。事故年i在第j個進展年的已發生已報案未決賠款準備金RVi,j在下一進展年j+1一部分轉化為下一進展年的增量已決賠款XPi,j+1,另一部分仍為下一進展年已報案未決賠款準備金RVi,j+1的一部分。(1)我們引入準備金進展率(CEDi,j→j+1比率),對于轉化為已決賠款的部分用準備金支付率(POi,j→j+1比率)表示,對于仍為已報案未決賠款準備金的部分用準備金結轉率(CE-Di,j→j+1-POi,j→j+1比率)表示。(二)進展年結算率的計算步驟一,利用給定的按事故年統計的累計已決賠款和累計已報案賠款流量三角形得到已發生已報案未決賠款準備金的流量三角形,即:步驟二,將給定的按事故年統計的累計已決賠款和累計已報案賠款流量三角形轉化為增量已決賠款和增量已報案賠款流量三角形,即:1)(3)步驟三,通過事故年i在第j+1個進展年的增量已決賠款除以事故年i在第j個進展年的已發生已報案未決賠款準備金得到準備金支付率的流量三角形,進而得到各進展年支付率的算術平均數,(2)即:上述式(4)表示準備金支付率的流量三角形,式(5)表示各進展年支付率的算術平均數。步驟四,通過事故年i在第j+1個進展年的已發生已報案未決賠款準備金除以事故年i在第j個進展年的已發生已報案未決賠款準備金得到準備金結轉率的流量三角形,進而得到各進展年結轉率的算術平均數,(3)即:上述式(6)表示準備金結轉率的流量三角形,式(7)表示各進展年結轉率的算術平均數。步驟五,通過步驟一得到的已發生已報案未決賠款準備金的上三角數據乘以對應各進展年結轉率的選定值來估計流量三角形下三角的已發生已報案未決賠款準備金,即:步驟六,將步驟五的已發生已報案未決賠款準備金下三角數據乘以對應各進展年支付率的選定值,得到增量已決賠款的下三角數據,即:步驟七,將步驟六估計的增量已決賠款轉化為累計已決賠款,最后一列求和即為所有事故年最終損失(UL)的估計值,進一步可得到所有事故年未決賠款準備金(CV)和已發生未報案未決賠款準備金(IBNR)的估計值。(4)三、基于botstro方法的隨機性準備過程(一)過度分散泊松模型設事故年i在第j個進展年的增量已決賠款XPi,j和增量已報案賠款XIi,j(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)都服從過度分散泊松(Over-dispersedPoisson)分布。對于增量已決賠款XPi,j,過度分散泊松模型可以表述為:對所有的i和j,XPi,j相互獨立,而且都服從過度分散泊松分布,參數由式(12)、(13)、(14)確定。對于增量已報案賠款XIi,j,過度分散泊松模型可以表述為:對所有的i和j,XIi,j相互獨立,而且都服從過度分散泊松分布,參數由式(15)、(16)、(17)確定。上述兩個模型是一種特殊的廣義線性模型(GLM)。因此,由參數的最大似然估計即可得到{XPi,j}和{XIi,j}的擬合值及預測值。這兩個模型需要估計各個事故年和進展年的參數μiP、μiI和γjP、γjI,其中i、j=1,2,…,n。約束條件(14)和(17)是為了唯一確定這四個參數,因此每個模型中估計參數的總個數為2n-1。(二)在《儲備處理法》中，使用botst類固醇方法模擬未決損害的預測分布1.主成分殘差分析傳統的準備金進展法雖然考慮了已決賠款數據和已報案賠款數據的關系,但仍然是一種確定性方法,從而只能得到準備金的均值估計,而不能得到準備金的波動性度量。針對這一不足之處,可在準備金進展法的基礎上應用Bootstrap方法加以補充。(1)對給定的累計已決賠款和累計已報案賠款數據(上三角數據)應用準備金進展法,估計各事故年在每個進展年的累計賠款額,進而得到未決賠款準備金(5)和IBNR的估計值。(2)保持最近日歷年累計已決和累計已報案賠款數據(對角線數據)不變,由累計進展因子(6)和對角線數據逆向計算,得到以往每個進展年的累計賠款額的擬合值,然后得到上三角數據的增量擬合值此值與給定的增量賠款之差就是殘差。通過對殘差進行分析,選定殘差的類型,這里選用Pearson殘差,即:(3)計算分散參數ue788。這里的分散參數ue788可以通過Pearsonχ2統計量除以自由度得到,Pearson統計量是Pearson殘差的平方和,自由度等于已有數據的個數減去模型中參數的個數,即分散參數ue788的估計值是:式中,n表示已有數據個數,p表示模型中參數的個數。(4)將給定的累計已決賠款和累計已報案賠款流量三角形轉化為增量已決賠款和增量已報案賠款流量三角形。由于前面假設這兩類增量數據服從過度分散泊松分布,因此可以將其視為相應事故年和進展年的增量賠款額隨機變量的均值,這樣就可以從均值為XPi,j、方差為ue788p贊XPi,j的過度分散泊松分布中抽取隨機數作為模擬的增量已決賠款(上三角數據)。從均值為XIi,j、方差為ue788I贊XIi,j的過度分散泊松分布中抽取隨機數作為模擬的增量已報案賠款(上三角數據)。(5)應用前面介紹的準備金進展法,計算相應的模擬增量已決賠款(下三角),對這些模擬的增量賠款求和即可得到未決賠款準備金的均值估計,同時也可以得到最終損失和IBNR的均值估計。(6)這些模擬的增量賠款可視為相應事故年和進展年的增量賠款額變量的均值,這樣就可從均值為方差為的過度分散泊松分布中抽取隨機數,并把從下三角中抽取的增量賠款隨機數求和,以實現對未決賠款準備金預測分布的一次模擬。(7)多次Bootstrap再抽樣后,可得到未決賠款準備金的預測分布,進而得到均值、標準差、分位數等。考慮到一般情況下,抽樣1000次即可獲得較滿意的參數估計值,一般將抽樣次數定為1000次。重復上述過程1000次,最后即可得到總準備金的預測分布,進而得到分位數以及相關的分布度量。實際上,即使抽取10000次,在R軟件的運算所需時間也只有1分鐘左右。2.未決賬款保證金的預測均方誤差習慣上,為描述未來增量賠款額預測值的不確定性,通常采用預測均方誤差(MSEP)。對于事故年i在進展年j的增量賠款額,預測均方誤差(MSEP)為:其中,Var[XPi,j]是過程方差,Var[X^pi,j]是參數誤差。應用廣義線性模型的一般理論和方法,可以計算增量賠款額的預測均方誤差。進一步,可以計算每個事故年i未決賠款準備金總額的預測均方誤差以及各事故年未決賠款準備金總額的預測均方誤差,分別為:在計算上述各個預測均方誤差時,遇到的難點是如何計算參數誤差。當計算各事故年未決賠款準備金及未決賠款準備金總額的預測均方誤差時,會涉及到相關性處理,計算量非常大,具體的論證可參考Wüthrich和Merz(2008)的第6章。本文假設增量已決賠款數據和增量已報案賠款數據服從過度分散泊松分布,將Bootstrap方法應用于準備金進展法中,避免了上述相關性計算的復雜性。在估計參數誤差的同時,進一步通過隨機模擬考慮到了過程方差,最終得到未決賠款準備金的預測分布。其中,過程方差是分散參數ue788p和未決賠款準備金估計值(7)的乘積,參數誤差采用Bootstrap模擬得到。為了得到Bootstrap方法的參數誤差,需要多次重復上述過程,得到一系列未決賠款準備金估計值,Bootstrap方法的參數誤差就是多次Bootstrap模擬的未決賠款準備金估計值的樣本方差。具體地講,事故年i未決賠款準備金的Bootstrap預測均方誤差為:各事故年度未決賠款準備金總額的Bootstrap預測均方誤差為:式(23)和式(24)中,右邊第一項表示過程方差,第二項表示參數誤差。3.增量已決收款時的隨機抽樣問題這里先對過度分散泊松分布給予簡要補充,給定某正數ue788,設隨機變量Y服從泊松分布,參數為λ/ue788,那么變量X=ue788·Y就服從過度分散泊松分布,均值為λ,分散參數為ue788。對于增量已決賠款數據,每個XPi,j都服從過度分散泊松分布。從均值為λ、方差為фPλ的過度分散泊松分布中抽取隨機數,可轉化為從均值為λ/фP的泊松分布中抽取隨機數,最后再乘以分散參數ue788P。同理,增量已報案賠款數據的隨機抽樣問題可類似處理。另外,增量已報案賠款數據可能存在負數,而泊松分布的均值不能為負,這樣從流量三角形增量賠款中隨機抽取樣本就會出現錯誤。為了解決這個問題,本文對模擬出的增量賠款的每個單元定義了一個符號函數,如下所示:布中抽取,最后再乘以同時,由于模擬出的增量已決賠款數據也可能存在負數,因此隨機抽取樣本時可做類似處理。(三)防止金融債績業務金融債績評估數據成為我國的一種重要數據本文實證分析中的累計已決賠款數據和累計已報案賠款數據來源于《保險公司非壽險業務準備金評估實務指南》(吳小平),這些數據在準備金評估相關的文獻中被經常引用,此處引用這里的數據也是為了更好地與確定性準備金進展法的結果進行比較。四、偽過去提高對未決收款的影響下面以數值實例進行實證分析,詳細說明如何在準備金進展法中利用Bootstrap方法模擬未決賠款準備金的預測分布,這里采用R語言對其進行數值實現。表1是累計已決賠款數據,表2是累計已報案賠款數據。下面是應用Bootstrap方法得到未決賠款準備金預測分布的詳細過程。第一步,應用準備金進展法,估計各事故年在每個進展年的累計賠款額,進而得到未決賠款準備金和IBNR的均值估計。第二步,利用加權平均法計算年度進展因子,如表4所示。根據得到的進展因子擬合累計賠款數據,得到偽過去累計賠款數據,它等于對角線上的累計賠款數據除以各年度的累計進展因子,表5和表6給出了偽過去累計已決賠款和累計已報案賠款數據。第三步,分別得到增量賠款數據和偽過去增量賠款數據,表7和表8給出了兩類偽過去增量賠款數據。第四步,由式(18)得到Pearson殘差rP和rI,如表9和表10所示,進而計算出分散參數фP和фI,第五步,利用Bootstrap方法模擬增量已決賠款數據樣本和增量已報案賠款數據樣本,如表11和表12所示。第六步,對模擬出的增量賠款數據應用準備金進展法,計算模擬的增量已決賠款的下三角數據,進而得到一次模擬情況下的未決賠款準備金和IBNR的估計值。表13給出了利用模擬數據得到的結轉率、支付率、進展率的選定值,表14給出了一次模擬的結果。第七步,利用第四步得到的分散參數фP,進而從均值為的泊松分布中隨機抽取樣本,再乘以得到從分布中模擬的增量已決賠款數據樣本,表15給出了相應的計算結果。第八步,多次重復上面的過程,這里重復次數為10000次,每一次得到一個新的Bootstrap樣本和Bootstrap未決賠款準備金估計值,最后根據式(23)和式(24)得到Bootstrap的預測均方誤差。表16給出了最后的計算結果,同時模擬了所有事故年未決賠款準備金總額的預測分布,如圖1所示,圖1中的準備金以千元為單位,其對應的分布特征如表17所示。五、完成研究結論和相應的建議(一)預測誤差的變化根據以上分析,我們可以得到兩個主要結論。(1)從整體趨勢上講,Bootstrap的預測均方誤差隨著事故年已知信息的減少而增加。舉例來講,從第2事故年到第7事故年,賠款數據依次減少,所以未決賠款準備金的預測均方誤差依次增大,該結論是符合實際情況的,因為當已知信息減少時,估計的誤差就會增大。(2)Bootstrap方法簡單有效,容易理解,在計算機上易于編程計算。(二)未決收款保證金模型第一,目前在我國精算實務中,對未決賠款準備金評估的不確定性風險逐漸引起了人們的重視,對不確定性加以度量顯得很有必要。鑒于準備金的隨機模型相對更復雜,沒有適當的軟件實現,以及精算實務中對隨機性方法缺乏了解,本文在對隨機模型(Bootstrap)系統研究的基礎上,根據流量三角形的具體數據特征,假設增量已決賠款和增量已報案賠款都服從過度分散泊松分布,將Bootstrap方法應用